初中人教版第二十七章 相似综合与测试单元测试测试题

这是一份初中人教版第二十七章 相似综合与测试单元测试测试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A. 1：25B. 1：5C. 1：2.5D.1:
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可：
∵两个相似多边形面积的比为1：5，
∴它们的相似比为1: ．
故选D．
考点：相似多边形的性质．
2. 下列各组中的四条线段成比例的是
A. ，b=3，c=2， B. ，，，
C. ，，，D. ，b=3，c=4，
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
详解】解：A．×3≠2×，故本选项错误；
B．4×10≠5×6，故本选项错误；
C．2×=×2，故本选项正确；
D．4×1≠3×2，故本选项错误；
故选C．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值求解即可．
【详解】∵AB∥EF∥DC，∴=．
∵DE=3，DA=5，CF=4，∴=，∴CB=，∴FB=CB﹣CF=﹣4=．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
4. 已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（ ）
A. 2：5B. 5：2C. 5：3D. 3：5
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据比例设x=2k，y=3k，然后代入比例式进行计算即可得解．
解：设x=2k，y=3k，
则（x+y）：y=（2k+3k）：3k=5：3．
故选C．
考点：比例的性质．
5. 如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A. B. ∠ADC=∠ACB
C. ∠ACD=∠BD. AC2=AD•AB
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【详解】若，无法证明∠ACD=∠B，不能判定△ACD与△ABC相似；
若∠ADC=∠ACB，结合∠A=∠A可得：△ACD∽△ABC；
若∠ACD=∠B，结合∠A=∠A可得：△ACD∽△ABC；
若AC2=AD•AB，即=，结合∠A=∠A可得：△ACD∽△ABC．
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
6. 如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．
考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定．
7. 如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于B，测得AB=6m，则池塘的宽DE为（ ）
A. 25 mB. 30 mC. 36 mD. 40 m
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：将原题转化为相似三角形，根据相似三角形的性质解答，即可得出DE的宽
解：∵AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
即，
解得DE=36 m．
故选C
考点：相似三角形的应用
点评：此题主要考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出池塘的宽度，体现了方程的思想
8. 如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=2，DB=1，S△ADE=4，则S四边形DBCE（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可以得到△ADE和△ABC相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以求得△ABC的面积，从而可求得四边形DBCE的面积．
【详解】∵AD=2，DB=1，∴AB=AD+DB=3．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．
∵S△ADE=4，∴S△ABC=9，∴S四边形DBCE=9﹣4=5．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9. 如图1，在三角形纸片ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
10. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质得到答案．
【详解】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=．
∵DE∥AC，∴==，∴=．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A. （3，2）B. （3，1）C. （2，2）D. （4，2）
【答案】A
【解析】
【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴=，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴=，
∴=，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选A．
12. 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为（ ）
A. 2：5B. 4：25C. 4：31D. 4：35
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可证明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面积之间的关系，从而可求得△DEF和△BCD的面积之间的关系，可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∴，
设S△DEF=S，则=S，=S，
∴=S+S=S，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△ABD=S△DBC=S，
∴S四边形EFBC=S△BDC-S△DEF=S-S=S，
∴S△DEF：S四边形EFBC=4：31．
故选：C．
13. 如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．
【详解】∵AD∥BC，∴．
∵ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．
∵CD∥BE，∴∠DCF=∠E，∴△CDF∽△EBC，∴．
∵CD∥BE，∴，∴．
∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC，∴，∴A错误．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形、相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
二、填空题
14. 在1：500000的盐城市地图上，新建的环城高架线估计长4.2 cm，那么等环城高架造好后实际长约__千米．
【答案】21
【解析】
【分析】设环城高架造好后实际长约x cm．根据比例尺=图上距离：实际距离，可得4.2：x=1：500000，解方程即可求出x．
【详解】设环城高架造好后实际长约x cm，则
4.2：x=1：500000
解得：x=2100000，2100000 cm=21千米．
故答案为21．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是熟记比例尺的定义，找准对应关系，注意单位之间的换算．
15. 如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=______．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，
∵AC：CE=3：5，
∴AC：AE=3：8，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BD=，
∴DF=，
考点：平行线分线段成比例．
16. 某同学的身高为1.4 m，某一时刻他在阳光下的影长为1.2 m．此时，与他相邻的一棵小树的影长为3.6 m，这棵树的高度为_____m．
【答案】4．2．
【解析】
【详解】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
试题解析：设高度为h，
因为太阳光可以看作是互相平行的，
由相似三角形知：，
解得h=4.2 m．
考点: 相似三角形的应用．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB距离最小．运用勾股定理求解.
【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠A=60°，∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
【点睛】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.
18. 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是_____．
【答案】-2.5
【解析】
【分析】过B和B′向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给B′的横坐标即可求得点B的横坐标．
【详解】
过点B. B′分别作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B′EC=90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B. C. B′在一条直线上，
∴∠BCD=∠B′CE，
∴△BCD∽△B′CE，
,
又，
.
又∵点B′的横坐标是2,点C的坐标是(−1,0)，
∴CE=3，
,
，
∴点B的横坐标为：−2.5.
故答案为−2.5.
【点睛】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质，掌握位似的两个图形是相似形和相似三角形的性质是解题的关键.
19. 如图，在中，点、分别在、上，且，若，，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，得到 ，通过△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到DE：BC=AD：AB=4：7．
【详解】解：∵S△ADE=4，S△BDE=3
∴
∴
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB=4：7．
故答案为4：7．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，知道不等底同高的三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
20. 如图所示，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？
【答案】0.8或2
【解析】
【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP=2x cm，BQ=4x cm．
∵AB=8 cm，BC=16 cm，∴BP=（8﹣2x）cm，分两种情况讨论：
①BP与BC边是对应边，则=，即=，解得：x=0.8；
②BP与AB边是对应边，则=，即=，解得：x=2．
综上所述：经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
故答案为0.8或2．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错．
21. 晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为_米．
【答案】6.6
【解析】
【详解】设路灯的高为，∵GH⊥BD，AB⊥BD，∴GH∥AB．∴△EGH∽△EAB．
∴①．同理△FGH∽△FCD. ②．∴．
∴．解得EB=11，代入①得，解得x=6.6（米）．
三、简答题
22. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
【答案】(1)见解析．(2)位似比为1：2．(3)见解析
【解析】
【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O．
（2）根据△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，即可求解.
（3）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1．
【详解】（1）如图，O点即为所求，
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即3：6=1：2．
（3）如图，△A1B1C1为所求.
23. 如图，∥∥，AB=3，BC=5，DF=12，求DE和EF的长．
【答案】DE=4.5，EF=7.5．
【解析】
【详解】试题分析：根据直线平行得出AB:BC=DE:EF=3：5，根据DF=12得出答案.
试题解析：∵∥∥，∴AB：BC=DE：EF，∵AB=3，BC=5，DF=12，
∴3：5=DE：（12-DE）， ∴DE=4.5， ∴EF=12-4.5=7.5．
考点：平行线截线段成比例
24. 如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
【答案】（1）AD2=AC•CD．（2）36°．
【解析】
【分析】（1）通过计算得到=，再计算AC·CD，比较即可得到结论；
（2）由，得到，即，从而得到△ABC∽△BDC，故有，从而得到BD=BC=AD，故∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠ABC=∠C=∠BDC=2x，由三角形内角和等于180°，解得：x=36°，从而得到结论．
【详解】（1）∵AD=BC=，
∴==．
∵AC=1，
∴CD==，
∴；
（2）∵，
∴，
即，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
又∵AB=AC，
∴BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，
∴∠ABD=36°．
考点：相似三角形的判定与性质．