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第12讲 二次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
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这是一份第12讲 二次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
第12讲 二次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
一、单选题
1．（2022·衢州）已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则a的值为（ ）
A．12或4 B．43或-12 C．-43或4 D．-12或4
2．（2022·嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B．32 C．2 D．52
3．（2022·宁波）点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上。若y1
A．y=x2+3 B．y=x2-3 C．y=(x+3)2 D．y=(x-3)2
5．（2022·杭州）已知二次函数y=x2+ax+b(a，b为常数)．命题①：该函数的图象经过点(1，0)；命题②：该函数的图象经过点(3，0)；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④；该函数的图象的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是( )
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
6．（2022·温州）已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 y=(x-1)2-2 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若 c<0 ，则 a0 ，则 a
A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5
8．（2022·奉化模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 过点 (-1，0) ， (0，-1) ，顶点在第四象限，记 P=2a-b ，则P的取值范围是（ ）
A．0
A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D
10．（2022·宁波模拟）抛物线 y＝x2﹣6x+4 的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（-3，5） C．（3，-5） D．（-3，-5）
二、填空题
11．（2022·衢州模拟）为了在体育中考中取得更好的成绩，小豪积极训练，体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析，如图，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-225(x-4)2+2，由此可知小豪此次投掷的成绩是 m.
12．（2022·浦江模拟）如图，抛物线y=-45x2+1与抛物线y=kx2-2的交点在x轴上，现将抛物线y=-45x2+1向下平移15个单位，y=kx2-2向上平移 个单位，平移后两条抛物线的交点还在x轴上.
13．（2022·南浔模拟）如图，一组x轴正半轴上的点 B1 ， B2 ，… Bn 满足条件 OB1=B1B2=B2B3⋯=Bn-1Bn=2 ，抛物线的顶点 A1 ， A2 ，… An 依次是反比例函数 y=9x 图象上的点，第一条抛物线以 A1 为顶点且过点O和 B1 ；第二条抛物线以 A2 为顶点且经过点 B1 和 B2 ；……第n条抛物线以 An 为顶点且经过点 Bn-1 ， Bn ，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成 ΔOA1B1 、 ΔB1A2B2 、…、 ΔBn-1AnBn .
（1）请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 ；
（2）若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为 .
14．（2022·宁波模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 M ， N 的坐标分别为（-1，2）， （2，1） ，若抛物线 y=ax2-x+2(a＞0） 与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
15．（2022·普陀模拟）平行四边形 ABCD中，BC＝14 ，BD＝3AC，设AC＝x，则x的取值范围是 ，平行四边形ABCD面积的最大值是 ．
16．（2022·玉环模拟）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为 h1 ，第二次反弹后的最大高度为 h2 ，第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度 BC=23h1 ，若 OB=90dm，OA=2AB ，则 h2h1 为 ．
17．（2021·北仑模拟） 北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱。有一草莓种植大户，每天草莓的采摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完。经调查发现，零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为 元时，该种植户一天的销售收入最大。
18．（2022·金东模拟）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 AD ， BC 为同一抛物线的一部分， AB ， CD 都与水平地面平行，当杯子装满水后 AB=4cm ， CD=8cm ，液体高度 12cm ，将杯子绕 C 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 ∠ABE=45° 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 BE= cm ，液面 BE 到点 C 所在水平地面的距离是 cm ．
图1 图2
19．（2022·兰溪模拟）已知抛物线 y1=x2-2x-3 ， y2=x2-x-2a ，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为 .
20．（2022·上城模拟）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(分)之间满足关系y=-0.1x 2 +2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强，在第 分钟时，学生接受能力最强.
三、综合题
21．（2022·温州模拟）疫情期间，某口罩公司生产A、B两种类型医用口罩.一家超市4月份向该公司订购了1500件A型口罩和1500件B型口罩，一共花了5700元；5月份又花5600元订购了2000件A型口罩和1000件B型口罩.
（1）求该公司A、B两种类型医用口罩的单价.
（2）6月份，该超市决定只卖A型口罩.经调查发现，当销售单价定为2元时，每天可售出100件，销售单价每涨价0.1元，每天销售量减少10件.设每天销售量为y件，销售单价为x元（2≤x≤2.5）.
①求y与x的函数关系式.
②该超市决定每销售一件口罩便向某慈善机构捐赠a元（0.2≤a≤0.4）.当销售单价为多少元时，当月获得的利润最大？最大利润为多少元？
22．（2022·临安模拟）设二次函数 y=x2-(m+1)x+m2+2m+2 （m是常数）．
（1）当 m=3 时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）试判断二次函数图象与x轴的交点情况；
（3）设二次函数的图象与y轴交于点 (0，n) ，当 -2≤m≤2 时，求n的最大值．
23．（2022·杭州模拟）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本.
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
24．（2022·婺城模拟）定义：对于两个关于x的函数y1，y2.如果x=t，两个函数的函数值相等，即y1=y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，其中x=t叫做函数y1，y2的“等值根”.例如：对于函数y1=2x，y2=-x+3.当x=1时，y1=y2=2.因此y1，y2互为“等值函数”，x=1是这两个函数的“等值根”.
（1）函数y=x-1与y=1x （填“是”或“不是”）“等值函数”；
（2）已知函数y1=k(x-1)+1与y2=2x-2(x≥1)2-2x(x<1)，y3=-|x2+2x|.函数y2的图象如图所示.
①若k=-1，求y1与y2的“等值根”；
②若y1与y2只存在一个“等值根”，则k的取值范围为 ▲ 。
③若函数y1与y3互为“等值函数”，且有两个“等值根”，请直接写出k的取值范围.
25．（2022·诸暨模拟）已知直线y=-43x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=23x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m＞0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，联结PB.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）将△BDP绕点B旋转得到△BD'P'，且旋转角∠PBP'=∠OAC，当点P对应点P'落在y轴上时，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：y＝a（x−1）2−a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，−a），
当a＞0时，在−1≤x≤4，函数有最小值−a，
∵y的最小值为−4，
∴−a＝−4，
∴a＝4；
当a＜0时，在−1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a−a＝−4，
解得a＝−12；
综上所述：a的值为4或−12.
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在−1≤x≤4，函数有最小值−a；当a＜0时，在−1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
2．【答案】C
【解析】【解答】 解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，
∴b=ak+3，c=4k+3，
∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+32k）2-94k，
∴当k＜0时，ab取最大值为-94k，
∵ab的最大值为9，
∴-94k=9，解得k=-14，
∴c=4×（-14）+3，
∴c=2.
故答案为：C.
【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+32k）2-94k，当k＜0时，ab取最大值为-94k，又ab的最大值为9，即-94k=9，求得k=-14，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上 ，
∴y1=(m-1-1)2+n ， y2=(m-1)2+n ，
∵y1
整理得：-2m+3<0，
∴m>32，
故答案为：B.
【分析】把A、B点坐标代入函数式，根据y1
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴ 平移后的抛物线解析式为y=x2+3.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象平移特征，即“左减右加，看x；上加下减，看y”，因为抛物线y=x2向上平移3个单位，只需要在解析式后加平移单位即可得到平移后的抛物线解析式.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x=1，
则x=-a2=1，
解得a=-2，
∵函数的图象经过（3，0）
，∴3a+b+9=0，
解得b=-3，
故抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
令y=0，得x2-2x-3=0
解得x1=-1，x2=3，
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④正确，命题①错误，
故答案为：A.
【分析】假设抛物线的对称轴为直线x=1（假设命题④是真命题），由抛物线的对称轴为x=-a2可解得a值，进而确定b指，从而可得抛物线的解析式，再由二次函数图象与性质可判断命题①②③真假.从而可解.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝（x−1）2−2，a＞0
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x−1）2−2上，点A在点B左侧，
∴a＜b
若c＜0，则c＜a＜b，故A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性，可知当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，利用点A在点B左侧，可确定出a＜b；再分情况讨论：若c＜0；若c＞0；可得到符合题意的选项.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，
∴-m2=2
解之：m=-4，
∴x2-4x=5即x2-4x-5=0
∴（x-5）（x+1）=0
∴x-5=0或x+1=0
解之：x1=5，x2=-1.
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=2，可求出m的值；将m的值代入方程，利用因式分解法求出方程的解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵a＞0，-b2a＞0，
∴b＜0，
∵抛物线y=ax2+bx+c过点（-1，0），（0，-1），
∴a-b+c=0，c=-1，
∴a-b=1，即b=a-1，
∴-1＜b＜0，
∵P=2a-b=2a-2b+b，2a-2b=2，
∴1＜P＜2.
故答案为：B.
【分析】由a＞0，-b2a＞0，可得b＞0，再由抛物线y=ax2+bx+c过点（-1，0），（0，-1），从而得a-b+c=0，c=-1，即得b=a-1，继而得-1＜b＜0，再根据P=2a-b=2a-2b+b，2a-2b=2，结合不等式的性质即可得出P的取值范围.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2（x-1）2-1的顶点坐标为（1，-1），
∴坐标原点可能是点A.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线的顶点坐标为（1，-1），在第四象限，得出坐标原点可能是点A。即可得出答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵ y＝x2﹣6x+4
=(x-3)2-9+4
=(x-3)2-5，
∴顶点坐标为(3，-5).
故答案为：C.
【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，根据y=a(x-h)2+k(a≠0)的顶点坐标是(h，k)，即可作答.
11．【答案】9
【解析】【解答】解：由题意得
当y=0，-225(x-4)2+2=0，
化简得：(x-4)2=25，
解得：x1=9，x2=-1（舍去），
故答案为：9.
【分析】令y=0，求出x的值，进而可得小豪此次投掷的成绩.
12．【答案】25
【解析】【解答】解：把y＝0代入y=-45x2+1得0=-45x2+1，
解得x1=52，x2=-52，
∴抛物线交点坐标为（52，0），（-52，0），
把（52，0）代入y＝kx2﹣2得0=54k-2，
解得k=85，
∴y=85x2﹣2，
抛物线y=-45x2+1向下平移15个单位后解析式为y=-45x2+45，
把y＝0代入y=-45x2+45得0=-45x2+45，
解得x＝±1，
∴抛物线y=-45x2+45与x轴交点为（1，0），（﹣1，0），
把x＝1代入y=85x2﹣2得y=-25，
∴抛物线经过（1，-25），
∴把抛物线y=85x2﹣2向上移动25个单位后抛物线经过（1，0），
故答案为：25.
【分析】 由y=-45x2+1求出y=0时x值，即得抛物线交点坐标为（52，0），（-52，0），将（52，0）代入y＝kx2﹣2求出k值，即得y=85x2﹣2.求出抛物线y=-45x2+1向下平移15个单位后解析式为y=-45x2+45，求出y=0时x值，即得y=-45x2+45与x轴交点为（1，0），（﹣1，0），将x＝1代入y=85x2﹣2中求出x值，即得结论.
13．【答案】（1）1或2或5
（2）y=-x2+18x-80
【解析】【解答】解：（1）∵第n条抛物线以An（xn，yn）为顶点且经过点Bn−1（2n−2，0），Bn（2n，0），等腰△AnBn−1Bn为第n个三角形.
∴抛物线的对称轴为：x＝2n−1，
∵点An（xn，yn）（n为正整数）在反比例函数 y=9x 图象上，
∴An的坐标为（2n−1， 92n-1 ），
∴△AnBn−1Bn的面积＝ 12 ×2× 92n-1 ＝ 92n-1 ，
∴△AnBn−1Bn的面积为整数的n的值1或2或5，
故答案为：1或2或5；
（2）∵三角形是一个直角三角形，且底边长为2，
∴其底边上的高为1，
y=9x 中，令y=1，得x=9，
∴抛物线顶点为（9，1），且与x轴交点为（8，0），（10，0），
设抛物线解析式为 y=a(x-9)2+1 ，
把（8，0）代入，得a=-1，
故抛物线解析式为： y=-(x-9)2+1=-x2+18x-80 ，
故答案为： y=-x2+18x-80.
【分析】（1）可得等腰△AnBn−1Bn为第n个三角形，从而求出抛物线的对称轴为：x＝2n−1，将点An（xn，yn）（n为正整数）代入 y=9x中，可得An的坐标为（2n−1， 92n-1 ），可得△AnBn−1Bn的面积＝ 12 ×2× 92n-1 ＝ 92n-1 ， 据此求出三角形面积为整数的n值即可；
（2）由于三角形是一个直角三角形，且底边长为2，可知其底边上的高为1，当y=1时y=9x=9，可得
抛物线顶点为（9，1），且与x轴交点为（8，0），（10，0），可设抛物线解析式（顶点式）为y=a(x-9)2+1，将（8，0）代入求出a值即可.
14．【答案】14≤a＜13
【解析】【解答】解：由抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+2（a＞0）①，M，N坐标分别为（﹣1，2），（2，1），画函数图象如下，
设直线MN的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴-k+b=22k+b=1，解得k=-13b=53
∴直线MN的解析式为y＝﹣13x+53②，
联立①②并整理得：3ax2﹣2x+1＝0，
∵Δ＞0，
∴a＜13，
∵当0＜a＜13时，抛物线开口向上，
∴需满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点，即重合或在点M、N的上方，
∴a+1+2≥24a-2+2≥1，解得：a≥14，
∴a的取值范围为14≤a＜13.
故答案为：14≤a＜13.
【分析】由抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+2（a＞0）①，M，N坐标分别为（﹣1，2），（2，1），画出函数图象，再利用待定系数法求出直线MN的解析式，与抛物线联立方程组，根据抛物线与线段MN有两个不同交点，利用根判别式大于零，求得a＜13；再根据当0＜a＜13时，抛物线开口向上，
需满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点，即重合或在点M、N的上方，列出关于a的不等式组，求得a≥14，再将a满足的范围求出公共解集即可.
15．【答案】7＜x＜14；147
【解析】【解答】解：如图：设AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，
∵BD=3AC，AC=x，
∴BD=3x，
∴BO=12BD=32x，CO=12AC=x2，
∴在△BOC中有：BO+CO>BCBO-CO
∴32x+12x>1432x-12x<14，
∴7
∴当OE最大时，平行四边形ABCD的面积最大，
设BE=y，则CE=14-y，
∴OE2=BO2-BE2，OE2=CO2-CE2，
∴BO2-BE2=CO2-CE2，
即(32x)2-y2=(12x)2-(14-y)2，
∴y=7+x214，即BE=7+x214，
∴OE=(32x)2-(7+x214)2=-x4196+54x2-49，
令x2=t，则OE=-t2196+54t-49，
∴当t=4904时，即x=7102时，OE最大，
∴OE=214，
∴平行四边形ABCD的面积最大值为：28×OE=28×214=147．
故答案为：7＜x＜14；147.
【分析】设AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，由题意可得BD=3x，根据平行四边形的性质可得BO=32x，CO=12x，根据三角形的三边关系可得x的范围，根据平行四边形的性质可得SABCD=4S△BOC=28OE，设BE=y，则CE=14-y，根据勾股定理可得BO2-BE2=CO2-CE2可表示出y，根据勾股定理可得OE，然后结合二次函数的性质进行解答.
16．【答案】2536
【解析】【解答】解：∵OB=90dm，OA=2AB，
∴OA=23OB=60dm，AB=30dm，
∴第一次反弹后抛物线的对称轴为x=30，顶点坐标为（30，h1）
∴设第一次反弹后的抛物线解析式为y=a（x-30）2+h1，
∵第一次反弹后抛物线过原点，
∴a（0-30）2+h1=0，
解得：h1＝-900a，
又∵每次反弹后保持相同的抛物线形状，
∴设第二次反弹后的抛物线解析式为y=a（x-m）2+h2，
∵BC＝23h1，
∴BC＝-600a，
∴C点坐标为（90，-600a）
∵抛物线过A，C两点，
∴0=a（60-m）2+h2-600a=a（90-m）2+h2，
整理，解得：m=85h2=-625a ，
∴h2h1=-625a-900a=2536.
故答案为：2536.
【分析】易知OA及AB的长度，从而得第一次反弹后抛物线的对称轴为x=30dm，顶点坐标为（30，h1），设第一次反弹后的抛物线解析式为y=a（x-30）2+h1，由第一次反弹后抛物线过原点，可求出h1＝-900a；根据每次反弹后保持相同的抛物线形状，设第二次反弹后的抛物线解析式为y=a（x-m）2+h2，再由BC＝23h1，得BC＝-600a，即点C（90，-600a），把A，C两点坐标代入函数解析式可解出h2的值，即可求得h2h1的值.
17．【答案】25
【解析】【解答】解：设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，
由题意得，y=x·[300-30（x-22）]+18×30（x-22）=﹣30x2+1500x-11880，
∵-30＜0，
∴当x=﹣b2a=﹣1500-60=25时，y最大，
即当草莓的零售价为25元/千克时，种植户一天的销售收入最大．
故答案为：25.
【分析】设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，再根据零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，可列二次函数关系式y=x·[300-30（x-22）]+18×30（x-22），整理得y=﹣30x2+1500x-11880，再结合二次函数的性质求解即可.
18．【答案】52；72
【解析】【解答】解：如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，
根据题意知：A（-2，-12），B（2，12），C（4，0），D（-4，0），M（2，0），BM=12，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴4a-2b+c=124a+2b+c=1216a+4b+c=0，
∴a=-1b=0c=16，
∴抛物线的解析式为y=-x2+16，
∵∠ABE=45°，∠ABM=90°，
∴∠FBM=45°，
∵∠BMF=90°，
∴∠BFM=∠FBM=45°，
∴FM=BM=12，
∴BF=122，
∵M（2，0），
∴F（-10，0），
设BF的解析式为y=kx+b1，
∴2k+b1=12-10k+b1=0，
∴k=1b1=10，
∴BF的解析式为y=x+10，
联立方程组y=-x2+16y=x+10，
解得x1=2y1=12，x2=-3y2=7，
∴E（-3，7），
∵B（2，12），C（4，0），
∴BE=2+32+12-72=52，CE=4+32+0-72=72，
∴EF=BF-BE=122-52=72，
∵C（4，0），F（-10，0），
∴CF=14，
∵（72）2+（72）2=142，
∴EF2+CE2=CF2，
∴∠FEC=90°，
∴点C到BE的距离为CE=72.
故答案为52；72.
【分析】如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，分别求出抛物线和直线BE的解析式，以及点E的坐标，从而求出BE，CE，EF的长，再根据勾股定理的逆定理得出∠FEC=90°，得出点C到BE的距离为CE的长，即可得出答案.
19．【答案】-18 ，1，3
【解析】【解答】解：∵y1=x2-2x-3=(x+1)(x-3)
∴抛物线 y1=x2-2x-3 与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
∵抛物线 y1=x2-2x-3 ， y2=x2-x-2a 与x轴共有3个交点，
∴分三种情况：
①抛物线 y2=x2-x-2a 与x轴有一个交点，则有
(-1)2-4×1×(-2a)=0
解得： a=-18
②当抛物线 y2=x2-x-2a 经过点（-1，0）时，则有：
(-1)2-(-1)-2a=0
解得， a=1
③当抛物线 y2=x2-x-2a 经过点（3，0）时，则有：
32-3-2a=0
解得， a=3
综上，两个抛物线与x轴共有3个交点时a的值有 -18 ，1，3.
故答案为： -18 ，1，3.
【分析】易得抛物线y1与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），当抛物线y2与x轴有一个交点时，根据△=0可得a的值；当抛物线y2经过点（-1，0）时，代入求解可得a的值；当抛物线y2经过点（3，0）时，代入求解可得a的值.
20．【答案】13
【解析】【解答】解：∵−0.1<0，
∴函数开口向下，有最大值，
根据二次函数的性质，当 x=-2.62×(-0.1)=13 时，y最大，
即在第13分钟时，学生接受能力最强.
故答案为：13.
【分析】根据函数关系式可得函数开口向下，有最大值，然后结合二次函数的性质进行解答.
21．【答案】（1）解：设A口罩的单价为m元，则B口罩的单价n元.
由题意，得1500m+1500n=57002000m+1000n=5600，
解，得m=1.8n=2
答：A、B口罩的单价分别为1.8元和2元；
（2）解：①由题意可得：y=100-10×x-20.1=-100x+300（2≤x≤2.5）
②设该超市每天获得的利润为W元，
由题意可得：
W=(x-1.8-a)y=(x-1.8-a)(-100x+300)=-100x2+(480+100a)x-540-300a，
∵-b2a=12a+2.4，0.2≤a≤0.4，
∴2.5≤12a+2.4≤2.6，
∵2≤x≤2.5，a=-100<0，
∴当x=2.5时，一天获得的利润最大，为(35-50a)元.
因此，该超市当月获得的最大利润为(35-50a)×30=1050-1500a元.
【解析】【分析】（1）设A口罩的单价为m元，B口罩的单价n元，根据购了1500件A型口罩和1500件B型口罩，一共花了5700元可得1500m+1500n=5700；根据花5600元订购了2000件A型口罩和1000件B型口罩可得2000m+1000n=5600，联立求解即可；
（2）①根据题意可得每天的销售量减少x-20.1×10，然后利用100减去减少的量可得y与x的关系式；
②设该超市每天获得的利润为W元，根据(售价-进价-向某慈善机构捐赠的钱数)×销售量可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）解：当m＝3时，二次函数y＝x2﹣4x+17＝（x﹣2）2+13，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13）；
（2）解：令x2﹣（m+1）x+m2+2m+2＝0，
∴Δ＝（m+1）2﹣4（m2+2m+2）＝﹣3（m+1）2﹣4＜0，
∴该一元二次方程无解，
∴二次函数图象与x轴无交点；
（3）解：令x＝0，
∴n＝m2+2m+2＝（m+1）2+1，
∴对称轴为m=-1，
∵﹣2≤m≤2，抛物线开口向上，
∴当m＝2时，二次函数有最大值，即n的最大值为10．
【解析】【分析】（1）将m＝3代入二次函数解析式，再把函数解析式化成顶点式，即可得出对称轴和顶点坐标；
（2）判断根的判别式Δ的正负即可得出结论；
（3）令x=0，可得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质可得出n的最大值.
23．【答案】（1）解：∵依题意得y=50+(100-x)×12×10，
∴y与x的函数关系式为y=-5x+550；
（2）解：∵依题意得y(x-50)=4000，
即(-5x+550)(x-50)=4000，
解得：x1=70，x2=90，
∵70<90
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）解：设每月总利润为w，依题意得
w=y(x-50)=(-5x+550)(x-50)=-5x2+800x-27500
∵-5<0，此图象开口向下
∴当x=-8002×(-5)=80时， w有最大值为：-5×802+800×80-27500=4500（元），
∴当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元，
故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元.
【解析】【分析】（1）根据实际销售量=原销售量+10×12（销售单价-原计划销售单价）列式即可；
（2）销售利润=单件利润×销售量，据此列出方程并解之即可；
（3）根据销售利润=单件利润×销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可.
24．【答案】（1）是
（2）解：① 由题意：k=﹣1，y1=﹣x+2
当x≥1时，﹣x+2=2x﹣2，解得x=43
当x＜1时，﹣x+2=2﹣2x，解得x=0
∴y1与y2的等值根为0或43；
②k≥2或k≤-2；
③k<-8或13
∴当x=1±52时，y1=y2
∴函数y=x-1与y=1x是“等值函数”；
故答案为：是；
（2）解：②∵y1=k(x-1)+1
∴y1过定点(1，1)，
如图，
∴k≥2或k≤-2时，y1与y2只存在一个“等值根”，
③如图，
由y3=-|x2+2x|，令y=0，解得x1=0，x2=-2
∴A(-2，0)，对称轴为x=-1，
∴B(-1，-1)
由（2）可知y1过定点P(1，1)
当y1经过点A时，设PA解析式为y=kx+b，将P(1，1)，A(-2，0)代入得，
k+b=1-2k+b=0
解得k=13b=23
∴设PA解析式为y=13x+22，
当y1经过点B时，设PA解析式为y=k1x+b1，将P(1，1)，A(-1，-1)代入得，
k+b=1-k+b=-1
解得k=1b=0
∴设PA解析式为y=x，
根据函数图象可知，当13
由y3=-|x2+2x|，当-2
即x2+2x=kx-k+1
x2+(2-k)x+k-1=0
△=(2-k)2-4(k-1)=0
解得k=4+22（舍去）或k=4-22
由y3=-|x2+2x|，当x>0时，y3=-x2-2x
y3=-x2-2xy1=k(x-1)+1
即-x2-2x=kx-k+1
-x2-(2+k)x+k-1=0
△=(2+k)2+4(k-1)=0
解得k=0（舍去）或k=-8
综上所述，当k<-8或13
（2）①当k=﹣1时y1=﹣x+2 ，分两种情况当x≥1和x＜1 ，据此分别建立方程并求解即可；
②由y1=k(x-1)+1知y1过定点(1，1)，分别画出y1，y2的图象，根据图象及 “等值根”的定义即可求解；
③如图，由y3=-|x2+2x|，令y=0，解得x1=0，x2=-2即得A（-2，0），对称轴为直线x=-1，从而求出B（-1，-1），由（2）可知y1过定点P(1，1)，利用待定系数法求出y1经过点A时PA解析式为y=13x+22，y1经过点B时PA解析式y=x，根据函数图象可知当130时y3=-x2-2x，联立y1=k(x-1)+1，可得关于x的一元二次方程，根据△=0求出k值.结合函数图象即可求出k的范围.
25．【答案】（1）解：由直线y=-43x+n过点C（0，4），
得n=4，
∴直线y=-43x+4，
当y=0时，0=-43x+4，解得x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线y=23x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，-2），
∴6+3b+c=0c=-2，
解得b=-43c=-2，
∴y=23x2-43x-2；
（2）解：由题意设P（m，23m2-43m-2），D（m，-2），
若△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD，
①当点P在直线BD的上方时，PD=23m2-43m，
∵m＞0，∴点P在y轴的右侧，BD=m，
∴23m2-43m=m，
解得m1=0（舍去），m2=72，
PD=72；
②当点P在直线BD的下方时，m＞0，BD=m，PD=-23m2+43m，
∴-23m2+43m=m，
解得m1=0（舍去），m2=12，
综上，m=72或12；
∴当△BPD为等腰直角三角形时，PD的长为72或12；
（3）解：∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，
∴AC=5，sin∠PBP'=sin∠OAC=45，cos∠PBP'=35，
当点P'落在y轴上时，如图，过点D'作D'M⊥x轴交BD于点M，过点P'作P'N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，
∵逆时针旋转，
∴∠DBD'=∠PBP'，P'D'=PD，BD=BD'，
∵∠BD′M+∠P′D′N=180°-∠BD′P′=90°，∠D′BM+∠BD′M=90°，
∴∠P′D′N=∠D′BM，
∴∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
∴P'D'=PD=23m2-43m，BD=BD'=xP=m，
在Rt△P'ND'中，P'N=P'D'·sin∠ND'P'=45(23m2-43m)，
在Rt△BMD'中，BM=BD'·cos∠DBD'=35m，
∵P'N=BM，
即：45×（23m2-43m）=35m，
解得：m=258或m=0（舍去），
将m=258代入抛物线得：y=1132，
∴P（258，1132）.
当点P'落在y轴上时，如图，过点D'作D'M⊥x轴交BD于点M，过点P'作P'N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，
∵顺时针旋转
∴∠DBD'=∠PBP'，P'D'=PD，BD=BD'，
∵∠BD′M+∠P′D′N=180°-∠BD′P′=90°，∠D′BM+∠BD′M=90°，
∴∠P′D′N=∠D′BM，
∴∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
∴P'D'=PD=43m-23m2，BD=BD'=xP=m，
在Rt△P'ND'中，P'N=P'D'·sin∠ND'P'=45(43m-23m2)，
在Rt△BMD'中，BM=BD'·cos∠DBD'=35m，
∵P'N=BM，
即：45(43m-23m2)=35m，
解得：m=78或m=0（舍去），
将m=78代入抛物线得：y=-25596，
∴P（78，-25596）.
∴当点P对应点P'落在y轴上时，点P的坐标（258，1132）或（78，-25596）.
【解析】【分析】（1）将C（0，4）代入y=-43x+n中可得n的值，进而可得直线解析式，令y=0，求出x的值，可得A（3，0），然后将A、B的坐标代入y=23x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）P（m，23m2-43m-2），则D（m，-2），△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD，①当点P在直线BD的上方时，PD=23m2-43m，BD=m，根据PD=BD求出m的值，进而可得PD；②当点P在直线BD的下方时，BD=m，PD=-23m2+43m，同理可得m的值，进而得到PD；
（3）利用勾股定理求出AC，根据三角函数的概念可得sin∠PBP′、cos∠PBP′的值，当点P′落在y轴上时，过点D′作D′M⊥x轴交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，根据旋转的性质可得∠DBD′=∠PBP′，P′D′=PD，BD=BD′，推出∠P′D′N=∠D′BM，表示出P′D′、BD，根据三角函数的概念可得P′N、BM，根据P′N=BM可得m的值，进而可得点P的坐标；当点P′落在y轴上时，过点D′作D′M⊥x轴交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，同理可得点P的坐标
第12讲 二次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
一、单选题
1．（2022·衢州）已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则a的值为（ ）
A．12或4 B．43或-12 C．-43或4 D．-12或4
2．（2022·嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B．32 C．2 D．52
3．（2022·宁波）点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上。若y1
A．y=x2+3 B．y=x2-3 C．y=(x+3)2 D．y=(x-3)2
5．（2022·杭州）已知二次函数y=x2+ax+b(a，b为常数)．命题①：该函数的图象经过点(1，0)；命题②：该函数的图象经过点(3，0)；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④；该函数的图象的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是( )
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
6．（2022·温州）已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 y=(x-1)2-2 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若 c<0 ，则 a
A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5
8．（2022·奉化模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 过点 (-1，0) ， (0，-1) ，顶点在第四象限，记 P=2a-b ，则P的取值范围是（ ）
A．0
A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D
10．（2022·宁波模拟）抛物线 y＝x2﹣6x+4 的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（-3，5） C．（3，-5） D．（-3，-5）
二、填空题
11．（2022·衢州模拟）为了在体育中考中取得更好的成绩，小豪积极训练，体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析，如图，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-225(x-4)2+2，由此可知小豪此次投掷的成绩是 m.
12．（2022·浦江模拟）如图，抛物线y=-45x2+1与抛物线y=kx2-2的交点在x轴上，现将抛物线y=-45x2+1向下平移15个单位，y=kx2-2向上平移 个单位，平移后两条抛物线的交点还在x轴上.
13．（2022·南浔模拟）如图，一组x轴正半轴上的点 B1 ， B2 ，… Bn 满足条件 OB1=B1B2=B2B3⋯=Bn-1Bn=2 ，抛物线的顶点 A1 ， A2 ，… An 依次是反比例函数 y=9x 图象上的点，第一条抛物线以 A1 为顶点且过点O和 B1 ；第二条抛物线以 A2 为顶点且经过点 B1 和 B2 ；……第n条抛物线以 An 为顶点且经过点 Bn-1 ， Bn ，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成 ΔOA1B1 、 ΔB1A2B2 、…、 ΔBn-1AnBn .
（1）请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 ；
（2）若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为 .
14．（2022·宁波模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 M ， N 的坐标分别为（-1，2）， （2，1） ，若抛物线 y=ax2-x+2(a＞0） 与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
15．（2022·普陀模拟）平行四边形 ABCD中，BC＝14 ，BD＝3AC，设AC＝x，则x的取值范围是 ，平行四边形ABCD面积的最大值是 ．
16．（2022·玉环模拟）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为 h1 ，第二次反弹后的最大高度为 h2 ，第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度 BC=23h1 ，若 OB=90dm，OA=2AB ，则 h2h1 为 ．
17．（2021·北仑模拟） 北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱。有一草莓种植大户，每天草莓的采摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完。经调查发现，零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为 元时，该种植户一天的销售收入最大。
18．（2022·金东模拟）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 AD ， BC 为同一抛物线的一部分， AB ， CD 都与水平地面平行，当杯子装满水后 AB=4cm ， CD=8cm ，液体高度 12cm ，将杯子绕 C 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 ∠ABE=45° 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 BE= cm ，液面 BE 到点 C 所在水平地面的距离是 cm ．
图1 图2
19．（2022·兰溪模拟）已知抛物线 y1=x2-2x-3 ， y2=x2-x-2a ，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为 .
20．（2022·上城模拟）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(分)之间满足关系y=-0.1x 2 +2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强，在第 分钟时，学生接受能力最强.
三、综合题
21．（2022·温州模拟）疫情期间，某口罩公司生产A、B两种类型医用口罩.一家超市4月份向该公司订购了1500件A型口罩和1500件B型口罩，一共花了5700元；5月份又花5600元订购了2000件A型口罩和1000件B型口罩.
（1）求该公司A、B两种类型医用口罩的单价.
（2）6月份，该超市决定只卖A型口罩.经调查发现，当销售单价定为2元时，每天可售出100件，销售单价每涨价0.1元，每天销售量减少10件.设每天销售量为y件，销售单价为x元（2≤x≤2.5）.
①求y与x的函数关系式.
②该超市决定每销售一件口罩便向某慈善机构捐赠a元（0.2≤a≤0.4）.当销售单价为多少元时，当月获得的利润最大？最大利润为多少元？
22．（2022·临安模拟）设二次函数 y=x2-(m+1)x+m2+2m+2 （m是常数）．
（1）当 m=3 时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）试判断二次函数图象与x轴的交点情况；
（3）设二次函数的图象与y轴交于点 (0，n) ，当 -2≤m≤2 时，求n的最大值．
23．（2022·杭州模拟）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本.
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
24．（2022·婺城模拟）定义：对于两个关于x的函数y1，y2.如果x=t，两个函数的函数值相等，即y1=y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，其中x=t叫做函数y1，y2的“等值根”.例如：对于函数y1=2x，y2=-x+3.当x=1时，y1=y2=2.因此y1，y2互为“等值函数”，x=1是这两个函数的“等值根”.
（1）函数y=x-1与y=1x （填“是”或“不是”）“等值函数”；
（2）已知函数y1=k(x-1)+1与y2=2x-2(x≥1)2-2x(x<1)，y3=-|x2+2x|.函数y2的图象如图所示.
①若k=-1，求y1与y2的“等值根”；
②若y1与y2只存在一个“等值根”，则k的取值范围为 ▲ 。
③若函数y1与y3互为“等值函数”，且有两个“等值根”，请直接写出k的取值范围.
25．（2022·诸暨模拟）已知直线y=-43x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=23x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m＞0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，联结PB.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）将△BDP绕点B旋转得到△BD'P'，且旋转角∠PBP'=∠OAC，当点P对应点P'落在y轴上时，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：y＝a（x−1）2−a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，−a），
当a＞0时，在−1≤x≤4，函数有最小值−a，
∵y的最小值为−4，
∴−a＝−4，
∴a＝4；
当a＜0时，在−1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a−a＝−4，
解得a＝−12；
综上所述：a的值为4或−12.
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在−1≤x≤4，函数有最小值−a；当a＜0时，在−1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
2．【答案】C
【解析】【解答】 解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，
∴b=ak+3，c=4k+3，
∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+32k）2-94k，
∴当k＜0时，ab取最大值为-94k，
∵ab的最大值为9，
∴-94k=9，解得k=-14，
∴c=4×（-14）+3，
∴c=2.
故答案为：C.
【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+32k）2-94k，当k＜0时，ab取最大值为-94k，又ab的最大值为9，即-94k=9，求得k=-14，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上 ，
∴y1=(m-1-1)2+n ， y2=(m-1)2+n ，
∵y1
整理得：-2m+3<0，
∴m>32，
故答案为：B.
【分析】把A、B点坐标代入函数式，根据y1
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴ 平移后的抛物线解析式为y=x2+3.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象平移特征，即“左减右加，看x；上加下减，看y”，因为抛物线y=x2向上平移3个单位，只需要在解析式后加平移单位即可得到平移后的抛物线解析式.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x=1，
则x=-a2=1，
解得a=-2，
∵函数的图象经过（3，0）
，∴3a+b+9=0，
解得b=-3，
故抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
令y=0，得x2-2x-3=0
解得x1=-1，x2=3，
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④正确，命题①错误，
故答案为：A.
【分析】假设抛物线的对称轴为直线x=1（假设命题④是真命题），由抛物线的对称轴为x=-a2可解得a值，进而确定b指，从而可得抛物线的解析式，再由二次函数图象与性质可判断命题①②③真假.从而可解.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝（x−1）2−2，a＞0
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x−1）2−2上，点A在点B左侧，
∴a＜b
若c＜0，则c＜a＜b，故A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性，可知当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，利用点A在点B左侧，可确定出a＜b；再分情况讨论：若c＜0；若c＞0；可得到符合题意的选项.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，
∴-m2=2
解之：m=-4，
∴x2-4x=5即x2-4x-5=0
∴（x-5）（x+1）=0
∴x-5=0或x+1=0
解之：x1=5，x2=-1.
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=2，可求出m的值；将m的值代入方程，利用因式分解法求出方程的解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵a＞0，-b2a＞0，
∴b＜0，
∵抛物线y=ax2+bx+c过点（-1，0），（0，-1），
∴a-b+c=0，c=-1，
∴a-b=1，即b=a-1，
∴-1＜b＜0，
∵P=2a-b=2a-2b+b，2a-2b=2，
∴1＜P＜2.
故答案为：B.
【分析】由a＞0，-b2a＞0，可得b＞0，再由抛物线y=ax2+bx+c过点（-1，0），（0，-1），从而得a-b+c=0，c=-1，即得b=a-1，继而得-1＜b＜0，再根据P=2a-b=2a-2b+b，2a-2b=2，结合不等式的性质即可得出P的取值范围.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2（x-1）2-1的顶点坐标为（1，-1），
∴坐标原点可能是点A.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线的顶点坐标为（1，-1），在第四象限，得出坐标原点可能是点A。即可得出答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵ y＝x2﹣6x+4
=(x-3)2-9+4
=(x-3)2-5，
∴顶点坐标为(3，-5).
故答案为：C.
【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，根据y=a(x-h)2+k(a≠0)的顶点坐标是(h，k)，即可作答.
11．【答案】9
【解析】【解答】解：由题意得
当y=0，-225(x-4)2+2=0，
化简得：(x-4)2=25，
解得：x1=9，x2=-1（舍去），
故答案为：9.
【分析】令y=0，求出x的值，进而可得小豪此次投掷的成绩.
12．【答案】25
【解析】【解答】解：把y＝0代入y=-45x2+1得0=-45x2+1，
解得x1=52，x2=-52，
∴抛物线交点坐标为（52，0），（-52，0），
把（52，0）代入y＝kx2﹣2得0=54k-2，
解得k=85，
∴y=85x2﹣2，
抛物线y=-45x2+1向下平移15个单位后解析式为y=-45x2+45，
把y＝0代入y=-45x2+45得0=-45x2+45，
解得x＝±1，
∴抛物线y=-45x2+45与x轴交点为（1，0），（﹣1，0），
把x＝1代入y=85x2﹣2得y=-25，
∴抛物线经过（1，-25），
∴把抛物线y=85x2﹣2向上移动25个单位后抛物线经过（1，0），
故答案为：25.
【分析】 由y=-45x2+1求出y=0时x值，即得抛物线交点坐标为（52，0），（-52，0），将（52，0）代入y＝kx2﹣2求出k值，即得y=85x2﹣2.求出抛物线y=-45x2+1向下平移15个单位后解析式为y=-45x2+45，求出y=0时x值，即得y=-45x2+45与x轴交点为（1，0），（﹣1，0），将x＝1代入y=85x2﹣2中求出x值，即得结论.
13．【答案】（1）1或2或5
（2）y=-x2+18x-80
【解析】【解答】解：（1）∵第n条抛物线以An（xn，yn）为顶点且经过点Bn−1（2n−2，0），Bn（2n，0），等腰△AnBn−1Bn为第n个三角形.
∴抛物线的对称轴为：x＝2n−1，
∵点An（xn，yn）（n为正整数）在反比例函数 y=9x 图象上，
∴An的坐标为（2n−1， 92n-1 ），
∴△AnBn−1Bn的面积＝ 12 ×2× 92n-1 ＝ 92n-1 ，
∴△AnBn−1Bn的面积为整数的n的值1或2或5，
故答案为：1或2或5；
（2）∵三角形是一个直角三角形，且底边长为2，
∴其底边上的高为1，
y=9x 中，令y=1，得x=9，
∴抛物线顶点为（9，1），且与x轴交点为（8，0），（10，0），
设抛物线解析式为 y=a(x-9)2+1 ，
把（8，0）代入，得a=-1，
故抛物线解析式为： y=-(x-9)2+1=-x2+18x-80 ，
故答案为： y=-x2+18x-80.
【分析】（1）可得等腰△AnBn−1Bn为第n个三角形，从而求出抛物线的对称轴为：x＝2n−1，将点An（xn，yn）（n为正整数）代入 y=9x中，可得An的坐标为（2n−1， 92n-1 ），可得△AnBn−1Bn的面积＝ 12 ×2× 92n-1 ＝ 92n-1 ， 据此求出三角形面积为整数的n值即可；
（2）由于三角形是一个直角三角形，且底边长为2，可知其底边上的高为1，当y=1时y=9x=9，可得
抛物线顶点为（9，1），且与x轴交点为（8，0），（10，0），可设抛物线解析式（顶点式）为y=a(x-9)2+1，将（8，0）代入求出a值即可.
14．【答案】14≤a＜13
【解析】【解答】解：由抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+2（a＞0）①，M，N坐标分别为（﹣1，2），（2，1），画函数图象如下，
设直线MN的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴-k+b=22k+b=1，解得k=-13b=53
∴直线MN的解析式为y＝﹣13x+53②，
联立①②并整理得：3ax2﹣2x+1＝0，
∵Δ＞0，
∴a＜13，
∵当0＜a＜13时，抛物线开口向上，
∴需满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点，即重合或在点M、N的上方，
∴a+1+2≥24a-2+2≥1，解得：a≥14，
∴a的取值范围为14≤a＜13.
故答案为：14≤a＜13.
【分析】由抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+2（a＞0）①，M，N坐标分别为（﹣1，2），（2，1），画出函数图象，再利用待定系数法求出直线MN的解析式，与抛物线联立方程组，根据抛物线与线段MN有两个不同交点，利用根判别式大于零，求得a＜13；再根据当0＜a＜13时，抛物线开口向上，
需满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点，即重合或在点M、N的上方，列出关于a的不等式组，求得a≥14，再将a满足的范围求出公共解集即可.
15．【答案】7＜x＜14；147
【解析】【解答】解：如图：设AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，
∵BD=3AC，AC=x，
∴BD=3x，
∴BO=12BD=32x，CO=12AC=x2，
∴在△BOC中有：BO+CO>BCBO-CO
∴32x+12x>1432x-12x<14，
∴7
∴当OE最大时，平行四边形ABCD的面积最大，
设BE=y，则CE=14-y，
∴OE2=BO2-BE2，OE2=CO2-CE2，
∴BO2-BE2=CO2-CE2，
即(32x)2-y2=(12x)2-(14-y)2，
∴y=7+x214，即BE=7+x214，
∴OE=(32x)2-(7+x214)2=-x4196+54x2-49，
令x2=t，则OE=-t2196+54t-49，
∴当t=4904时，即x=7102时，OE最大，
∴OE=214，
∴平行四边形ABCD的面积最大值为：28×OE=28×214=147．
故答案为：7＜x＜14；147.
【分析】设AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，由题意可得BD=3x，根据平行四边形的性质可得BO=32x，CO=12x，根据三角形的三边关系可得x的范围，根据平行四边形的性质可得SABCD=4S△BOC=28OE，设BE=y，则CE=14-y，根据勾股定理可得BO2-BE2=CO2-CE2可表示出y，根据勾股定理可得OE，然后结合二次函数的性质进行解答.
16．【答案】2536
【解析】【解答】解：∵OB=90dm，OA=2AB，
∴OA=23OB=60dm，AB=30dm，
∴第一次反弹后抛物线的对称轴为x=30，顶点坐标为（30，h1）
∴设第一次反弹后的抛物线解析式为y=a（x-30）2+h1，
∵第一次反弹后抛物线过原点，
∴a（0-30）2+h1=0，
解得：h1＝-900a，
又∵每次反弹后保持相同的抛物线形状，
∴设第二次反弹后的抛物线解析式为y=a（x-m）2+h2，
∵BC＝23h1，
∴BC＝-600a，
∴C点坐标为（90，-600a）
∵抛物线过A，C两点，
∴0=a（60-m）2+h2-600a=a（90-m）2+h2，
整理，解得：m=85h2=-625a ，
∴h2h1=-625a-900a=2536.
故答案为：2536.
【分析】易知OA及AB的长度，从而得第一次反弹后抛物线的对称轴为x=30dm，顶点坐标为（30，h1），设第一次反弹后的抛物线解析式为y=a（x-30）2+h1，由第一次反弹后抛物线过原点，可求出h1＝-900a；根据每次反弹后保持相同的抛物线形状，设第二次反弹后的抛物线解析式为y=a（x-m）2+h2，再由BC＝23h1，得BC＝-600a，即点C（90，-600a），把A，C两点坐标代入函数解析式可解出h2的值，即可求得h2h1的值.
17．【答案】25
【解析】【解答】解：设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，
由题意得，y=x·[300-30（x-22）]+18×30（x-22）=﹣30x2+1500x-11880，
∵-30＜0，
∴当x=﹣b2a=﹣1500-60=25时，y最大，
即当草莓的零售价为25元/千克时，种植户一天的销售收入最大．
故答案为：25.
【分析】设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，再根据零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，可列二次函数关系式y=x·[300-30（x-22）]+18×30（x-22），整理得y=﹣30x2+1500x-11880，再结合二次函数的性质求解即可.
18．【答案】52；72
【解析】【解答】解：如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，
根据题意知：A（-2，-12），B（2，12），C（4，0），D（-4，0），M（2，0），BM=12，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴4a-2b+c=124a+2b+c=1216a+4b+c=0，
∴a=-1b=0c=16，
∴抛物线的解析式为y=-x2+16，
∵∠ABE=45°，∠ABM=90°，
∴∠FBM=45°，
∵∠BMF=90°，
∴∠BFM=∠FBM=45°，
∴FM=BM=12，
∴BF=122，
∵M（2，0），
∴F（-10，0），
设BF的解析式为y=kx+b1，
∴2k+b1=12-10k+b1=0，
∴k=1b1=10，
∴BF的解析式为y=x+10，
联立方程组y=-x2+16y=x+10，
解得x1=2y1=12，x2=-3y2=7，
∴E（-3，7），
∵B（2，12），C（4，0），
∴BE=2+32+12-72=52，CE=4+32+0-72=72，
∴EF=BF-BE=122-52=72，
∵C（4，0），F（-10，0），
∴CF=14，
∵（72）2+（72）2=142，
∴EF2+CE2=CF2，
∴∠FEC=90°，
∴点C到BE的距离为CE=72.
故答案为52；72.
【分析】如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，分别求出抛物线和直线BE的解析式，以及点E的坐标，从而求出BE，CE，EF的长，再根据勾股定理的逆定理得出∠FEC=90°，得出点C到BE的距离为CE的长，即可得出答案.
19．【答案】-18 ，1，3
【解析】【解答】解：∵y1=x2-2x-3=(x+1)(x-3)
∴抛物线 y1=x2-2x-3 与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
∵抛物线 y1=x2-2x-3 ， y2=x2-x-2a 与x轴共有3个交点，
∴分三种情况：
①抛物线 y2=x2-x-2a 与x轴有一个交点，则有
(-1)2-4×1×(-2a)=0
解得： a=-18
②当抛物线 y2=x2-x-2a 经过点（-1，0）时，则有：
(-1)2-(-1)-2a=0
解得， a=1
③当抛物线 y2=x2-x-2a 经过点（3，0）时，则有：
32-3-2a=0
解得， a=3
综上，两个抛物线与x轴共有3个交点时a的值有 -18 ，1，3.
故答案为： -18 ，1，3.
【分析】易得抛物线y1与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），当抛物线y2与x轴有一个交点时，根据△=0可得a的值；当抛物线y2经过点（-1，0）时，代入求解可得a的值；当抛物线y2经过点（3，0）时，代入求解可得a的值.
20．【答案】13
【解析】【解答】解：∵−0.1<0，
∴函数开口向下，有最大值，
根据二次函数的性质，当 x=-2.62×(-0.1)=13 时，y最大，
即在第13分钟时，学生接受能力最强.
故答案为：13.
【分析】根据函数关系式可得函数开口向下，有最大值，然后结合二次函数的性质进行解答.
21．【答案】（1）解：设A口罩的单价为m元，则B口罩的单价n元.
由题意，得1500m+1500n=57002000m+1000n=5600，
解，得m=1.8n=2
答：A、B口罩的单价分别为1.8元和2元；
（2）解：①由题意可得：y=100-10×x-20.1=-100x+300（2≤x≤2.5）
②设该超市每天获得的利润为W元，
由题意可得：
W=(x-1.8-a)y=(x-1.8-a)(-100x+300)=-100x2+(480+100a)x-540-300a，
∵-b2a=12a+2.4，0.2≤a≤0.4，
∴2.5≤12a+2.4≤2.6，
∵2≤x≤2.5，a=-100<0，
∴当x=2.5时，一天获得的利润最大，为(35-50a)元.
因此，该超市当月获得的最大利润为(35-50a)×30=1050-1500a元.
【解析】【分析】（1）设A口罩的单价为m元，B口罩的单价n元，根据购了1500件A型口罩和1500件B型口罩，一共花了5700元可得1500m+1500n=5700；根据花5600元订购了2000件A型口罩和1000件B型口罩可得2000m+1000n=5600，联立求解即可；
（2）①根据题意可得每天的销售量减少x-20.1×10，然后利用100减去减少的量可得y与x的关系式；
②设该超市每天获得的利润为W元，根据(售价-进价-向某慈善机构捐赠的钱数)×销售量可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）解：当m＝3时，二次函数y＝x2﹣4x+17＝（x﹣2）2+13，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13）；
（2）解：令x2﹣（m+1）x+m2+2m+2＝0，
∴Δ＝（m+1）2﹣4（m2+2m+2）＝﹣3（m+1）2﹣4＜0，
∴该一元二次方程无解，
∴二次函数图象与x轴无交点；
（3）解：令x＝0，
∴n＝m2+2m+2＝（m+1）2+1，
∴对称轴为m=-1，
∵﹣2≤m≤2，抛物线开口向上，
∴当m＝2时，二次函数有最大值，即n的最大值为10．
【解析】【分析】（1）将m＝3代入二次函数解析式，再把函数解析式化成顶点式，即可得出对称轴和顶点坐标；
（2）判断根的判别式Δ的正负即可得出结论；
（3）令x=0，可得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质可得出n的最大值.
23．【答案】（1）解：∵依题意得y=50+(100-x)×12×10，
∴y与x的函数关系式为y=-5x+550；
（2）解：∵依题意得y(x-50)=4000，
即(-5x+550)(x-50)=4000，
解得：x1=70，x2=90，
∵70<90
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）解：设每月总利润为w，依题意得
w=y(x-50)=(-5x+550)(x-50)=-5x2+800x-27500
∵-5<0，此图象开口向下
∴当x=-8002×(-5)=80时， w有最大值为：-5×802+800×80-27500=4500（元），
∴当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元，
故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元.
【解析】【分析】（1）根据实际销售量=原销售量+10×12（销售单价-原计划销售单价）列式即可；
（2）销售利润=单件利润×销售量，据此列出方程并解之即可；
（3）根据销售利润=单件利润×销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可.
24．【答案】（1）是
（2）解：① 由题意：k=﹣1，y1=﹣x+2
当x≥1时，﹣x+2=2x﹣2，解得x=43
当x＜1时，﹣x+2=2﹣2x，解得x=0
∴y1与y2的等值根为0或43；
②k≥2或k≤-2；
③k<-8或13
∴当x=1±52时，y1=y2
∴函数y=x-1与y=1x是“等值函数”；
故答案为：是；
（2）解：②∵y1=k(x-1)+1
∴y1过定点(1，1)，
如图，
∴k≥2或k≤-2时，y1与y2只存在一个“等值根”，
③如图，
由y3=-|x2+2x|，令y=0，解得x1=0，x2=-2
∴A(-2，0)，对称轴为x=-1，
∴B(-1，-1)
由（2）可知y1过定点P(1，1)
当y1经过点A时，设PA解析式为y=kx+b，将P(1，1)，A(-2，0)代入得，
k+b=1-2k+b=0
解得k=13b=23
∴设PA解析式为y=13x+22，
当y1经过点B时，设PA解析式为y=k1x+b1，将P(1，1)，A(-1，-1)代入得，
k+b=1-k+b=-1
解得k=1b=0
∴设PA解析式为y=x，
根据函数图象可知，当13
由y3=-|x2+2x|，当-2
即x2+2x=kx-k+1
x2+(2-k)x+k-1=0
△=(2-k)2-4(k-1)=0
解得k=4+22（舍去）或k=4-22
由y3=-|x2+2x|，当x>0时，y3=-x2-2x
y3=-x2-2xy1=k(x-1)+1
即-x2-2x=kx-k+1
-x2-(2+k)x+k-1=0
△=(2+k)2+4(k-1)=0
解得k=0（舍去）或k=-8
综上所述，当k<-8或13
（2）①当k=﹣1时y1=﹣x+2 ，分两种情况当x≥1和x＜1 ，据此分别建立方程并求解即可；
②由y1=k(x-1)+1知y1过定点(1，1)，分别画出y1，y2的图象，根据图象及 “等值根”的定义即可求解；
③如图，由y3=-|x2+2x|，令y=0，解得x1=0，x2=-2即得A（-2，0），对称轴为直线x=-1，从而求出B（-1，-1），由（2）可知y1过定点P(1，1)，利用待定系数法求出y1经过点A时PA解析式为y=13x+22，y1经过点B时PA解析式y=x，根据函数图象可知当13
25．【答案】（1）解：由直线y=-43x+n过点C（0，4），
得n=4，
∴直线y=-43x+4，
当y=0时，0=-43x+4，解得x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线y=23x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，-2），
∴6+3b+c=0c=-2，
解得b=-43c=-2，
∴y=23x2-43x-2；
（2）解：由题意设P（m，23m2-43m-2），D（m，-2），
若△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD，
①当点P在直线BD的上方时，PD=23m2-43m，
∵m＞0，∴点P在y轴的右侧，BD=m，
∴23m2-43m=m，
解得m1=0（舍去），m2=72，
PD=72；
②当点P在直线BD的下方时，m＞0，BD=m，PD=-23m2+43m，
∴-23m2+43m=m，
解得m1=0（舍去），m2=12，
综上，m=72或12；
∴当△BPD为等腰直角三角形时，PD的长为72或12；
（3）解：∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，
∴AC=5，sin∠PBP'=sin∠OAC=45，cos∠PBP'=35，
当点P'落在y轴上时，如图，过点D'作D'M⊥x轴交BD于点M，过点P'作P'N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，
∵逆时针旋转，
∴∠DBD'=∠PBP'，P'D'=PD，BD=BD'，
∵∠BD′M+∠P′D′N=180°-∠BD′P′=90°，∠D′BM+∠BD′M=90°，
∴∠P′D′N=∠D′BM，
∴∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
∴P'D'=PD=23m2-43m，BD=BD'=xP=m，
在Rt△P'ND'中，P'N=P'D'·sin∠ND'P'=45(23m2-43m)，
在Rt△BMD'中，BM=BD'·cos∠DBD'=35m，
∵P'N=BM，
即：45×（23m2-43m）=35m，
解得：m=258或m=0（舍去），
将m=258代入抛物线得：y=1132，
∴P（258，1132）.
当点P'落在y轴上时，如图，过点D'作D'M⊥x轴交BD于点M，过点P'作P'N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，
∵顺时针旋转
∴∠DBD'=∠PBP'，P'D'=PD，BD=BD'，
∵∠BD′M+∠P′D′N=180°-∠BD′P′=90°，∠D′BM+∠BD′M=90°，
∴∠P′D′N=∠D′BM，
∴∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
∴P'D'=PD=43m-23m2，BD=BD'=xP=m，
在Rt△P'ND'中，P'N=P'D'·sin∠ND'P'=45(43m-23m2)，
在Rt△BMD'中，BM=BD'·cos∠DBD'=35m，
∵P'N=BM，
即：45(43m-23m2)=35m，
解得：m=78或m=0（舍去），
将m=78代入抛物线得：y=-25596，
∴P（78，-25596）.
∴当点P对应点P'落在y轴上时，点P的坐标（258，1132）或（78，-25596）.
【解析】【分析】（1）将C（0，4）代入y=-43x+n中可得n的值，进而可得直线解析式，令y=0，求出x的值，可得A（3，0），然后将A、B的坐标代入y=23x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）P（m，23m2-43m-2），则D（m，-2），△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD，①当点P在直线BD的上方时，PD=23m2-43m，BD=m，根据PD=BD求出m的值，进而可得PD；②当点P在直线BD的下方时，BD=m，PD=-23m2+43m，同理可得m的值，进而得到PD；
（3）利用勾股定理求出AC，根据三角函数的概念可得sin∠PBP′、cos∠PBP′的值，当点P′落在y轴上时，过点D′作D′M⊥x轴交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，根据旋转的性质可得∠DBD′=∠PBP′，P′D′=PD，BD=BD′，推出∠P′D′N=∠D′BM，表示出P′D′、BD，根据三角函数的概念可得P′N、BM，根据P′N=BM可得m的值，进而可得点P的坐标；当点P′落在y轴上时，过点D′作D′M⊥x轴交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，同理可得点P的坐标
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