高中人教A版 (2019)4.2 等差数列同步训练题

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4.2 等差数列    课时同步练习1．在等差数列中，已知，则该数列前9项和（    ）A．18 B．27 C．36 D．452．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则（    ）A．2.5斤 B．2.75斤 C．3斤 D．3.5斤3.记为等差数列的前n项和．已知，则（      ）A． B． C． D．4.等差数列的前项和为，若，则（     ）A．51 B．50 C．49 D．485.等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（    ）时，最大.A． B． C． D．6.已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（    ）A．， B．，C．， D．， 7．（多选题）设等差数列的前项和为．若，，则（    ）A． B． C． D． 8.（多选题）设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6=S9，则（    ）A．， B．， C．S5＞S6， D．S7或S8为Sn的最大值 9．（多选题）已知是等差数列()的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有（    ）A．数列中的最大项为 B．数列的公差C． D．10.已知是等差数列，且，，则________ 11.等差数列的前项和为，，，则______. 12．设等差数列的前项和为，若，则_____；的最大值为_____． 13.在等差数列{an}中，a1 >0，3a4 = 7a7，求Sn 取得最大值时n的值.    14.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．       15.为数列{}的前项和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.        16.已知数列的前项和为, 满足, 且.(1) 令, 证明:；     (2) 求的通项公式.         17.已知等差数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.          1.【答案】D【解析】在等差数列中，，所以.故选：D2.【答案】D【解析】由题意可知，斤，斤，则公差斤，故斤.故选:D.3.【答案】A【解析】分析：等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．详解：由题知，，解得，∴，故选A．4.【答案】C【解析】设等差数列的公差为，首项为，所以 ，解得： 所以.故选：C5.【答案】C【解析】等差数列中，前项和为，且，，即，，，所以，，则，因此，当时，最大.故选：C.6.【答案】D【解析】，，，，.，.故选：D.7.【答案】AC【解析】设等差数列的公差为，则，解得，，.故选：AC. 8.【答案】ABD【解析】根据题意可得，数列是等差数列，a1＞0，公差，所以数列是单调递减数列，对于A、B，，，显然成立，对于C，由，则，故C不正确；对于D，由，则，又数列为递减数列，则S7或S8为Sn的最大值，故D正确；故选：ABD9.【答案】BCD【解析】，故，且，故数列中的最大项为，错误；数列的公差，正确；，正确；，正确；故选：.10.【答案】【解析】依题意，解得.故答案为：11.【答案】【解析】不妨设数列的公差为，故可得，，即，解得.故可得.故答案为：.12.【答案】72    64    【解析】设等差数列的公差为，则，即，所以，，则，，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为64．故答案为：72；64.13.【答案】9【解析】设等差数列{an}的公差为，因为a1 >0，3a4 = 7a7，化为即，则，，所以前9项和最大.即Sn 取得最大值时n的值为9.14.【答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4【解析】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．15.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn（），∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.16.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：∵Sn=n2an﹣n2（n﹣1），∴n≥2时，Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n2（n﹣1），化为：Sn﹣=n，∵bn=，∴bn﹣bn﹣1=n（n≥2）．（2）解：b1=2a1=1．∴bn=n+（n﹣1）+……+2+1=．∴bn==，可得Sn=．∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=（n≥2），n=1时也符合．∴an=． 17.【答案】（1）（2）10【解析】设差等数列公差为，依题意有.解之得，则，故的通项公式为：.（2）由，得，所以，即，由，故，故取最大值时的值为10