北师大版八年级上册第七章 平行线的证明综合与测试习题

第7章平行线的证明单元测试（培优提升卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•道外区期末）下列四个命题：①是64的立方根；②5是25的算术平方根；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④在平面直角坐标系中，与两坐标轴距离都是2的点有且只有2个．其中真命题有　　个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据立方根和算术平方根的定义、平行线的性质等知识分别对各个命题进行判断即可．

【解析】①是64的立方根，

①是假命题；

②是25的算术平方根，

②是真命题；

③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，

③是真命题；

④在平面直角坐标系中，与两坐标轴距离都是2的点有且只有4个，

④是假命题；

真命题的个数有2个，

故选：．

2．（2021春•庆云县期末）有下列命题，其中假命题有　　

①的算术平方根是2．

②一个角的邻补角一定大于这个角．

③在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．

④平行于同一条直线的两条直线互相平行．

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

【分析】利用算术平方根的定义、补角的定义、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解析】①的算术平方根是，故错误，是假命题，符合题意．

②一个角的邻补角一定大于这个角，错误，是假命题，符合题意．

③在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题，不符合题意．

④平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意．

故选：．

3．（2021•荆门一模）小明在学习平行线的性质后，把含有角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，，若，则　　

A． B． C． D．

【分析】过作，则，即可得到，再根据，即可得出，进而得到．

【解析】如图，过作，则，

，

又，

，

，

故选：．

4．（2021春•广安期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．

【解析】、，（同位角相等，两直线平行），不符合题意；

、，（内错角相等，两直线平行），不符合题意；

、，（同位角相等，两直线平行），不能证出，符合题意；

、，（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；

故选：．

5．（2020秋•涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．

【解析】平分，平分，

，，

，

故选：．

6．（2021•德州模拟）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为　　

A． B． C． D．

【分析】如图，作．证明即可解决问题．

【解析】如图，作．

，，

，

，，

，

，

，

故选：．

7．（2020春•桃江县期末）如图，是直线上一点，平分，，，添加一个条件，仍不能判定，添加的条件可能是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据平行线的判定定理判断即可．

【解析】平分，，

，

，

，

，故不符合题意；

，

，，

，

平分，

，

，

，

，故不符合题意；

，

，但不能判断，故符合题意；

，

，，

，

平分，

，

，

，

，故不符合题意；

故选：．

8．（2021秋•枝江市期中）如图，在三角形中，，，平分，平分，其角平分线相交于，则　　

A． B． C． D．

【分析】先根据角平分线的定义得到，，然后根据三角形内角和计算的度数．

【解析】平分，

，

平分，

，

．

故选：．

9．（2021•寻乌县模拟）将一副直角三角板和如图放置（其中，，使点与点重合，，与交于点．则下列说法中错误的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据垂线的定义、平行线的判定及三角形的外角性质求解判断即可得解．

【解析】，

，

，

，

故正确，不符合题意；

，

，

，

，

故正确，不符合题意；

，

，，

，

故错误，符合题意；

，，

，

，

故正确，不符合题意；

故选：．

10．（2020秋•金川区校级期末）如图，，，则、、的关系为　　

A． B． C． D．

【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．

【解析】延长交与，延长交于．

直角中，；

中，，

，

，

，

即．

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•密云区二模）已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的的值是　　．

【分析】利用不等式的性质，当时，命题为真命题，然后在的范围内取一个值即可．

【解析】如果，时，则．

所以可取．

故答案为．

12．（2021春•海珠区校级月考）把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式　如果两个角是对顶角，那么它们相等　，它是　　命题（填“真”或“假”．

【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．

【解析】题设为：对顶角，结论为：相等，

故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；

正确，是真命题．

故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等，真．

13．（2020秋•光明区期末）将两块分别含有和角的直角三角板按如图所示叠放，若，则　67.5　．

【分析】根据等角的余角相等得到，再根据三角形内角和定理和的度数即可得到结论．

【解析】如图，，，

，

，

，

故答案为：67.5．

14．（2020秋•济南期末）如图，在中，，按图中虚线将剪去后，等于　　．

【分析】首先根据三角形内角和可以计算出的度数，再根据四边形内角和为可算出的结果．

【解析】中，，

，

，

，

故答案为：．

15．（2021春•鄞州区期中）如图，下列条件中：①；②；③；④，能判定的是　①②③　．

【分析】①由，利用同旁内角互补得到，本选项符合题意；

②由，利用内错角相等两直线平行得到，本选项符合题意；

③由，利用内错角相等两直线平行得到，本选项符合题意；

④由，不能判定出平行，本选项不合题意．

【解析】①由，得到，本选项符合题意；

②由，得到，本选项符合题意；

③由，得到，本选项符合题意；

④由，不能判定出平行，本选项不合题意．

故答案为：①②③．

16．（2020秋•济南期末）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果，那么　　．

【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到的度数，从而可以解答本题．

【解析】由折叠的性质可知，

，

，

，

长方形的两条长边平行，

，

，

故答案为：．

17．（2021春•揭东区期末）如图所示，在中，，点在的内部，并且，，则的度数是　　．

【分析】根据三角形内角和定理求出，根据题意求出，根据三角形内角和定理计算，得到答案．

【解析】，

，

，，

，

，

，

故答案为：．

18．（2021春•亭湖区校级期中）如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论是　①②③　（填序号）．

【分析】根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解．

【解析】，且于，

，

，

，

，，

，

平分，

，

①正确．

，平分，，

，

②正确．

，，

，

，

，

，

③正确．

，

与互余，

④错误．

故答案为：①②③．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•长春期末）如图，，．求证：．

在下列解答中，填空：

证明：（已知），

　同旁内角互补，两直线平行　．

　　．

（已知），

　　　　．

　　（两直线平行，内错角相等）．

　　，　　，

（等量代换）．

【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．

【解答】证明：（已知），

（同旁内角互补，两直线平行）．

（两直线平行，内错角相等）．

（已知），

（内错角相等，两直线平行）．

（两直线平行，内错角相等）．

，，

（等量代换）．

故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；，内错角相等，两直线平行；；；．

20．（2020春•凉山州期末）如图，已知、互为补角，且．

（1）求证：；

（2）若平分，且，，求的度数．

【分析】（1）求出，推出，求出，得出即可；

（2）求出，根据平行线性质求出，求出，根据平行线性质可得结论．

【解答】证明：，，互为补角，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：，，

，

，

，

平分，

，

．

21．（2020春•东坡区期末）如图，在中，是的角平分线，作交于点，，，求的度数．

【分析】求出，，再利用三角形内角和定理即可解决问题．

【解析】，，，

，

平分，

，

又，

，

，

．

22．（2021春•上蔡县期末）现有一张纸片，点、分别是边上两点，若沿直线折叠．

研究（1）：如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是　　．

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是　　；

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想、和的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；

（2）先根据折叠得：，，由两个平角和得：等于与四个折叠角的差，化简得结果；

（3）利用两次外角定理得出结论．

【解析】（1）如图1，，理由是：

由折叠得：，

，

；

故答案为：；

（2）如图2，猜想：，理由是：

由折叠得：，，

，

，

；

故答案为：；

（3）如图3，，理由是：

，，

，

，

，

．

故答案为：（1）；

（2）．

23．（2020春•盱眙县期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．

（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；

（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点．

①若，则　45　度（直接写出结果，不需说理）；

②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律．

（3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．

【分析】（1）求出，，根据，即可解决问题．

（2）①根据，只要求出，即可．

②结论：点、在运动的过程中，．根据计算即可．

（3）首先证明，，再分四种情形讨论即可①当时，②当时，③当时，④当时，分别计算即可．

【解析】（1）如图1中，

，

，，

，

平分，平分，

，，

．

（2）如图2中，

①，

平分，平分，

，，

，

，

故答案为：45．

②不变，

理由：，

点、在运动的过程中，．

（3）如图3中，

的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，

，，

，

，

①当时，，

．

②当时，，，

（不合题意舍弃）．

③当时，，

．

④当时，，

（不合题意舍弃）．

综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的4倍．

24．（2021春•射洪市期末），点，分别在、上运动（不与点重合）．

（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，　135　；

（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．

①若，则　　；

②随着点，的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；

（3）如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，求的度数．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；

（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；

（3）①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．

【解析】（1）直线与直线垂直相交于，

，

，

、分别是和角的平分线，

，，

，

；

故答案为：；

（2）①，，

，

，

是的平分线，

，

平分，

，

，

故答案为：45；

②的度数不随、的移动而发生变化，

设，

平分，

，

，

，

平分，

，

，

；

（3）与的平分线交于点，

，

，

、分别是和的平分线，

，

在中，若有一个角是另一个角的3倍，

则①当时，得，此时；

②当时，得，

此时，舍去；

③当时，得，

此时；

④当时，得，

此时，舍去．

综上可知，的度数为或．