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2018年天津市西青区中考数学一模试卷(解析版)
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这是一份2018年天津市西青区中考数学一模试卷(解析版)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
2018年天津市西青区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）计算2×（﹣3）的结果等于（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．5
2．（3分）sin30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）第十三届全运会在天津拉开帷幕，全民以“我要上全运”为主题，举办大型健身赛事活动，参与市民约4 000 000人，将4 000 000用科学记数法表示为（ ）21世纪教育网
A．4×106 B．40×105 C．400×104 D．4×105
5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．. C．. D．.
6．（3分）估计﹣2的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（3分）计算的结果为（ ）
A． B． C．﹣1 D．2
8．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
9．（3分）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．﹣b＜a＜﹣1 B．1＜﹣a＜b C．﹣a＜﹣a＜b D．﹣a＜1＜b
10．（3分）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
11．（3分）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
12．（3分）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．（3分）计算：3x2•5x3的结果为 ．
14．（3分）计算（2+3）（2﹣3）的结果等于
15．（3分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是 ．
16．（3分）已知一次函数y=kx﹣5（k为常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限，写出一个符合条件的k的值为
17．（3分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，垂足为M，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为 ．
18．（3分）在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上
（Ⅰ）AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出线段AB的垂直平分线，并简要说明画图的方法（不要求证明）
三、简答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
20．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．
21．（10分）已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点D，与AD、AC分别交于点E、F
（Ⅰ）如图①，若∠AEF=52°，求∠C的度数．
（Ⅱ）如图②，若EF经过点O，且∠AEF=35°，求∠B的度数．
22．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）
23．（10分）某校运动会需购买A、B两种奖品共100件，其中A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元，且购买的A种奖品的数量不大于B种奖品的3倍
设购买A种奖品x件．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
购买A种奖品的数量/件
30
70
x
购买A种奖品的费用/元
300
购买B种奖品的费用/元
450
（Ⅱ）设购买奖品所需的总费用为y元，试求出总费用y与购买A种奖品的数量x的函数解析式；
（Ⅲ）试求A、B两种奖品各购买多少件时所需的总费用最少？此时的最少费用为多少元？
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（﹣2，0），把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB′O′，点B、O旋转后的对应点为B′、O′．
（Ⅰ）如图①，若旋转角为60°时，求BB′的长；
（Ⅱ）如图②，若AB′∥x轴，求点O′的坐标；
（Ⅲ）如图③，若旋转角为240°时，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）
25．（10分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过A（0，2）、B（4，0）两点．【21·世纪·教育·网】
（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这条抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点D的所有坐标（直接写出结果，不必写解答过程）
2018年天津市西青区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）计算2×（﹣3）的结果等于（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．5
【解答】解：原式=﹣2×3=﹣6，
故选：B．
2．（3分）sin30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：sin30°=，
故选：A．
3．（3分）下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、可以看作是中心对称图形，不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
B、既可以看作是中心对称图形，又可以看作是轴对称图形，故本选项正确；
C、既不可以看作是中心对称图形，又不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
D、既不可以看作是中心对称图形，又不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
4．（3分）第十三届全运会在天津拉开帷幕，全民以“我要上全运”为主题，举办大型健身赛事活动，参与市民约4 000 000人，将4 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．4×106 B．40×105 C．400×104 D．4×105
【解答】解：4 000 000=4×106．
故选：A．
5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．. C．. D．.
【解答】解：该立体图形主视图的第1列有1个正方形、第2列有1个正方形、第3列有2个正方形，
故选：C．
6．（3分）估计﹣2的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【解答】解：∵4＜5，
∴2＜﹣2＜3，
即﹣2在2和3之间，
故选：B．
7．（3分）计算的结果为（ ）
A． B． C．﹣1 D．2
【解答】解：﹣
=
=
=﹣1
故选：C．
8．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
【解答】解：因式分解，得
（x﹣2）（x+1）=0，
于是，得
x﹣2=0或x+1=0，
解得x1=﹣1，x2=2，
故选：D．
9．（3分）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．﹣b＜a＜﹣1 B．1＜﹣a＜b C．﹣a＜﹣a＜b D．﹣a＜1＜b
【解答】解：由题意，得
﹣b＜a＜﹣1，1＜﹣a＜b，
故D错误；
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）【21cnj*y.co*m】
A．3 B． C．5 D．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3，
则DE=8﹣3=5，
故选：C．
11．（3分）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【解答】解：∵反比例函数y=中，k=3＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴（x1，y1）、（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故选：B．
12．（3分）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）21*教*育*名*师
A． B． C．或 D．或
【解答】解：y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，
①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，
解得：m=﹣；
②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，
解得：m=＜2（舍）；
③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，
解得：m=或m=﹣＜﹣1（舍），
∴m的值为﹣或，
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．（3分）计算：3x2•5x3的结果为 15x5 ．
【解答】解：3x2•5x3=15x5．
故答案是：15x5．
14．（3分）计算（2+3）（2﹣3）的结果等于 ﹣6
【解答】解：原式=12﹣18
=﹣6．
故答案为﹣6．
15．（3分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是 ．21-cnjy*com
【解答】解：∵袋子中共有8个球，其中红球有3个，
∴任意摸出一球，摸到红球的概率是，
故答案为：．
16．（3分）已知一次函数y=kx﹣5（k为常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限，写出一个符合条件的k的值为 ﹣2
【解答】解：∵一次函数y=kx﹣5（k为常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0．
故答案是：﹣2．
17．（3分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，垂足为M，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为 ．
【解答】解：
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，
∵AB=12，BM=5，
∴AM=13，
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°=∠B，
∵∠BAE=90°，
∴∠BAM+∠MAE=∠MAE+∠E，
∴∠BAM=∠E，
∴△ABM∽△EMA，
∴=，即=，
∴AE=，
∴DE=AE﹣AD=﹣12=，
故答案为：．
18．（3分）在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上
（Ⅰ）AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出线段AB的垂直平分线，并简要说明画图的方法（不要求证明）
【解答】解：（I）AB==；
故答案为：；
（Ⅱ）如图所示：以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于点M，
连接AE，BF交于点N，过点M，N作直线MN，则直线MN即为所求．
三、简答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣3 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
【解答】解：
由不等式①，得
x≥﹣3，
由不等式②，得
x＞2，
故原不等式组的解集是x＞2，
故答案为：（Ⅰ）x≥﹣3，（Ⅱ）x＞2，
（Ⅲ）不等式的解集在数轴表示如下图所示，
．
20．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 ，图①中m的值为 32 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为： =50（人），
图①中m的值为×100=32，
故答案为：50、32；
（Ⅱ）∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为4；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有=3，
∴这组数据的中位数是3；
由条形统计图可得==3.2，
∴这组数据的平均数是3.2．
（Ⅲ）1500×28%=420（人）．
答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为420人．
21．（10分）已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点D，与AD、AC分别交于点E、F
（Ⅰ）如图①，若∠AEF=52°，求∠C的度数．
（Ⅱ）如图②，若EF经过点O，且∠AEF=35°，求∠B的度数．
【解答】解：（I）如图①，连接DF，（1分）
∵BC是⊙O的切线，
∴BC⊥AD，
∴∠ADC=90°，（2分）
∴∠FAD+∠C=90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，（3分）
∴∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠C=∠ADF，（4分）
∵∠AEF=∠ADF，
∴∠C=∠AEF=52°；（5分）
（II）如图②，连接ED，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴BC⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODE+∠EDB=90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，（7分）
∴∠AEF+∠DEO=90°，
∵∠AEF=35°，
∴∠DEO=55°，（8分）
∵AD是⊙O的直径，EF经过点O，
∴EO=OD，
∴∠ODE=∠OED=55°，（9分）
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴∠B+∠EDB=90°，
∴∠B=∠ODE=55°．（10分）
22．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD=67°，
∴AD=AB•sin67°=520×0.92=478.4km，
BD=AB•cos67°=520×0.38=197.6km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD•tan30°=197.6×≈113.9km，
∴AC=AD+CD=478.4+113.9≈592（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．
23．（10分）某校运动会需购买A、B两种奖品共100件，其中A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元，且购买的A种奖品的数量不大于B种奖品的3倍【21教育名师】
设购买A种奖品x件．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
购买A种奖品的数量/件
30
70
x
购买A种奖品的费用/元
300
700
10x
购买B种奖品的费用/元
1050
450
1500﹣15x
（Ⅱ）设购买奖品所需的总费用为y元，试求出总费用y与购买A种奖品的数量x的函数解析式；
（Ⅲ）试求A、B两种奖品各购买多少件时所需的总费用最少？此时的最少费用为多少元？
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，
当购买A种奖品30件时，购买A种奖品的费用是30×10=300（元），购买B种奖品的费用是15×（100﹣30）=1050（元），【21教育】
当购买A种奖品70件时，购买A种奖品的费用是70×10=700（元），购买B种奖品的费用是15×（100﹣70）=450（元），
当购买A种奖品x件时，购买A种奖品的费用是30x（元），购买B种奖品的费用是15×（100﹣x）=（1500﹣15x）（元），
故答案为：700、10x、1050、1500﹣15x；
（Ⅱ）由题意可得，
y=10x+15（100﹣x）=﹣5x+1500，
即总费用y与购买A种奖品的数量x的函数解析式是y=﹣5x+1500；
（Ⅲ）∵购买的A种奖品的数量不大于B种奖品的3倍，
∴x≤3（100﹣x），
解得，x≤75，
∵y=﹣5x+1500，
∴当x=75时，y取得最小值，此时y=﹣5×75+1500=1125，100﹣x=25，
答：购买的A种奖品75件，B种奖品25件时，所需的总费用最少，最少费用是1125元．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（﹣2，0），把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB′O′，点B、O旋转后的对应点为B′、O′．
（Ⅰ）如图①，若旋转角为60°时，求BB′的长；
（Ⅱ）如图②，若AB′∥x轴，求点O′的坐标；
（Ⅲ）如图③，若旋转角为240°时，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）
【解答】解：（I）∵点A（0，4），点B（﹣2，0），
∴OA=4，OB=2，
∴AB==2．
在图①中，连接BB′．
由旋转可知：AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴BB′=AB=2．
（II）在图②中，过点O′作O′D⊥x轴，垂足为D，交AB′于点E．
∵AB′∥x轴，O′E⊥x轴，
∴∠O′EA=90°=∠AOB．
由旋转可知：∠B′AO′=∠BAO，AO′=AO=4，
∴△AO′E∽△ABO，
==，即==，
∴AE=，O′E=，
∴O′D=+4，
∴点O′的坐标为（， +4）．
（III）作点A关于x轴对称的点A′，连接A′O′交x轴于点P，此时O′P+AP′取最小值，过点O′作O′F⊥y轴，垂足为点F，过点P′作PM⊥O′F，垂足为点M，如图3所示．
由旋转可知：AO′=AO=4，∠O′AF=240°﹣180°=60°，
∴AF=AO′=2，O′F=AO′=2，
∴点O′（﹣2，6）．
∵点A（0，4），
∴点A′（0，﹣4）．
设直线A′O′的解析式为y=kx+b，
将A′（0，﹣4）、O′（﹣2，6）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线A′O′的解析式为y=﹣x﹣4．
当y=0时，有﹣x﹣4=0，
解得：x=﹣，
∴点P（﹣，0），
∴OP=O′P′=．
在Rt△O′P′M中，∠MO′P′=60°，∠O′MP′=90°，
∴O′M=O′P′=，P′M=O′P′=，
∴点P′的坐标为（﹣2+，6+），即（﹣，）．
25．（10分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过A（0，2）、B（4，0）两点．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这条抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点D的所有坐标（直接写出结果，不必写解答过程）
【解答】解：（Ⅰ）把A（0，2）、B（4，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（，）；
（Ⅱ）设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（0，2）、B（4，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，
设N（t，﹣t2+t+2）（0＜t＜4），则N（t，﹣t+2），
∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）
=﹣t2+4t
=﹣（t﹣2）2+4，
当t=2时，MN有最大值，最大值为4；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得N（2，5），M（2，1），如图，
当MN为平行四边形的边时，MN∥AD，MN=AD=4，则D1（0，6），D2（0，﹣2），
当MN为平行四边形的对角线时，AN∥MN，AN=MD，由于点A向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到N点，则点M向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到D点，则D3的坐标为（4，4），
综上所述，D点坐标为（0，6）或（0，﹣2）或（4，4）．
2018年天津市西青区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）计算2×（﹣3）的结果等于（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．5
2．（3分）sin30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）第十三届全运会在天津拉开帷幕，全民以“我要上全运”为主题，举办大型健身赛事活动，参与市民约4 000 000人，将4 000 000用科学记数法表示为（ ）21世纪教育网
A．4×106 B．40×105 C．400×104 D．4×105
5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．. C．. D．.
6．（3分）估计﹣2的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（3分）计算的结果为（ ）
A． B． C．﹣1 D．2
8．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
9．（3分）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．﹣b＜a＜﹣1 B．1＜﹣a＜b C．﹣a＜﹣a＜b D．﹣a＜1＜b
10．（3分）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
11．（3分）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
12．（3分）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．（3分）计算：3x2•5x3的结果为 ．
14．（3分）计算（2+3）（2﹣3）的结果等于
15．（3分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是 ．
16．（3分）已知一次函数y=kx﹣5（k为常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限，写出一个符合条件的k的值为
17．（3分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，垂足为M，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为 ．
18．（3分）在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上
（Ⅰ）AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出线段AB的垂直平分线，并简要说明画图的方法（不要求证明）
三、简答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
20．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．
21．（10分）已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点D，与AD、AC分别交于点E、F
（Ⅰ）如图①，若∠AEF=52°，求∠C的度数．
（Ⅱ）如图②，若EF经过点O，且∠AEF=35°，求∠B的度数．
22．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）
23．（10分）某校运动会需购买A、B两种奖品共100件，其中A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元，且购买的A种奖品的数量不大于B种奖品的3倍
设购买A种奖品x件．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
购买A种奖品的数量/件
30
70
x
购买A种奖品的费用/元
300
购买B种奖品的费用/元
450
（Ⅱ）设购买奖品所需的总费用为y元，试求出总费用y与购买A种奖品的数量x的函数解析式；
（Ⅲ）试求A、B两种奖品各购买多少件时所需的总费用最少？此时的最少费用为多少元？
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（﹣2，0），把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB′O′，点B、O旋转后的对应点为B′、O′．
（Ⅰ）如图①，若旋转角为60°时，求BB′的长；
（Ⅱ）如图②，若AB′∥x轴，求点O′的坐标；
（Ⅲ）如图③，若旋转角为240°时，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）
25．（10分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过A（0，2）、B（4，0）两点．【21·世纪·教育·网】
（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这条抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点D的所有坐标（直接写出结果，不必写解答过程）
2018年天津市西青区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）计算2×（﹣3）的结果等于（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．5
【解答】解：原式=﹣2×3=﹣6，
故选：B．
2．（3分）sin30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：sin30°=，
故选：A．
3．（3分）下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、可以看作是中心对称图形，不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
B、既可以看作是中心对称图形，又可以看作是轴对称图形，故本选项正确；
C、既不可以看作是中心对称图形，又不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
D、既不可以看作是中心对称图形，又不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
4．（3分）第十三届全运会在天津拉开帷幕，全民以“我要上全运”为主题，举办大型健身赛事活动，参与市民约4 000 000人，将4 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．4×106 B．40×105 C．400×104 D．4×105
【解答】解：4 000 000=4×106．
故选：A．
5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．. C．. D．.
【解答】解：该立体图形主视图的第1列有1个正方形、第2列有1个正方形、第3列有2个正方形，
故选：C．
6．（3分）估计﹣2的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【解答】解：∵4＜5，
∴2＜﹣2＜3，
即﹣2在2和3之间，
故选：B．
7．（3分）计算的结果为（ ）
A． B． C．﹣1 D．2
【解答】解：﹣
=
=
=﹣1
故选：C．
8．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
【解答】解：因式分解，得
（x﹣2）（x+1）=0，
于是，得
x﹣2=0或x+1=0，
解得x1=﹣1，x2=2，
故选：D．
9．（3分）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．﹣b＜a＜﹣1 B．1＜﹣a＜b C．﹣a＜﹣a＜b D．﹣a＜1＜b
【解答】解：由题意，得
﹣b＜a＜﹣1，1＜﹣a＜b，
故D错误；
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）【21cnj*y.co*m】
A．3 B． C．5 D．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3，
则DE=8﹣3=5，
故选：C．
11．（3分）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【解答】解：∵反比例函数y=中，k=3＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴（x1，y1）、（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故选：B．
12．（3分）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）21*教*育*名*师
A． B． C．或 D．或
【解答】解：y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，
①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，
解得：m=﹣；
②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，
解得：m=＜2（舍）；
③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，
解得：m=或m=﹣＜﹣1（舍），
∴m的值为﹣或，
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．（3分）计算：3x2•5x3的结果为 15x5 ．
【解答】解：3x2•5x3=15x5．
故答案是：15x5．
14．（3分）计算（2+3）（2﹣3）的结果等于 ﹣6
【解答】解：原式=12﹣18
=﹣6．
故答案为﹣6．
15．（3分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是 ．21-cnjy*com
【解答】解：∵袋子中共有8个球，其中红球有3个，
∴任意摸出一球，摸到红球的概率是，
故答案为：．
16．（3分）已知一次函数y=kx﹣5（k为常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限，写出一个符合条件的k的值为 ﹣2
【解答】解：∵一次函数y=kx﹣5（k为常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0．
故答案是：﹣2．
17．（3分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，垂足为M，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为 ．
【解答】解：
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，
∵AB=12，BM=5，
∴AM=13，
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°=∠B，
∵∠BAE=90°，
∴∠BAM+∠MAE=∠MAE+∠E，
∴∠BAM=∠E，
∴△ABM∽△EMA，
∴=，即=，
∴AE=，
∴DE=AE﹣AD=﹣12=，
故答案为：．
18．（3分）在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上
（Ⅰ）AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出线段AB的垂直平分线，并简要说明画图的方法（不要求证明）
【解答】解：（I）AB==；
故答案为：；
（Ⅱ）如图所示：以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于点M，
连接AE，BF交于点N，过点M，N作直线MN，则直线MN即为所求．
三、简答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣3 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
【解答】解：
由不等式①，得
x≥﹣3，
由不等式②，得
x＞2，
故原不等式组的解集是x＞2，
故答案为：（Ⅰ）x≥﹣3，（Ⅱ）x＞2，
（Ⅲ）不等式的解集在数轴表示如下图所示，
．
20．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 ，图①中m的值为 32 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为： =50（人），
图①中m的值为×100=32，
故答案为：50、32；
（Ⅱ）∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为4；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有=3，
∴这组数据的中位数是3；
由条形统计图可得==3.2，
∴这组数据的平均数是3.2．
（Ⅲ）1500×28%=420（人）．
答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为420人．
21．（10分）已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点D，与AD、AC分别交于点E、F
（Ⅰ）如图①，若∠AEF=52°，求∠C的度数．
（Ⅱ）如图②，若EF经过点O，且∠AEF=35°，求∠B的度数．
【解答】解：（I）如图①，连接DF，（1分）
∵BC是⊙O的切线，
∴BC⊥AD，
∴∠ADC=90°，（2分）
∴∠FAD+∠C=90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，（3分）
∴∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠C=∠ADF，（4分）
∵∠AEF=∠ADF，
∴∠C=∠AEF=52°；（5分）
（II）如图②，连接ED，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴BC⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODE+∠EDB=90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，（7分）
∴∠AEF+∠DEO=90°，
∵∠AEF=35°，
∴∠DEO=55°，（8分）
∵AD是⊙O的直径，EF经过点O，
∴EO=OD，
∴∠ODE=∠OED=55°，（9分）
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴∠B+∠EDB=90°，
∴∠B=∠ODE=55°．（10分）
22．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD=67°，
∴AD=AB•sin67°=520×0.92=478.4km，
BD=AB•cos67°=520×0.38=197.6km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD•tan30°=197.6×≈113.9km，
∴AC=AD+CD=478.4+113.9≈592（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．
23．（10分）某校运动会需购买A、B两种奖品共100件，其中A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元，且购买的A种奖品的数量不大于B种奖品的3倍【21教育名师】
设购买A种奖品x件．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
购买A种奖品的数量/件
30
70
x
购买A种奖品的费用/元
300
700
10x
购买B种奖品的费用/元
1050
450
1500﹣15x
（Ⅱ）设购买奖品所需的总费用为y元，试求出总费用y与购买A种奖品的数量x的函数解析式；
（Ⅲ）试求A、B两种奖品各购买多少件时所需的总费用最少？此时的最少费用为多少元？
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，
当购买A种奖品30件时，购买A种奖品的费用是30×10=300（元），购买B种奖品的费用是15×（100﹣30）=1050（元），【21教育】
当购买A种奖品70件时，购买A种奖品的费用是70×10=700（元），购买B种奖品的费用是15×（100﹣70）=450（元），
当购买A种奖品x件时，购买A种奖品的费用是30x（元），购买B种奖品的费用是15×（100﹣x）=（1500﹣15x）（元），
故答案为：700、10x、1050、1500﹣15x；
（Ⅱ）由题意可得，
y=10x+15（100﹣x）=﹣5x+1500，
即总费用y与购买A种奖品的数量x的函数解析式是y=﹣5x+1500；
（Ⅲ）∵购买的A种奖品的数量不大于B种奖品的3倍，
∴x≤3（100﹣x），
解得，x≤75，
∵y=﹣5x+1500，
∴当x=75时，y取得最小值，此时y=﹣5×75+1500=1125，100﹣x=25，
答：购买的A种奖品75件，B种奖品25件时，所需的总费用最少，最少费用是1125元．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（﹣2，0），把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB′O′，点B、O旋转后的对应点为B′、O′．
（Ⅰ）如图①，若旋转角为60°时，求BB′的长；
（Ⅱ）如图②，若AB′∥x轴，求点O′的坐标；
（Ⅲ）如图③，若旋转角为240°时，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）
【解答】解：（I）∵点A（0，4），点B（﹣2，0），
∴OA=4，OB=2，
∴AB==2．
在图①中，连接BB′．
由旋转可知：AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴BB′=AB=2．
（II）在图②中，过点O′作O′D⊥x轴，垂足为D，交AB′于点E．
∵AB′∥x轴，O′E⊥x轴，
∴∠O′EA=90°=∠AOB．
由旋转可知：∠B′AO′=∠BAO，AO′=AO=4，
∴△AO′E∽△ABO，
==，即==，
∴AE=，O′E=，
∴O′D=+4，
∴点O′的坐标为（， +4）．
（III）作点A关于x轴对称的点A′，连接A′O′交x轴于点P，此时O′P+AP′取最小值，过点O′作O′F⊥y轴，垂足为点F，过点P′作PM⊥O′F，垂足为点M，如图3所示．
由旋转可知：AO′=AO=4，∠O′AF=240°﹣180°=60°，
∴AF=AO′=2，O′F=AO′=2，
∴点O′（﹣2，6）．
∵点A（0，4），
∴点A′（0，﹣4）．
设直线A′O′的解析式为y=kx+b，
将A′（0，﹣4）、O′（﹣2，6）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线A′O′的解析式为y=﹣x﹣4．
当y=0时，有﹣x﹣4=0，
解得：x=﹣，
∴点P（﹣，0），
∴OP=O′P′=．
在Rt△O′P′M中，∠MO′P′=60°，∠O′MP′=90°，
∴O′M=O′P′=，P′M=O′P′=，
∴点P′的坐标为（﹣2+，6+），即（﹣，）．
25．（10分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过A（0，2）、B（4，0）两点．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这条抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点D的所有坐标（直接写出结果，不必写解答过程）
【解答】解：（Ⅰ）把A（0，2）、B（4，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（，）；
（Ⅱ）设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（0，2）、B（4，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，
设N（t，﹣t2+t+2）（0＜t＜4），则N（t，﹣t+2），
∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）
=﹣t2+4t
=﹣（t﹣2）2+4，
当t=2时，MN有最大值，最大值为4；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得N（2，5），M（2，1），如图，
当MN为平行四边形的边时，MN∥AD，MN=AD=4，则D1（0，6），D2（0，﹣2），
当MN为平行四边形的对角线时，AN∥MN，AN=MD，由于点A向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到N点，则点M向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到D点，则D3的坐标为（4，4），
综上所述，D点坐标为（0，6）或（0，﹣2）或（4，4）．
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