初中沪科版第24章 圆24.4 直线与圆的位置关系24.4.2 切线的判定与性质当堂达标检测题

这是一份初中沪科版第24章 圆24.4 直线与圆的位置关系24.4.2 切线的判定与性质当堂达标检测题，共26页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-10切线的判定与性质③

一、解答题
1．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知点和点．对于线段和直线外的一点，给出如下定义：点到线段两个端点的连线所构成的夹角叫做线段关于点的可视角，其中点叫做线段的可视点．

(1)在点、、中，使得线段的可视角为的可视点是 　　；
(2)为经过，两点的圆，点是上线段的一个可视点．
①当为的直径时，线段的可视角为 　　度；
②当的半径为4时，线段的可视角为 　　度；
(3)已知点为轴上的一个动点，当线段的可视角最大时，求点的坐标．
2．（2023·北京海淀·九年级期末）已知AB为的直径，EF切于点D，过点B作于点H交于点C，连接BD．

（Ⅰ）如图①，若，求的大小；
（Ⅱ）如图②，若C为弧BD的中点，求的大小．
3．（2023·北京海淀·九年级期末）已知，是的直径，与相切于点，，点在上，且，两点位于异侧，，连接．

（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，若，，作于点，连接，求线段的长．
4．（2023·北京海淀·九年级期末）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线，
小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：
①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；
②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．

5．（2023·北京海淀·九年级期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图1，和外一点．
求作：过点的的切线．
作法：如图2，
①连结，作线段的中点；
②以为圆心，的长为半径作圆，交于点；
③作直线和，直线即为所求作的切线．
请在图2中补全图形，并完成下面的证明．
证明：连接，如图2，
由作法可知，为的直径，
∴（_____________）（填推理的依据），
∴，
∵点在上，
∴直线是圆的切线（_____________）（填推理的依据），
同理，直线也是圆的切线．
6．（2023·北京海淀·九年级期末）下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点．
求作：直线和直线，使切于点，切于点．
作法：如图，
①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，；
②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点；
③作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
根据小乐设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵是的直径，
∴________（________）（填推理的依据）．
∴，．
∵，是的半径，
∴，是的切线．
7．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为4，求的长．
8．（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点，，在上，且．
求作：直线，使其过点，并与相切．
作法：①连接；
②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；
③作直线．
直线就是所求作直线．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，
∵，
∴四边形是菱形，
∵点，，在上，且，
∴______°（_________________）（填推理的依据）．
∴四边形是正方形，
∴，即，
∵为半径，
∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．
9．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，且与相交于点．

(1)求证：与相切；
(2)当时，在的圆上取点，使，求点到直线的距离．
10．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若°，，求DF的长．
11．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，AB为的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作，ED与相切于点D．

(1)求证：AD平分．
(2)若，，求CE和DE的长．
12．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．

13．（2023·北京海淀·九年级期末）已知：如图，是的切线，为切点．
求作：的另一条切线，为切点．
作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点；
作直线．
直线即为所求．

(1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明过程．
证明：连接，，．
∵是的切线，为切点，
∴．
∴．
在与中，
∴．∴．
∴于点．∵是的半径，
∴是的切线（____________________）（填推理的依据）．

参考答案：
1．(1)
(2)①；②
(3)或

【分析】（1）以为底作等腰直角三角形，以直角顶点为圆心，直角边为半径作圆，则、两点与优弧上点形成的角是的可视角的可视点；
（2）①是直径，可视角是；
②半径是4时，圆心和、两点形成的是等边三角形，圆心角是，故可视角是；
（3）当是最大时，过两点的圆与轴相切，进而可求得结果．
【详解】（1）解：如图1，

以为底在轴作等腰和，以和为圆心，为半径作和，
当点在优弧上或上时，线段的可视角是，
此时，点，，
因为点在圆外，所以点不是的可视角为的可视点，
，
点是的可视角为的可视点，
，
点不是的可视角为的可视点，
故答案是：；
（2）①是直径，
，
②，
，
，
故答案是：，；
（3）如图2，

作的外接圆，作直径，连接，
，
，
，
，
当最小时，最大，即最大，
点在上，
当和轴相切时，最大，
此时，连接，作于，
轴，
，
在中，，，
，
，
或．
【点睛】本题是新定义理解题，考查了圆周角定理及其推论，圆的切线性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是确定最大时，是的外接圆与轴相切．
2．（1）；（2）．
【分析】（1）连接OD．由切线的性质即可证明，，从而证明．由圆的基本性质可知，即，即可求出．
（2）连接OD、OC、CD． 由圆的基本性质结合三角形内角和定理可求出，再由圆周角定理得出，即，从而证明．由等弧对等角可得，再结合（1）即证明．由于，即可最后求出的大小．
【详解】（1）如图，连接OD．
由切线的性质结合题意可知，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．

（2）如图，连接OD、OC、CD．
∵OC=OD，
∴．
∵，即，
∴，
∵，
∴．
∵C为中点，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴．
∴．

【点睛】本题为圆的综合题．考查圆的基本性质，切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及圆周角定理．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
3．（1）见详解；（2）OM=1．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质得出，由平行线的性质得出∠BOD=∠AOD=，则可得出结论；
（2）连接AD，作ON⊥CD于N，取AD的中点H，连接OH，MH，由等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理可求出答案．
【详解】证明：（1）连接OD，

∵EF与⊙O相切于点D，
∴，
又∵EF∥AB，
∴ ，
又∵∠ACD=∠AOD，∠DCB=∠DOB，
∴∠ACD=∠DCB，
∴CD平分∠ACB；
（2）连接AD，作ON⊥CD于N，

∵AM⊥CD，
∴ ，
取AD的中点H，连接OH，MH，
则AH=DH=OH=MH=AD，
∴A，D，O，M四点都在⊙H上，
∴ ，
又∵ON⊥CD，
∴△MNO是等腰直角三角形，
又∵AB是直径，
∴ ，
又∵CD平分∠ACB，AM⊥CD，
∴△AMC是等腰直角三角形，
又∵AC=6，
∴AM=CM=，
∴DM=CD-CM=7-3=4，
∴在Rt△AMD中由勾股定理可得 ，
∵在等腰△AOD中，OC=OD，
∴利用勾股定理得： 即，则：．
设MN=ON=x，则DN=4-x，
在Rt△OMD中ON2+DN2=DO2，
∴x2+（4-x）2=52 ，
∴ x=或 x=，，
又∵x＜5，
∴ x=，
∴OM=x=1．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
4．两种作法都正确，证明见解答．
【分析】选作法一、连接BC，判断出四边形OBCP为菱形，得出∠BOP=90°，进而判断出∠OPC=90°，即可得出结论；
选作法二、连接DE，设PD=5x，AP=4x，PC=3x，得出，进而得出∠APE=90°，即可得出结论．
【详解】解：选作法一、如图作法一，

连接BC，由题意得，OB=OP=BC=PC，
∴四边形OBCP为菱形，
∴∠BOP=90°，
∴OBCP，
∵∠BOP=90°，
∴∠OPC=90°，
∵OP为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
选作法二、如图作法二，

连接DE，由题意设，AP=4x，
∴PE=3x，AE=PD=4x，
∴，
∴△APE是直角三角形，∠APE=90°，
∵OP为⊙P的半径，
∴PE是⊙O的切线．
【点睛】此题主要考查了尺规作图，正方形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
5．见详解，直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空．
【详解】解：补画图形如下，



证明：连接，如图2，
由作法可知，为的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角），
∴，
∵点在上，
∴直线是圆的切线（经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
同理，直线也是圆的切线．
【点睛】本题主要考查了作图—过圆外一点作圆的切线、圆周角定理的推论和切线的判定定理等知识，熟练掌握基本作图方法和熟记直径所对的圆周角为直角是解题关键．
6．(1)见解析
(2)，直径所对的圆周角为直角

【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形如图：

（2）证明：∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角）．
∴，．
∵，是的半径，
∴，是的切线．
故答案为：，直径所对的圆周角为直角
【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，根据，可得，即可得证；
（2）过点作于点，得出四边形是矩形，进而得出，根据（1）可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，点为的中点，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴是的切线；
（2）如图，过点作于点，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
8．(1)见解析；
(2)90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示；

（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)或

【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证；
（2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，

为的中点，是中点，
，
是的直径，
，
，
，
又，
，
，
是切线
，
，
，
是切线；
（2）当点在上时，连接，交于点，

，
，
，
，
直径，
，

，
当点在半圆上时，过点作，垂足为点,，垂足为点，

四边形是矩形，
在中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，证明可得结论；
（2）再中，，，得到，，再在中，由，继而求得；
【详解】（1）证明：连接．

∵ 是的直径，平分，

∴ .
又∵ ，
∴ ．
即 ．
∴ 直线为的切线．
（2）解：∵ 是的直径，
∴．
又∵，，
∴ ．
∴ ．
∵ ，

∴ .
∵ ，
∴ ,
，
设则，
又，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
故
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
11．(1)见解析
(2)，

【分析】（1）连接OD．根据切线的性质及平行线的判定得出，利用平行线的性质及等边对等角即可证明；
（2）连接BC交OD于点G，根据垂径定理得出．由勾股定理得出，利用三角形中位线的性质及各线段间的数量关系即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接OD．

∵ED与相切于点D，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即AD平分．
（2）如图，连接BC交OD于点G．
∵AB为的直径，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴G为BC的中点，
∴．
∵，，
∴，
∵点O点G分别为AB、BC的中点，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四边形CEDG是矩形，
∴，．
【点睛】题目主要考查三角形与圆的综合问题，包括切线的性质，等边对等角的性质，勾股定理解三角形，垂径定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12．，
【分析】根据切线性质得出OB⊥AB，根据平行四边形的性质，得出，，证明△OCB为等腰直角三角形，得出∠C＝∠OBC＝45°，根据平行线的性质得出∠AOB＝∠OBC＝45°最后根据圆周角定理即可得出∠E．
【详解】解：连接OB，如图所示：

∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴，，
∴OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠OBC＝45°，
∵，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴∠E∠AOB＝22.5°．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理、圆周角定理，等腰直角三角形性质、平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆的有关性质，是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】（1）按照作法作出图形即可；
（2）连接，，，证明即可证明是的切线．
【详解】（1）补全图形，如图所示：

（2）连接，，．

∵是的切线，A为切点，
∴．
∴．
在与中，
∴．∴．
∴于点．∵是的半径，
∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查了尺柜作图，切线的性质和判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．