第7章平行线的证明单元测试

一．选择题（共10小题）

1．有甲、乙、丙三人，甲说乙在说谎，乙说丙在说谎，丙说甲和乙都在说谎，则（　　）

A．甲说实话，乙和丙说谎 B．乙说实话，甲和丙说谎 

C．丙说实话，甲和乙说谎 D．甲、乙、丙都说谎

【解析】解：A、若甲说的是实话，即乙说的是谎话，则丙没有说谎，即甲、乙都说谎是对的，与甲说的是实话相矛盾，故A不合题意；

B、若乙说的是实话，即丙说的谎话，即甲、乙都说谎是错了，即甲，乙至少有一个说了实话，与乙说的是实话不矛盾，故B符合题意；

C、若丙说的是实话，甲、乙都说谎是对的，那甲说的乙在说谎是对的，与丙说的是实话相矛盾，故C不合题意；

D、若甲、乙、丙都说谎，与丙说的甲和乙都在说谎，相矛盾，故D不合题意；

故选：B．

2．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，那么同学E赛了（　　）盘．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】解：共有5个人，A赛4盘，则A与B、C、D、E每人赛一盘；

B赛3盘，因为D赛了1盘，则这三盘一定是与A、C、E的比赛；

C赛了两盘，是与A和B赛的．

则E一共赛了2盘，是与A和B赛的．

故选：B．

3．下列语句中不是命题的是（　　）

A．作直线AB垂直于直线CD 

B．两直线平行，同位角相等 

C．若|a|＝|b|，则a2＝b2 

D．同角的补角相等

【解析】解：A、没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；

B、是命题，不符合题意；

C、是命题，不符合题意；

D、是命题，不符合题意；

故选：A．

4．如图，点A，C，E在同一条直线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠4 B．∠3＝∠4 

C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°

【解析】解：A．由∠1＝∠4不能判定AB∥CD，故A不符合题意；

B．∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可判定BD∥AC，故B不符合题意；

C．∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故C符合题意；

D．∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定BD∥AC，故D不符合题意；

故选：C．

5．如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点O，如果∠BAC＝∠DCA，那么以下四个结论中错误的是（　　）

A．AD∥BC B．AB∥CD 

C．∠ABD＝∠CDB D．∠BAD+∠ADC＝180°

【解析】解：∵∠BAC＝∠DCA，

∴AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，∠BAD+∠ADC＝180°，

故A符合题意；B，C，D不符合题意，

故选：A．

6．如图，下列条件中能判定AB∥CE的是（　　）

A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACB C．∠A＝∠ECD D．∠B＝∠ACE

【解析】解：A、∵∠A＝∠ACE，

∴AB∥CE，故A选项符合题意；

B、由∠B＝∠ACB，不能判定AB∥CE，故B选项不符合题意；

C、由∠A＝∠ECD，不能判定AB∥CE，故C选项不符合题意；

D、由∠B＝∠ACE，不能判定AB∥CE，故D选项不符合题意；

故选：A．

7．如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α＝（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°

【解析】解：如图所示：

∵∠3＝30°，∠4＝45°，

∴∠2＝∠4﹣∠3＝45°﹣30°＝15°，

∴∠1＝∠2＝15°，

∴∠5＝90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°，

∴∠α＝∠5＝75°，

故选：C．

8．如图，若∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝35°，则∠DFE等于（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°

【解析】解：∵∠ADB＝∠B+∠C，∠B＝45°，∠C＝35°，

∴∠ADB＝35°+45°＝80°，

∵∠DFE＝∠A+∠ADB，∠A＝20°，

∴∠DFE＝80°+20°＝100°．

故选：A．

9．如图，AB∥CD，点F在直线CD上，若∠B＝100°，∠E＝90°，则∠EFD的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【解析】解：过点E作EG∥AB，如图所示：

∠BEG＝180°﹣∠B，

∵AB∥CD，∠B＝100°，

∴∠BEG＝80°，EG∥CD，

∴∠FEG＝∠EFD，

∵∠E＝90°，

∴∠FEG＝10°，

∴∠EFD＝10°．

故选：A．

10．如图，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，下列结论正确的有（　　）

①AB∥CD；

②∠ABE+∠CDF＝180°；

③AC∥BD；

④若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】解：∵AP平分∠BAC，

∴∠1＝∠PAC＝∠BAC，

∵CP平分∠ACD，

∴∠2＝∠PCA＝∠DCA，

又∵∠1+∠2＝90°，

∴∠BAC+∠DCA＝180°，

∴AB∥CD，故①对；

∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠CDB＝180°，

∴∠ABE+∠CDF＝180°，故②对；

若∠ACD＝2∠E，

∵∠ACD＝2∠PCA，

∴∠PCA＝∠E，

∴AC∥BD，

∴∠F＝∠CAP，

∵∠CAB＝2∠F，故④对；

故选：C．

二．填空题（共8小题）

11．把命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是　如果两个角是内错角，那么这两个角相等　；该命题是　假　命题（填“真”或“假”）．

【解析】解：命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是内错角，那么这两个角相等，

该命题是假命题，

故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；假．

12．命题：直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a∥c；则此命题为　真　命题．（填真或假）

【解析】解：∵a⊥b，c⊥b，

∴a∥c，

∴直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a∥c；则此命题为真命题；

故答案为：真．

13．如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 　＝　∠2时，a∥b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）

【解析】解：要使a∥b，只需∠1＝∠2．

即当∠1＝∠2时，

a∥b（同位角相等，两直线平行）．

故答案为＝．

14．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是　同位角相等，两直线平行　．

【解析】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．

故答案为：同位角相等，两直线平行．

15．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有　3　个．

【解析】解：∵∠1＝∠3，

∴l1∥l2，故①符合题意；

当∠2＝∠3时，无法判断l1∥l2，故②不符合题意；

∵∠4＝∠5，

∴l1∥l2，故③符合题意；

∵∠2+∠4＝180°，

∴l1∥l2，故④符合题意；

故答案为：3．

16．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转　5　度．

【解析】解：若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC．

∵OD′∥AC，

∴∠BOD′＝∠A＝70°．

∴∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝75°﹣70°＝5°．

∴要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转5度．

故答案为：5．

17．△ABC中，BD平分∠ABC，E为BD上一点，EF⊥AC于F，∠A＝38°，∠C＝80°，则∠DEF的度数为　21°　．

【解析】解：∵∠A＝38°，∠C＝80°，

∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣38°﹣80°＝62°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ABC＝×62°＝31°，

由三角形的外角性质得：∠BDC＝∠ABD+∠A＝31°+38°＝69°，

∵EF⊥AC，

∴∠DEF＝90°﹣∠BDC＝90°﹣69°＝21°．

故答案为：21°．

18．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动．例：如图2，当∠CAE＝15°时，BC∥DE，若要使AC∥DE．则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）度数为　135°　．

【解析】解：如图：

当DE∥AC时，∠D＝∠DAC＝90°

∴∠CAE＝45°+90°＝135°．

故答案为：135°．

三．解答题（共10小题）

19．用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．

（1）试写出四个符合上述条件的六位数；

（2）请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？

【解析】解：（1）以1开头的数有121323 131232 123123 123132 132123 132132 123213 132312 132321 123231 等10个数；

（2）121323，131232，123123，123132，121323，121332，132123，132132，123213，132312，213123，213132，312123，312132，212313，213213，312312，313212，213231，312321，231213，231312，321213，321312，231231，231321，321231，321321，232131，323121则共30个符合条件的六位数．

20．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．

（1）两个锐角的和是锐角；

（2）邻补角是互补的角；

（3）同旁内角互补．

【解析】解：（1）假命题．反例为：40°与60°的和为100°；

（2）真命题；

（3）假命题．反例为：如图，∠1+∠2＜180°．

21．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：

①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．

解：我写的真命题是：

已知：　①②④　；

求证：　③　．（注：不能只填序号）

证明如下：

【解析】解：我写的真命题是：

已知：①②④；

求证：③

证明如下：

∵BE＝FC，

∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，

在△ABC和△DEF中

，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠B＝∠DEF，

∴AB∥DE．

故答案为①②④；③．

22．世界预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是甲专家预测：中国队只要得11分就能确保出线．

问：（1）这四支队的总得分之和最多有几分？

（2）甲专家的预测正确吗？为什么？

【解析】解：（1）∵每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分

∴每场比赛最多得3分，

又四个队之间需要打比赛12场，

∴这四支队的总得分之和最多有3×12＝36分；

（2）甲专家的预测正确．

若得11分不出线，则必为第三名，故前两名至少也得11分，

而最后一名至少得3分，故各队之和至少有36分，

由（1）可知比赛中没有平局，

而中国队已经得了11分，所以必有平局，

故不可能，所以必出线．

23．如图，点C、D、E在同一条直线上，AD⊥BE于点F，BC⊥BE，∠A＝∠C．求证：AB∥CD．

【解析】证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，

∴AD∥BC，

∴∠ADE＝∠C，

∵∠A＝∠C，

∴∠ADE＝∠A，

∴AB∥CD．

24．如图，∠1与∠2互余，∠3＝∠4，AF⊥BD，垂足为G，那么AB∥CD吗？下面是说明AB∥CD的过程，请在括号内写上理由．

解：∵∠1与∠2互余，

∴∠1+∠2＝90°．

又∵AF⊥BD于G，

∴∠4+∠2＝90°，

∴∠1＝∠4（等量代换）．

又∵∠3＝∠4，

∴∠1＝∠3（　等量代换　）．

∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　）．

【解析】解：∵∠1与∠2互余，

∴∠1+∠2＝90°，

又∵AF⊥BD于G，

∴∠4+∠2＝90°，

∴∠1＝∠4（等量代换），

又∵∠3＝∠4，

∴∠1＝∠3（等量代换），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），

故答案为：等量代换；内错角相等，两直线平行．

25．如图，点C，F，E，B在同一直线上，点A，D分别在直线BC的两侧，且DF平分∠ADC，AE平分∠DAB，∠B＝∠C．求证：AE∥DF．

【解析】证明：如图，∵∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC,

∴∠OAB＝∠ODC，

又∵DF平分∠ADC，AE平分∠DAB，

∴∠FDO＝∠ODC，∠OAE＝∠OAB，

∴∠FDO＝∠OAE，

∴AE∥DF．

26．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，AF是△ABC的高，∠B＝30°，∠E＝40°，求∠ECD和∠FAC的度数．

【解析】解：∠ECD＝∠B+∠E＝30°+40°＝70°，

∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，

∴∠ACD＝2∠ECD＝140°，

∴∠ACF＝180°﹣∠ACD＝40°，

∵AF是△ABC的高，

∴∠ACF＝90°，

∴∠FAC＝90°﹣∠ACF＝50°，

答：∠ECD＝70°，∠FAC＝50°．

27．如图，在三角形ABC中，点D、E分别在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2．

（1）求证：AF∥BC；

（2）若AC平分∠BAF，∠B＝36°，求∠1的度数．

【解析】（1）证明：∵DE∥AC，

∴∠1＝∠C，

∵∠1＝∠2，

∴∠C＝∠2，

∴AF∥BC；

（2）解：∵AF∥BC，

∴∠B+∠BAF＝180°，

∵∠B＝36°，

∴∠BAF＝144°，

∵AC平分∠BAF，

∴∠2＝∠BAF＝72°，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝72°．

28．已知，直线AB∥CD，∠EFG＝α．

（1）如图1，∠EFG顶点F在AB上，FG与CD交于点N，FP平分∠EFB，反向延长FP交∠FNC的平分线于点H．若α＝90°，∠EFB＝55°，则∠FNC＝　35　°，∠FHN＝　45　°；

（2）如图2，∠EFG顶点F在AB与CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N，∠AMF的平分线MH与∠CNF的平分线交于点H，求∠MHN的度数（用含α的式子表示）．

【解析】解：（1）∵∠EFG＝90°，∠EFB＝55°，

∴∠BFN＝90°﹣55°＝35°，

∵AB∥CD，

∴∠FNC＝∠BFN＝35°，

∵NH、FP分别平分∠FNC、∠EFB，

∴∠FNH＝∠FNC＝17.5°，∠PFB＝∠EFB＝27.5°，

∴∠PFN＝∠PFB+∠BFN＝27.5°+35°＝62.5°，

∵∠PFN是△FHN的外角，

∴∠FHN＝∠PFN﹣∠FNH＝62.5°﹣17.5°＝45°．

故答案为：35°，45°．

（2）过点F作FJ∥AB，则FJ∥CD，

∴∠AMF＝∠MFJ，∠JFN＝∠FNC，

∴∠AMF+∠FNC＝∠MFJ+∠NFJ，

∴∠MFN＝∠AMF+∠FNC＝α，

同理可证，∠AMH+∠HNC＝∠MHN，

∵MH、NH分别平分∠AMF、∠FNC，

∴∠AMH＝∠AMF，∠HNC＝∠FNC，

∴∠MHN＝∠AMH+∠HNC＝（∠AMF+∠FNC）＝α．