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第16讲 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
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这是一份第16讲 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用），共46页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
第16讲 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
一、单选题
1．（2022·嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在 BAC 上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
2．（2022·宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为( )
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
3．（2022·温州）如图， AB、AC是 ⊙O 的两条弦， OD⊥AB于点D， OE⊥AC 于点E，连结 OB、OC．若 ∠DOE=130° ，则 ∠BOC 的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．130°
4．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m，高为2 3 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．5π3 m B．8π3 m
C．10π3 m D．（ 5π3 +2）m
5．（2022·宁波模拟）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）
A．93-3π B．6π-93 C．3π-93 D．93-6π
6．（2022·乐清模拟）已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（ ）
A．52π B．54π C．152π D．154π
7．（2022·嵊州模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=BC，∠BAC=30°，AD是直径，AD=8，则AC的长为（ ）
A．4 B．43 C．833 D．23
8．（2022·萧山模拟）如图，已知AB为⊙O直径，弦AC，BD相交于点E，M在AE上，连结DM.AB＝1，∠DMC＝∠B，则cos∠AED的值始终等于线段长（ ）
A．DM B．EM C．AM D．CM
9．（2022·鹿城模拟）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC=20°.则∠D的大小为( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
10．（2022·秀洲模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OB= 3 ，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧A'B恰好经过点O，则阴影部分的面积为（ ）
A．32π-3 B．34π-32 C．34π-3 D．32π-32
二、填空题
11．（2022·嘉兴）如图，在扇形AOB中，点C，D在 AB 上，将 CD 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F. 已知∠AOB＝120°，OA＝6，则 EF 的度数为 ，折痕CD的长为 ．
12．（2022·湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是 AD 所对的圆周角，则∠APD的度数是
13．（2022·金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙О于点A，长边与⊙О相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知AC=6cm，CB=8cm，则⊙О的半径为 cm.
14．（2022·桐乡模拟）如图， AB 是 ⊙O 的直径， AB=2. 直线 l 与 ⊙O 相切于点 C ，且 l//AB. 在直线 l 上取一点 D ，连结 AD 交 ⊙O 于点 E. 若 AE=DE ，则 CD 的长是 .
15．（2022·桐乡模拟）弧度是表示角度大小的一种单位，我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度角，记作 1rad. 若圆半径 r=2 ，圆心角 α=2rad ，则圆心角为 α 的扇形面积是 .
16．（2022·宁波模拟）如图，以四边形 ABCD 的边 AD 为直径作 ⊙O ，恰与边 AB ， CD 分别相切于点 A ，点 D ，连接 BD 交 ⊙O 于点 P ，连接 CP ，若 ∠ABC=90° ， BP=4 ， r=52 ，则 CP= .
17．（2022·龙游会考）如图是古希腊数学家埃拉托斯特尼在夏至日这天测量地球子午线周长的示意图，其中太阳光线AB∥CD，CE是竖直插在球面上的木杆，AB，CE的延长线都经过圆心O.已知B，E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则∠DCE的度数约为 °.
18．（2022·杭州模拟）如图，在⊙O中，直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．
19．（2022·温州模拟）图1是一款带毛刷的圆型扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP=102cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上.毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D，则CD的最大长度为 cm.扫地机器人在遇到障碍物时会自转，毛刷碰到障碍物时可弯曲.如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角（∠Q=60°）时，不能清扫到的面积（图中阴影部分）为 cm2.
20．（2022·玉环模拟）如图，已知 ⊙O 内切于 Rt△ABC，∠C=90°，BC 边上切点为点D，作 ⊙O 的直径 DE ，连结 AE 并延长 AE 交 BC 于点F，若 ∠AFC=45°，FD=2 ，则 AB 的长为 ．
三、综合题
21．（2022·衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积．
22．（2022·台州）如图，在 △ABC中，AB=AC ，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．
（1）求证： BD=CD；
（2）若⊙O 与AC 相切，求∠B的度数；
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧 AD 的中点 E．（不写作法，保留作图痕迹）
23．（2022·宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当 AB 的长为2时，求 AC 的长．
②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．
24．（2022·温州）如图1， AB 为半圆O的直径，C为 BA 延长线上一点， CD 切半圆于点D， BE⊥CD ，交 CD 延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3．点P，Q分别在线段 AB、BE上（不与端点重合），且满足 APBQ=54 ．设BQ=x，CP=y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作 PR⊥CE 于点R，连结 PQ、RQ．
①当 △PQR 为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于 QR 的对称点 F' ，当点 F'落在 BC上时，求 CF'BF' 的值．
25．（2022·奉化模拟）如图1，△ABC中， AB=AC ，其外接圆为 ⊙O ， ⊙O 半径为5， BC=8 ，点M为优弧BMC的中点，点D为BM上一动点，连结AD，BD，CD，AD与BC交于点H．
（1）求证： △ACH∽△ADC ；
（2）若 AH：DH=2：3 ，求CD的长；
（3）如图2，在（1）的条件下，E为DB为延长线上一点，设 AH：DH=x ， tan2∠ABE=y ．
①求y关于x的函数关系式；
②如图3，连结AM分别交BC，CD于N、P，作 FN⊥AD 于D，交AB于F，若△BFN面积为△ACP面积的 35 ，求x的值．
26．（2022·丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，
（1）求证：∠CAG=∠AGC：
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若 EFCE=25 ，求 DPCP 的值；
（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.
27．（2022·宁波模拟）如图，已知 △ABC 内接于 ⊙O ， P 是圆外一点， PA 为 ⊙O 的切线，且 PA=PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点 D .
（1）求证： PB 为 ⊙O 的切线；
（2）若 tan∠BCA=43 ， ⊙O 的半径为5，求线段 PD 的长.
28．（2022·萧山模拟）如图，已知半径为r的⊙O中，弦AB，CD交于点E，连结BC，BD.设k=DECE（k≥1）.
（1）若AB＝DC.
①求证：CE＝BE；
②若k＝1，且BC＝BD＝4，求r的值；
（2）若AD＝BD＝90°，且AEBE=5，求k的值.
29．（2022·龙湾模拟）如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90° ， AB=BC ．点 A ， C 落在 ⊙O 上， AB 的延长线交 ⊙O 于点 D ，作直径 DF 交 BC 于点 E ， CG 切 ⊙O 于点 C ，交 AF 的延长线于点 G ．
（1）求证：四边形 ECGF 为平行四边形．
（2）若 AB=6 ， BD=2 ，求 FG 长．
30．（2022·鄞州模拟）如图1， △ABC 中， BC 边上的中线 AM=AC ，延长 AM 交 △ABC 的外接圆于点 D ，过点 D 作DE ∥ BC交圆于点 E ，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F ，连结 CE .
（1）【特殊尝试】若 ∠ACB=60∘ ， BC=4 ，求 MD 和 DF 的长；
（2）【规律探索】
①求证： BC=2CE ；
②设 tan∠ACB=x ， FBAB=y ，求 y 关于 x 的函数表达式：
（3）【拓展应用】
如图2，作 NC⊥AC 交线段 AD 于 N ，连结 EN ，当 △ABC 的面积是 △CEN 面积的6倍时，求 tan∠ACB 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠BOC=130°，
∴∠BAC=12∠BOC=12×130°=65°.
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=12cl=12×2π×4×6=24 πcm2 .
故答案为：B.
【分析】圆锥的侧面积=底面周长和母线乘积的一半，依此列式计算，即可解答.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∴∠A=180°-∠DOE=180°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠A=2×50°=100°.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义和四边形的内角和为180°，可求出∠A的度数；再利用一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，可求出∠BOC的度数.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，
∵AB=2，BC= 2 3 ，
∴EB=12AB=1，OE=12BC=3，
在Rt△OEB中，OB=OE2+BE2=2，
∴OB=2BE，
∴∠BOE=30°，
∴∠AOB=2∠BOE=60°，
∴ADB⏜的度数为300°，
∴改建后门洞的圆弧长=300×π×22360=10π3m.
故答案为：C.
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，根据垂径定理和矩形的性质求出AB和BC长，再利用勾股定理求出OB长，求出∠BOE=30°，从而得出圆心角∠AOB的度数，则可得出ADB⏜的度数，最后根据弧长公式计算即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵扇形纸片折叠， 使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC=OC=12OD=3，
∴CD=OD2-OC2=33，
∴∠CDO=30°，∠COD=60°，
∴弧AD、线段AC和CD所围成的图形面积=S扇形AOD-S△COD=60π×62360-12×3×33=6π-932，
∴阴影部分的面积=90π×62360-2×6π-932=93-3π.
故答案为：A.
【分析】连接OD，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于弧OD、线段OC和CD所围成的图形的面积，AC=OC，根据边的关系求出∠COD=60°，然后根据弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD- S△COD列式计算，进而可求阴影部分的面积.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，该扇形的弧长为：150π×3180=52π.
故答案为：A.
【分析】直接根据扇形的弧长公式nπr180（n为圆心角的度数，r为半径）进行计算.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴AM=CM=12AC，OM⊥AM，
又∵AB=BC，∠BAC=30°，
∴∠BCA=30°，
∴∠BOA=60°，
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴sin60°=AMAO=AM4=32，
解得：AM=23，
∴AC=2AM=43.
故答案为：B.
【分析】连接OB，由题意可得OB垂直平分AC，则AM=CM=12AC，OM⊥AM，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=30°，由圆周角定理可得∠BOA=60°，根据AD的值可得AO，然后根据三角函数的概念可得AM，据此可得AC.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接CD、CB，
∵∠CDB=∠A，∠DCE=∠DBA，
∴△CDE∽△BAE，
∴CDAB=CEBE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠AED=cos∠BEC=CEBE=CDAB，
∵∠DMC=∠DBA，∠DBA=∠DCA，
∴∠DMC=∠DCM，
∴DM=DC， 而AB=1，
∴cos∠AED=DMAB=DM.
故答案为：A.
【分析】连接CD、CB，根据圆周角定理可得∠CDB=∠A，∠DCE=∠DBA，证明△CDE∽△BAE，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，由对顶角的性质可得∠AED=∠BEC，由已知条件可得∠DMC=∠DBA，由圆周角定理可得∠DBA=∠DCA，推出DM=DC，然后根据三角函数的概念以及相似三角形的性质进行计算.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=70°，
又∵四边形ABCD内接于半圆O，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠D=110°.
故答案为：B.
【分析】先由圆周角定理得∠ACB=90°，从而求得∠B=70°，再根据圆内接四边形对角互补，即可求得∠D的度数.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，OB=3，
∴S扇形AOB=90π（3）2360=3π4，
如图，过点O作OD⊥BC于点E，交弧AB于点F，
∵扇形AOB沿着BC折叠，弧A'B恰好经过点O，
∴OE=EF=12OF=12OB=32，
∴∠EBO=30°，
∴OC=13OB=1，
∴S△COB=12OC·OB=12×1×3=32，
∴S阴影=S扇形AOB-2S△COB=3π4-2×32=3π4-3.
故答案为：C.
【分析】先根据扇形面积计算公式求得S扇形AOB=90π（3）2360=3π4；如图，过点O作OD⊥BC于点E，交弧AB于点F，由折叠性质可得OE=EF=12OF=12OB=32，从而推出∠EBO=30°，进而求出OC=13OB=1，S△COB=32，最后由S阴影=S扇形AOB-2S△COB代入数据计算即可求解.
11．【答案】60°；46
【解析】【解答】解：如图，分别过点E作AO的垂线，过点F作OB的垂线，交于点G，连接GC、GO交CD于点H，过点F作FQ⊥GO，连接OC，
∴点G为⊙G圆心，GE=GF，
∴∠GEO=∠GFO=90°，
∵∠EOF=∠AOB=120°，
∴∠EGF=180°-∠EOF=60°，
∴EF的度数为60°；
∵将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F，
∴BD垂直平分GO，GC=GF，
∴GH=OH=12GO，GC=CO，DH=HC=12CD，
∵OA=OC=6，
∴GC=GF=6
又∵GO=OG，
∴Rt△GEO≌Rt△GFO（HL），
∴∠GOF=12∠AOB=60°，∠OGF=12∠EGF=30°，
∴在Rt△GQF中，QF=12GF=3，GQ=3QF=33，
在Rt△OQF中，OQ=13QF=3，
∴OG=OQ+GQ=3+33=43，
∴GH=12OG=23，
∴在Rt△GHC中，HC=GC2-GH2=62-（23）2=26，
∴CD=2HC=46.
故答案为：46.
【分析】如图，分别过点E作AO的垂线，过点F作OB的垂线，交于点G，连接GC、GO交CD于点H，过点F作FQ⊥GO，连接OC，即可确定⊙G圆心，GE=GF，从而得∠GEO=∠GFO=90°，再由角的互补关系即可得∠EGF=180°-∠EOF=60°，进而得EF的度数；由CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F，易得BD垂直平分GO，GC=GF，得GH=OH=12GO，GC=CO，DH=HC=12CD，再由”HL“定理证出Rt△GEO≌Rt△GFO，即得∠GOF=12∠AOB=60°，∠OGF=12∠EGF=30°，利用30°角所对直角边等于斜边一半及直角三角形性质求得QF=3，GQ=33，OQ=3，再由OG=OQ+GQ可得OG=43，从而得GH=23，最后由勾股定理求出HC的长度，即可得到CD的长.
12．【答案】30°
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠AOD=∠BOD=12∠AOB=60°，
又∵∠APD是 AD 所对的圆周角，
∴∠APD=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形性质及垂径定理可得∠AOD=∠BOD=12∠AOB=60°，再根据圆周角定理即可求出∠APD的度数.
13．【答案】253
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D，
∴OA=OB，∠OBC=∠ODA=∠C=90°，
∴四边形ACBD为矩形，
∴AC=DB=6cm，AD=CB=8cm，
设半径为r，则OD=（r-6）cm，
∴OA2=AD2+OD2，即r2=82+（r-6）2，
整理，解得：r=253.
故答案为：253.
【分析】如图所示，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D，易得四边形ACBD为矩形，由矩形的性质得AC=DB=6cm，AD=CB=8cm，设半径为r，则OD=（r-6）cm，再根据勾股定理列出关于r的方程，解之即可求解.
14．【答案】3+1 或 3-1
【解析】【解答】解： ① 当点D在点C的左侧时，连接OC ， BE ， BD ，过点B作BF⊥l于点F ，如图，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴BE⊥AD .
∵AE=DE ，
∴BD=BA=2 .
∵l 与 ⊙O 相切于点 C ，
∴OC⊥l ，
∵l//AB ，
∴OC⊥AB ，
∵BF⊥l ，
∴ 四边形OCFB为矩形，
∵OB=OC ，
∴ 四边形OCBF为正方形.
∴CF=BF=OC=1 .
∴DF=BD2-BF2=3 .
∴CD=DF-CF=3-1 ；
② 当点D在点C的右侧时，连接OC ，BE ， BD ，过点B作BF⊥l 于点F ，如图，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴BE⊥AD .
∵AE=DE ，
∴BD=BA=2 .
∵l 与 ⊙O 相切于点 C ，
∴OC⊥l ，
∵l//AB ，
∴OC⊥AB ，
∵BF⊥l ，
∴ 四边形OCFB为矩形，
∵OB=OC ，
∴ 四边形OCFB为正方形.
∴CF=BF=OC=1 .
∴DF=BD2-BF2=3 .
∴CD=CF+DF=3+1 ，
综上，CD 的长是 3+1 或 3-1 .
故答案为： 3+1 或 3-1 .
【分析】当点D在点C的左侧时，连接OC、BE、BD，过点B作BE⊥l于点F，根据圆周角定理可得∠AEB=90°，结合AE=DE可得BD=BA=2，根据切线的性质可得OC⊥l，推出四边形OCFB为正方形，得到CF=BF=OC=1，利用勾股定理求出DF，然后根据CD=DF-CF进行计算；当点D在点C的右侧时，同理计算即可.
15．【答案】4
【解析】【解答】解： ∵ 圆半径 r=2 ，圆心角 α=2rad ，
∴ 扇形的弧长为 4 ，
∴ 扇形的面积为 S=12lr=12×4×2=4 .
故答案为：4.
【分析】首先求出扇形的弧长，然后结合扇形的面积公式S=12lr进行计算.
16．【答案】13
【解析】【解答】连接AP，过点P作EF∥AD交DC于点E，交AB于点F，
∵⊙O与边AB，CD分别相切于点A，点D，
∴∠ADC= 2 DAB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴四边形DAFE是矩形，
∴EF=DA，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠APD=90°，
∴∠DAP+∠ADP=90°，
∴∠ADP+∠ABD=90°
∴∠DAP=∠ABD，
∴ ∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA，
∴ADBD=DPAD
∵r= 52
∴AD= 5 ，
设PD= =x，则BD=4+x，
∴（ 5 ）2 =x· （x+4），
解得x=1 （负值舍去），
∴DP=1，
∴AP= AD2-DP2 =2，
∴AB= AP2+PB2=25 ，
∵∠EDP+∠ADP=∠ADP+∠DAP= 90°
∴∠EDP=∠DAP，
∴△EDP∽△PAD，
∴DEAP=PEDP=DPAD
∴DE2=PE1=15
∴DE= 255 ，PE= 55
∴CE=CD- DE= 855
∴CP= PE2+CE2=13 .
故答案为： 13 .
【分析】连接AP，过点P作EF∥AD交DC于点E，交AB于点F，△ADP∽△BDA，根据相似比的的性质列出比例式，设PD=x，则BD=4+x，根据比例式建立方程求解，则可求出DP，AP的长，再证明△EDP∽△PAD， 根据相似比的性质求出DE和PE的长，从而求出CE的长，最后由勾股定理求CP长即可.
17．【答案】7.2°
【解析】【解答】解：∵B，E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，
∴800=∠DCE360°×40000
解得：∠DCE=7.2°
故答案为：7.2°.
【分析】根据平行线的性质可得∠DCE=∠AOE，利用∠DCE的度数除以360°，然后乘以子午线周长可得劣弧BE的长度，据此计算.
18．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AB⊥CD，CD为直径，
∴AM=BM=4，
∵OA=OD=5，
∴OM=OA2-AM2=52-42=3，
∴DM=OD-OM=5-3=2.
故答案为：2.
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AM长，然后在Rt△AMO中，根据勾股定理求OM长，则可求出DM的长.
19．【答案】（202-20）；（2002-100-100π3）
【解析】【解答】解：如图，连接AB，OB，
∵BP=AP，且A，P，B三点共线，
∴OP垂直平分AB，
∴∠OPB=90°，
∴当O、P、D、C四点共线时，CD最长，
∵OB=OD=12×40=20，PB= CP=102，
∴在Rt△BOP中，由勾股定理得OP=OB2-BP2=202-(102)2=102，
∴CD=CP-PD=CP-（OD-OP）=102-(20-102)=202-20cm；
如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角时，QA和QB是⊙O的切线，
则∠OAM=∠OBN=90°，∠AQO=∠BQO=30°，OM=OC=202，
∴∠AOQ=∠BOQ=60°，
∴OQ=2AO=40，
∴QP=OQ-OP=40-102，
在Rt△AOM中，由勾股定理得MA=OM2-OA2=(202)2-202=20，
∴MA=AO，
∴∠AOM=∠AMO=45°，
∴∠MOP=15°，
∵MP=102=OP，
∴∠MOP=∠OMP=15°，
∴∠MPC=30°，∠MPN=60°，
∴S阴影=2S△PMQ-S扇形MPN
=2×12×QP×MP⋅sin30°-60π×(102)2360
=2×12×(40-102)×102×12-100π3
=2002-100-100π3，
故答案为：（202-20）；（2002-100-100π3）.
【分析】连接AB，OB，由垂径定理可得OP垂直平分AB，从而得当O、P、D、C四点共线时，CD最长， 求出此时CD的长即可；如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角时，QA和QB是⊙O的切线，根据S阴影=2S△PMQ-S扇形MPN进行求解即可.
20．【答案】5
【解析】【解答】解：如图，设AB与⊙O切于点H，AC与⊙O切于点Q，分别连接OH、OQ，
∵BC与⊙O切于点D，∠C=90°，
∴∠OQC=∠ODC=∠C=90°，
∴四边形DOQC为矩形，
∵DO=OQ=OE=12DE，
∴四边形DOQC为正方形，
又∵∠AFC=45°，
∴∠FED=∠FAC=45°，
∴FD=DE=2，AC=FC，
∴DO=OQ=QC=DC=12DE=1，
∴FC=AC=3，
∴AQ=3-1=2，
设BF=x，则BH=BD=x+2，
∴BC=x+3，AB=x+2+2=x+4，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即：（x+4）2=32+（x+3）2，
整理，解得：x=1，
∴AB=1+4=5.
故答案为：5.
【分析】如图，AB与⊙O切于点H，AC与⊙O切于点Q，分别连接OH、OQ，易证四边形DOQC为正方形，结合等腰直角三角形性质得DO=OQ=QC=DC=12DE=1，从而得AC=3，AQ=2，设BF=x，则BH=BD=x+2，从而得到BC=x+3，AB=x+4，再由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即：（x+4）2=32+（x+3）2，整理，解得：x=1，即可求出AB的长.
21．【答案】（1）证明：∵AD = AD ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∵ ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB ；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵CD∥AB ，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD= nπr2360=60×π×22360=23π ，
∴S阴影=23π ．
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACD=∠DBA，结合已知可证得∠CAB=∠ACD；再利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）连接OC，OD，可求出∠CAB的度数，利用圆周角定理可求出∠AOD和∠COB的度数，由此可求出∠COD的度数，利用平行线的判定定理可证得CD∥AB，可推出△DOC和△DBC的面积相等，可证得阴影部分的面积=扇形COD的面积；然后利用扇形的面积公式求出扇形的面积.
22．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD
（2）∵ ⊙ O 与 AC 相切 ，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°.
∠B=45°
（3）如下图，点E就是所要做的AD的中点.
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，再利用等腰三角形三线合一的性质，可证得结论.
（2）利用切线的性质可证得BA⊥AC，利用垂直的定义可得到∠BAC=90°，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B的度数.
（3）利用垂径定理作出弦AD的垂直平分线，交劣弧AD于点E；或利用尺规作图作出∠ABC的角平分线，交劣弧AD于点E；或连接OD，作出∠AOD的角平分线；或作出AC的中点；或过点O作OE∥BC，即可得到劣弧AD的中点E.
23．【答案】（1）解：∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α，①
又∵∠AFB+∠BFD=180°，②
②-①，得2∠BFD=180°-α，
∴∠BFD=90°- α2
（2）证明：由(1)得∠BFD=90°- α2 ，
∵∠ADB=∠ACB=α，
∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°- α2
∴DB=DF．
∵FG∥AC，
∴∠CAD=∠DFG．
∵∠CAD=∠DBE，
∴∠DFG=∠DBE．
∵BE=FG，
∴△BDE≌△FDG (SAS) ．
（3）解：①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG=∠BDE=α，
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α．
∵DE=DG，
∴∠DGE= 12 (180°-∠FDG)=90°- α2 ，
∴在△BDG中，∠DBG= 180°-∠BDG-∠DGE= 90°- 3α2
∵AD为⊙O的直径，
∵∠ABD=90°．
∴∠ABC=∠ABD-∠DBG= 3α2
∴AC 与 AB 的度数之比为3：2．
∴AC 与 AB 的长度之比为3：2，
∵AB =2，
∴AC =3．
②如图，连结BO．
∵OB= OD，
∴∠OBD=∠ODB=a，
：∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α．
∴∠BDG= 2α，
∴∠BOF=∠BDG．
∵∠BGD=∠BFO= 90°- α2 ，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴DGOF=BDBO =k．
∵OFOE=411
∴设OF=4x，则OE=11x，DE=DG= 4kx，
∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx，
BD=DF=15x+4kx，
∴BDBO=15x+4kx11x+4kx=15+4k11+4k
由 15+4k11+4k =k，得4k2+7k-15=0，
解得k1= 54 ，k2=-3(舍)，
∴OD= 11x+4kx=16x，BD=15x+4kx=20x，
∴AD=2OD=32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB= BDAD=20x32x=58
∴cosα= 58
【解析】【分析】(1)根据条件得出∠AFB-∠BFD=∠ACB=α，∠AFB+∠BFD=180°，两者联立即可求解；
(2)利用(1)的结论，FGIIAC、BE= FG，利用SAS证明△BDE≌△FDG，即可得证；
(3)①用含α的代数式表示∠ABC=∠ABD-∠DBG= 3α2，再根据同圆中圆周角的度数比等于弧长比，则可求AC的长；②连结BO，证明△BDG∽△BOF，设△BDG与△BOF的相似比为k，OF=4x，然后分别表示出OE、DE 、DG的长度，根据相似比的性质求出k值，从而表示出AD和BD长，最后在Rt△ABD中，根据余弦的定义计算，即可求解.
24．【答案】（1）解：如图1，连结 OD ．设半圆O的半径为r．
∵CD 切半圆O于点D，∴OD⊥CD ．
∵BE⊥CD ，∴OD∥BE ，
∴△COD∽△CBE ，
∴ODBE=COCB ，即 r3=5-r5 ，
∴r=158 ，即半圆O的半径是 158
（2）解：由（1）得： CA=CB-AB=5-2×158=54 ．
∵APBQ=54，BQ=x ，∴AP=54x ．
∵CP=AP+AC ，∴y=54x+54
（3）解：①显然 ∠PRQ<90° ，所以分两种情况．
ⅰ）当 ∠RPQ=90° 时，如图2．
∵PR⊥CE ，∴∠ERP=90° ．
∵∠E=90° ，∴四边形 RPQE 为矩形，
∴PR=QE ．
∵PR=PC⋅sinC=35y=34x+34 ，
∴34x+34=3-x ，∴x=97 ．
ⅱ）当 ∠PQR=90° 时，过点P作 PH⊥BE 于点H，如图3，
则四边形 PHER 是矩形，∴PH=RE，EH=PR ．
∵CB=5，BE=3 ，∴CE=52-32=4 ．
∵CR=CP⋅cosC=45y=x+1 ，
∴PH=RE=3-x=EQ ，
∴∠EQR=∠ERQ=45° ，
∴∠PQH=45°=∠QPH ，∴HQ=HP=3-x ，
由 EH=PR 得： (3-x)+(3-x)=34x+34 ，∴x=2111 ．
综上所述，x的值是 97 或 2111 ．
②如图4，连结 AF，QF' ，由对称可知 QF=QF'，∠F'QR=∠EQR=45° ，
∴∠BQF'=90° ，
∴QF=QF'=BQ⋅tanB=43x ．
∵AB 是半圆O的直径，∴∠AFB=90° ，
∴BF=AB⋅cosB=94 ，
∴43x+x=94 ，∴x=2728 ，
∴CF'BF'=BC-BF'BF'=BCBF'-1=3x-1=199 ．
或利用 QF'∥CE 得： CF'BF'=EQQB=3-xx=3x-1=199
【解析】【分析】（1）连接OD，设圆的半径为r，利用切线的性质可证得OD⊥CD，结合已知可证得OD∥CD，可推出△COD∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例可建立关于r的方程，解方程求出r的值.
（2）利用CA=CB-AB，代入计算求出CA的长；利用APBQ=54，可表示出AP的长；根据CP=AP+AC，可得到y与x之间的函数解析式.
（3）①由题意可知∠PRQ＜90°，分两种情况讨论：当∠RPQ=90°时，易证四边形RPQE是矩形，利用矩形的性质可证得PR=QE，利用解直角三角形可表示出PR的长；然后利用PR=QE，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；当∠PQR=90°时，过点P作PH⊥BE于点H，易证四边形PHER是矩形，利用矩形的性质可证得PH=RE，EH=PR；利用勾股定理求出CE的长，利用解直角三角形求出CR的长；从而可表示出PH，RE的长及HQ的长；由EH=PR可得到关于x的方程，解方程求出x的值；②连接AF，QF′，利用对称可知QF=QF′，∠F′QR=∠EQR=45°，利用解直角三角形表示出QF的长，利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠AFB=90°，利用解直角三角形表示出BF的长，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；再求出CF'BF'=199；由QF′∥CE，可得对应线段成比例，即可求出CF'BF'的值.
25．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴AB=AC，
∴∠ACB=∠ADC，
又∵∠CAH=∠DAC，
∴△ACH∽△ADC.
（2）解：如图1，连结AO，CO，AO交BC于N，
∵AB=AC，BC=8，
∴OA⊥BC，
∴BN=CN=4，
∵⊙O半径为5，
易得ON=3，AN=2，
∴AC=AN2+CN2=25，
∵AH：DH=2：3，
∴设AH=2m，DH=3m，则AD=5m
由（1）可知：△ACH∽△ADC，
∴AC2=AH⋅AD，
∴20=10m2，
∴m=2，
∴AH=22，
∴HN=AH2-AN2=2，
∴CH=6，
又∵CDCH=ACAH，
∴CD=310.
（3）解：①如图2，连结AO交BC于N，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴
∴∠EBA=∠ACD=∠AHC，
设DH=a，AH=ax，
同（2）得：AC2=AH⋅AD，
∴a2x(x+1)=20，即a2x=20x+1，
∴NH2=AH2-AN2=a2x2-4=20xx+1-4=16x-4x+1，
∴tan2∠ABE=tan2∠AHC=AN2HN2，
∴y=x+14x-1；
②如图2，作FT⊥BC于点T，
易得∠BAN=∠CAN，
∵FN⊥AD，AN⊥BC，
∴∠BAN=∠CAN，∠AHN+∠HNG=∠HNG+∠ANG，
∴∠AHN=∠ANG，
又∵∠ACD=∠AHC，
∴∠ACP=∠ANF，
∴△ANF∽△ACP，
∴S△ANFS△ACP=(ANAC)2=4（25）2=15，
又∵S△BNFS△ACP=35，
∴S△ANFS△BFN=13，
∴AFBF=13，
∴BF=34AB=325，
∵tan∠ABC=FTBT=12，
∴设FT=b，则BT=2b，
在Rt△BTF中，由勾股定理得BT2+FT2=BF2，b2+（2b）2=（352）2，
解得b=32（负值已舍去），
∴FT=32，BT=3，NT=1，
易证∠ABE=∠AHN=∠NFT，
∴y=tan2∠NFT=49，
代入y=x+14x-1得x=137，
经检验x=137是原分式方程的根，
∴x=137.
【解析】【分析】（1）由同圆中等弦所对的劣弧相等得AB=AC，再由圆周角定理得∠ACB=∠ADC，进而可证明△ACH∽△ADC；
（2）如图1，连结AO，CO，AO交BC于点N，由垂径定理得BN=CN=4，再由勾股定理求得ON和AN的长，从而求得AC的长，根据AH：DH=2：3，设AH=2m，DH=3m，则AD=5m，由（1）可知△ACH∽△ADC，由相似三角形对应比例关系求得m的值，即得AH=22，再由勾股定理求得HN=2，从而得CH=6，再由相似三角形对应比例得CDCH=ACAH，代入数据即可求出CD的长；
（3）①如图2，连结AO交BC于N，由圆内接四边形性质及角的等量代换得∠EBA=∠ACD=∠AHC，设DH=a，则AH=ax，同（2）得AC2=AH⋅AD，得a2x=20x+1，求出NH2=16x-4x+1，再由∠ABE的正切关系得y=x+14x-1；②如图2，作FT⊥BC于点T，易得∠BAN=∠CAN，由FN⊥AD，AN⊥BC，可得∠BAN=∠CAN，∠AHN+∠HNG=∠HNG+∠ANG，继而得∠AHN=∠ANG，推出∠ACP=∠ANF，证出△ANF∽△ACP，由相似性质及S△BNFS△ACP=35推出S△ANFS△BFN=13，即得AFBF=13，BF=34AB=325，
进而得tan∠ABC=FTBT=12，设FT=b，则BT=2b，再由勾股定理得BT2+FT2=BF2，即得b2+（2b）2=（352）2，解得b=32，从而得FT=32，BT=3，NT=1，易证∠ABE=∠AHN=∠NFT，进而得到y=tan2∠NFT=49，代入y=x+14x-1计算即可求得x=137.
26．【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，
∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，
∵AH是OO的切线，AH⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AG∥CD，
∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，
∴∠CAG=∠AGC.
（2）解：由(1)得CA=CE，
∵CD⊥AB
∴AC=AD
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC
∴AD=CE，∠FCD=∠D
∴FG//AD
∴△APD~△FPC
∴DPCP=ADCF
∵EFCE=25
∴EF+CECE=75
∴CECF=57
∴DPCP=ADCF=CECF=57
（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α
可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α
∵OC∥AF，
∴∠OCF=∠AFC=α.
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC=α.
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CA0=3α.
∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°
∴α=22.5°，
∵∠OFC=∠AGF
∴OF∥AG.
∴∠AOF=∠OAG=90°，
∴∠OFA=2α=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α
∵OC∥AF，
∴∠FAE=∠OCA=α
∴∠COE=∠FAE=2a.
∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG
∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a
解得α=22.5°，2a=45°.
∴△COM 是等腰直角三角形，则 OCOM=2 .
可得 OM=22，AM=22+1 ，
∴AE=2AM=2+2.
③当 AC//OF 时，如图3，连结OC，OF，设 ∠AGF=a .
∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α
∵AC‖OOF
∴∠CFO=∠ACF=2α
可得 ∠CAO=∠ACO=4α .
解得 α=18°， ，
∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°
∴△OCE∽△FCO
∴OC2=CE×CF
即 12=CE×(CE+1) ，解得 CE=AC=OE=5-12 .
∴AE=OA-OE=3-52
④当 AC//OF 时，如图4，连结OC，OF，BF，设 ∠FAO=α .
∵AC//OF
∴∠CAF=∠OFA=α
可得 ∠COF=∠BOF=2α .
∴AC=CE
∴∠E=∠CAE=∠EFB
∴BF=BE .
可证 △OCF≅△OBF，
∴CF=BF=BE
∴∠E=∠COF
∴△COF~△CEO ，
∴OC2=CE×CF ，
解得 BE=CF=5-12 ，
∴AE=AB+BE=3+52
综上所述，AE的长为 2-2，2+2，3-52，3+52 .
【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；
(2)先证明FG∥AD， 得出△APD~△FPC，由相似比的性质得出DPCP=ADCF，然后根据比例的性质转化，可得结论；
(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.
27．【答案】（1）证明：如图，分别连接OA、OB，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB为⊙O的切线.
（2）解：由（1）可得△OAP≌△OBP，
∴∠AOP=∠BOP，
∴OD⊥AB，
∵∠AOB=2∠BCA=∠AOP+∠BOP，
∴∠BCA=∠AOP，
∵tan∠BCA= 43，⊙O的半径5，∠PAO=90°，
∴tan∠AOP=43=APOA=AP5，
∴AP=203，
∴OP=OA2+AP2=52+（203）2=253，
∵12OA·AP=12OP·AD，即5×203=253AD，
∴AD=4，
∴OD=ADtan∠AOD=443=3，
∴PD=OP-OD=253-3=163.
【解析】【分析】（1）分别连接OA、OB，由切线性质得∠OAP=90°，再由“SSS”定理证得△OAP≌△OBP，即得∠OBP=∠OAP=90°，从而证明PB为⊙O的切线；
（2）由（1）可得△OAP≌△OBP，即得∠AOP=∠BOP，再由等腰三角形性质得OD⊥AB，再由圆周角定理得∠AOB=2∠BCA=∠AOP+∠BOP，从而得∠BCA=∠AOP，再由锐角三角函数定义及勾股定理可求得AP=203，OP=253，根据三角形等面积得12OA·AP=12OP·AD，求得AD=4，进而求得OD=3，最后由PD=OP-OD代入数据计算即可求解.
28．【答案】（1）解：①证明∵AB＝CD，
∴AB=CD
∴AB-BC=CD-BC ，
∴AC＝BD
∴ ∠ABC＝∠BCD
∴CE＝BE
②解：如图1
∵k＝1，∴CE＝DE
又BC＝BD＝4∴BC=BD
∴AB⊥CD，AB为直径（垂径定理推论）
又AB＝CD
∴AB，CD均为直径（点E与点O重合）
如图等腰Rt△CBD中，∠DBC＝90°
∴CD＝2BD=42
∴r=22
（2）解：如图2，连结AD ，OD
∵AD＝BD＝90°
∴AB为⊙O的直径，AD＝BD
由于EAEB＝5，可设EA＝5x，BE＝x
则OB＝OA＝3x，
∴OE＝3x-x＝2x，
∵∠BOD＝∠DOA＝90°，OE＝2x，OD＝3x，
∴DE＝13x.
又∵ ∠DAB＝∠DCB，
∠AED＝∠BEC，
∴△ADE∽△CBE，
∴AECE=DEBE.
∵BE＝x，DE＝13x ，AE＝5x，
∴CE=513x13，
∴k=EDCE=135
【解析】【分析】（1）①根据弧、弦的关系可得AB=CD ，推出AC＝BD，根据圆周角定理可得∠ABC＝∠BCD，据此证明；
②根据k=1可得CE＝DE，结合垂径定理的推论可得AB⊥CD，AB为直径，然后根据等腰直角三角形的性质进行计算；
（2）连结AD、OD，由题意可得AB为⊙O的直径，AD＝BD，设EA＝5x，则BE＝x，OB＝OA＝3x，OE＝2x，利用勾股定理可得DE＝13x，根据圆周角定理可得∠DAB＝∠DCB，由对顶角的性质可得∠AED＝∠BEC，证明△ADE∽△CBE，然后根据相似三角形的性质进行计算.
29．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵DF是直径，
∴∠DAF=90°=∠ABC，
∴FG∥CE，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAG=45°，
∴∠FOC=2∠BAC=90°，
∵GC切⊙O于点C，
∴∠OCG=90°=∠FOC，
∴EF∥CG，
∴四边形ECGF是平行四边形；
（2）解：如图，过点O作OM⊥AD于点M，
∴AM=DM=12AD=12（6+2）=4，
∴BM=BD=2，
∵OM∥BE，
∴DE=OE=12OD=12OC，
∵∠DBE=∠COE，∠BED=∠OEC，
∴△BDE∽△OCE，
∴BDOC=DECE=BEOE，
∴2OC=12OCCE=BE12OC，
∴CE=14OC2，
∴BE=14OC2CE=14OC214OC2=1，
∴CE=BC-BE=AB-BE=6-1=5，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴FG=CE=5.
【解析】【分析】（1）连接OC，证出FG∥CE，EF∥CG，即可证出四边形ECGF是平行四边形；
（2）过点O作OM⊥AD于点M，根据垂径定理和三角形中位线性质得出DE=OE=12OD=12OC，证出△BDE∽△OCE，得出BDOC=DECE=BEOE，从而得出BE=1，CE=5，再根据平行四边形的性质得出FG=CE=5.
30．【答案】（1）解：如图，连接 BD ，
∵∠ACB=60° ， AM=AC ，
∴∠BMD=∠AMC=∠ACM=60° .
又 ∠ADB=∠ACB=60° ，
∴△AMC ， △BMD 都是等边三角形.
∴DM=BM=CM=AM=12BC=2 ，
∵BM∥DF ，
∴△ABM∽△AFD .
∴BMDF=AMAD=24=12 ，
∴DF=2BM=4 .
（2）解：①如图，连接 BD ， CD ，
∵BC∥DE ，
∴∠BCD=∠CDE ，
∴CE=BD ，
∴CE=BD .
由（1）得：
∵∠ADB=∠ACB=∠AMC=∠BMD ，
∴BD=BM=MC=12BC ，
∴CE=BD=12BC ，
即BC=2CE.
②由上可得 △AMC∽△BMD ，
∴DMMC=BMAC .
由（1）得 △ABM∽△AFD ，
∴y=FBAB=DMAM=DMCM⋅CMAM=BMAC⋅CMAM=(CMAC)2
如图，过点A作 AH⊥BC 于点H，
设 CM=2m ，
∵AM=AC ，
∴CH=12CM=m .
∵tan∠ACB=x ，
则 AH=mx ， AC=m1+x2
∴y=DMAM=(CMAC)2=(2mm1+x2)2=4x2+1
（3）解：如图，连接ME，
由上得 CE=BD ，
∴CE=BD ，
∴∠DBM=∠ECM
∵BM=CM ， BD=CE ，
∴△DBM≌△ECM(SAS) ，
∴MD=ME .
∵AC⊥CN ，
∴∠MCN=90°-∠ACM=∠HAC=12∠MAC=12∠DBM=12∠ECM .
∴∠MCN=∠ECN .
∴△MCN≌△ECN(SAS) .
∵△ABC 面积是 △CEN 面积的6倍，
∴△ACM 面积是 △MNC 面积的3倍.
∴AM=3MN .
设 ME 交 CN 于点K，
则 MK=EK ， MK∥AC ，
∴△MNK∽△ANC .
∴MKAC=MNAN=14 .
∴MD=ME=2MK=2×14AC=12AC=12AM ，
∴y=FBAB=DMAM=12 .
∴4x2+1=12 ，
解得 x=7 .
即 tan∠ACB=7 .
【解析】【分析】（1）连接BD，先证△AMC、△BMD为等边三角形，可得DM=BM=CM=AM=12BC=2，再证△ABM∽△AFD，可得 BMDF=AMAD=12 ，据此即得结论；
（2）①连接BD、CD，利用平行弦所夹的弧相等可得CE=BD，由（1）及等腰三角形的性质可得
BD=BM=MC=12BC ，即得CE=BD=12BC ，从而得解；②易证△AMC∽△BMD，通过平行线分线段成比例定理可得y=FBAB=DMAM=DMCM⋅CMAM=BMAC⋅CMAM=(CMAC)2.如图，过点A作 AH⊥BC 于点H，设CM=2m，可得 CH=12CM=m ，根据tan∠ACB=x，可得 AH=mx ， AC=m1+x2 ，代入即可得出结论；
（3）连接ME， 根据SAS证明△DBM≌△ECM和△MCN≌△ECN，利用等高三角形的面积比等于底之比可得AM=3MN，证明△MNK∽△ANC ，可得MKAC=MNAN=14 ，从而得出y=FBAB=DMAM=12 ，结合（2）可得方程4x2+1=12 ，解之即得结论
第16讲 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
一、单选题
1．（2022·嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在 BAC 上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
2．（2022·宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为( )
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
3．（2022·温州）如图， AB、AC是 ⊙O 的两条弦， OD⊥AB于点D， OE⊥AC 于点E，连结 OB、OC．若 ∠DOE=130° ，则 ∠BOC 的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．130°
4．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m，高为2 3 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．5π3 m B．8π3 m
C．10π3 m D．（ 5π3 +2）m
5．（2022·宁波模拟）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）
A．93-3π B．6π-93 C．3π-93 D．93-6π
6．（2022·乐清模拟）已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（ ）
A．52π B．54π C．152π D．154π
7．（2022·嵊州模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=BC，∠BAC=30°，AD是直径，AD=8，则AC的长为（ ）
A．4 B．43 C．833 D．23
8．（2022·萧山模拟）如图，已知AB为⊙O直径，弦AC，BD相交于点E，M在AE上，连结DM.AB＝1，∠DMC＝∠B，则cos∠AED的值始终等于线段长（ ）
A．DM B．EM C．AM D．CM
9．（2022·鹿城模拟）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC=20°.则∠D的大小为( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
10．（2022·秀洲模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OB= 3 ，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧A'B恰好经过点O，则阴影部分的面积为（ ）
A．32π-3 B．34π-32 C．34π-3 D．32π-32
二、填空题
11．（2022·嘉兴）如图，在扇形AOB中，点C，D在 AB 上，将 CD 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F. 已知∠AOB＝120°，OA＝6，则 EF 的度数为 ，折痕CD的长为 ．
12．（2022·湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是 AD 所对的圆周角，则∠APD的度数是
13．（2022·金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙О于点A，长边与⊙О相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知AC=6cm，CB=8cm，则⊙О的半径为 cm.
14．（2022·桐乡模拟）如图， AB 是 ⊙O 的直径， AB=2. 直线 l 与 ⊙O 相切于点 C ，且 l//AB. 在直线 l 上取一点 D ，连结 AD 交 ⊙O 于点 E. 若 AE=DE ，则 CD 的长是 .
15．（2022·桐乡模拟）弧度是表示角度大小的一种单位，我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度角，记作 1rad. 若圆半径 r=2 ，圆心角 α=2rad ，则圆心角为 α 的扇形面积是 .
16．（2022·宁波模拟）如图，以四边形 ABCD 的边 AD 为直径作 ⊙O ，恰与边 AB ， CD 分别相切于点 A ，点 D ，连接 BD 交 ⊙O 于点 P ，连接 CP ，若 ∠ABC=90° ， BP=4 ， r=52 ，则 CP= .
17．（2022·龙游会考）如图是古希腊数学家埃拉托斯特尼在夏至日这天测量地球子午线周长的示意图，其中太阳光线AB∥CD，CE是竖直插在球面上的木杆，AB，CE的延长线都经过圆心O.已知B，E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则∠DCE的度数约为 °.
18．（2022·杭州模拟）如图，在⊙O中，直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．
19．（2022·温州模拟）图1是一款带毛刷的圆型扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP=102cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上.毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D，则CD的最大长度为 cm.扫地机器人在遇到障碍物时会自转，毛刷碰到障碍物时可弯曲.如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角（∠Q=60°）时，不能清扫到的面积（图中阴影部分）为 cm2.
20．（2022·玉环模拟）如图，已知 ⊙O 内切于 Rt△ABC，∠C=90°，BC 边上切点为点D，作 ⊙O 的直径 DE ，连结 AE 并延长 AE 交 BC 于点F，若 ∠AFC=45°，FD=2 ，则 AB 的长为 ．
三、综合题
21．（2022·衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积．
22．（2022·台州）如图，在 △ABC中，AB=AC ，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．
（1）求证： BD=CD；
（2）若⊙O 与AC 相切，求∠B的度数；
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧 AD 的中点 E．（不写作法，保留作图痕迹）
23．（2022·宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当 AB 的长为2时，求 AC 的长．
②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．
24．（2022·温州）如图1， AB 为半圆O的直径，C为 BA 延长线上一点， CD 切半圆于点D， BE⊥CD ，交 CD 延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3．点P，Q分别在线段 AB、BE上（不与端点重合），且满足 APBQ=54 ．设BQ=x，CP=y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作 PR⊥CE 于点R，连结 PQ、RQ．
①当 △PQR 为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于 QR 的对称点 F' ，当点 F'落在 BC上时，求 CF'BF' 的值．
25．（2022·奉化模拟）如图1，△ABC中， AB=AC ，其外接圆为 ⊙O ， ⊙O 半径为5， BC=8 ，点M为优弧BMC的中点，点D为BM上一动点，连结AD，BD，CD，AD与BC交于点H．
（1）求证： △ACH∽△ADC ；
（2）若 AH：DH=2：3 ，求CD的长；
（3）如图2，在（1）的条件下，E为DB为延长线上一点，设 AH：DH=x ， tan2∠ABE=y ．
①求y关于x的函数关系式；
②如图3，连结AM分别交BC，CD于N、P，作 FN⊥AD 于D，交AB于F，若△BFN面积为△ACP面积的 35 ，求x的值．
26．（2022·丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，
（1）求证：∠CAG=∠AGC：
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若 EFCE=25 ，求 DPCP 的值；
（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.
27．（2022·宁波模拟）如图，已知 △ABC 内接于 ⊙O ， P 是圆外一点， PA 为 ⊙O 的切线，且 PA=PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点 D .
（1）求证： PB 为 ⊙O 的切线；
（2）若 tan∠BCA=43 ， ⊙O 的半径为5，求线段 PD 的长.
28．（2022·萧山模拟）如图，已知半径为r的⊙O中，弦AB，CD交于点E，连结BC，BD.设k=DECE（k≥1）.
（1）若AB＝DC.
①求证：CE＝BE；
②若k＝1，且BC＝BD＝4，求r的值；
（2）若AD＝BD＝90°，且AEBE=5，求k的值.
29．（2022·龙湾模拟）如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90° ， AB=BC ．点 A ， C 落在 ⊙O 上， AB 的延长线交 ⊙O 于点 D ，作直径 DF 交 BC 于点 E ， CG 切 ⊙O 于点 C ，交 AF 的延长线于点 G ．
（1）求证：四边形 ECGF 为平行四边形．
（2）若 AB=6 ， BD=2 ，求 FG 长．
30．（2022·鄞州模拟）如图1， △ABC 中， BC 边上的中线 AM=AC ，延长 AM 交 △ABC 的外接圆于点 D ，过点 D 作DE ∥ BC交圆于点 E ，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F ，连结 CE .
（1）【特殊尝试】若 ∠ACB=60∘ ， BC=4 ，求 MD 和 DF 的长；
（2）【规律探索】
①求证： BC=2CE ；
②设 tan∠ACB=x ， FBAB=y ，求 y 关于 x 的函数表达式：
（3）【拓展应用】
如图2，作 NC⊥AC 交线段 AD 于 N ，连结 EN ，当 △ABC 的面积是 △CEN 面积的6倍时，求 tan∠ACB 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠BOC=130°，
∴∠BAC=12∠BOC=12×130°=65°.
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=12cl=12×2π×4×6=24 πcm2 .
故答案为：B.
【分析】圆锥的侧面积=底面周长和母线乘积的一半，依此列式计算，即可解答.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∴∠A=180°-∠DOE=180°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠A=2×50°=100°.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义和四边形的内角和为180°，可求出∠A的度数；再利用一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，可求出∠BOC的度数.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，
∵AB=2，BC= 2 3 ，
∴EB=12AB=1，OE=12BC=3，
在Rt△OEB中，OB=OE2+BE2=2，
∴OB=2BE，
∴∠BOE=30°，
∴∠AOB=2∠BOE=60°，
∴ADB⏜的度数为300°，
∴改建后门洞的圆弧长=300×π×22360=10π3m.
故答案为：C.
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，根据垂径定理和矩形的性质求出AB和BC长，再利用勾股定理求出OB长，求出∠BOE=30°，从而得出圆心角∠AOB的度数，则可得出ADB⏜的度数，最后根据弧长公式计算即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵扇形纸片折叠， 使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC=OC=12OD=3，
∴CD=OD2-OC2=33，
∴∠CDO=30°，∠COD=60°，
∴弧AD、线段AC和CD所围成的图形面积=S扇形AOD-S△COD=60π×62360-12×3×33=6π-932，
∴阴影部分的面积=90π×62360-2×6π-932=93-3π.
故答案为：A.
【分析】连接OD，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于弧OD、线段OC和CD所围成的图形的面积，AC=OC，根据边的关系求出∠COD=60°，然后根据弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD- S△COD列式计算，进而可求阴影部分的面积.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，该扇形的弧长为：150π×3180=52π.
故答案为：A.
【分析】直接根据扇形的弧长公式nπr180（n为圆心角的度数，r为半径）进行计算.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴AM=CM=12AC，OM⊥AM，
又∵AB=BC，∠BAC=30°，
∴∠BCA=30°，
∴∠BOA=60°，
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴sin60°=AMAO=AM4=32，
解得：AM=23，
∴AC=2AM=43.
故答案为：B.
【分析】连接OB，由题意可得OB垂直平分AC，则AM=CM=12AC，OM⊥AM，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=30°，由圆周角定理可得∠BOA=60°，根据AD的值可得AO，然后根据三角函数的概念可得AM，据此可得AC.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接CD、CB，
∵∠CDB=∠A，∠DCE=∠DBA，
∴△CDE∽△BAE，
∴CDAB=CEBE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠AED=cos∠BEC=CEBE=CDAB，
∵∠DMC=∠DBA，∠DBA=∠DCA，
∴∠DMC=∠DCM，
∴DM=DC， 而AB=1，
∴cos∠AED=DMAB=DM.
故答案为：A.
【分析】连接CD、CB，根据圆周角定理可得∠CDB=∠A，∠DCE=∠DBA，证明△CDE∽△BAE，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，由对顶角的性质可得∠AED=∠BEC，由已知条件可得∠DMC=∠DBA，由圆周角定理可得∠DBA=∠DCA，推出DM=DC，然后根据三角函数的概念以及相似三角形的性质进行计算.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=70°，
又∵四边形ABCD内接于半圆O，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠D=110°.
故答案为：B.
【分析】先由圆周角定理得∠ACB=90°，从而求得∠B=70°，再根据圆内接四边形对角互补，即可求得∠D的度数.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，OB=3，
∴S扇形AOB=90π（3）2360=3π4，
如图，过点O作OD⊥BC于点E，交弧AB于点F，
∵扇形AOB沿着BC折叠，弧A'B恰好经过点O，
∴OE=EF=12OF=12OB=32，
∴∠EBO=30°，
∴OC=13OB=1，
∴S△COB=12OC·OB=12×1×3=32，
∴S阴影=S扇形AOB-2S△COB=3π4-2×32=3π4-3.
故答案为：C.
【分析】先根据扇形面积计算公式求得S扇形AOB=90π（3）2360=3π4；如图，过点O作OD⊥BC于点E，交弧AB于点F，由折叠性质可得OE=EF=12OF=12OB=32，从而推出∠EBO=30°，进而求出OC=13OB=1，S△COB=32，最后由S阴影=S扇形AOB-2S△COB代入数据计算即可求解.
11．【答案】60°；46
【解析】【解答】解：如图，分别过点E作AO的垂线，过点F作OB的垂线，交于点G，连接GC、GO交CD于点H，过点F作FQ⊥GO，连接OC，
∴点G为⊙G圆心，GE=GF，
∴∠GEO=∠GFO=90°，
∵∠EOF=∠AOB=120°，
∴∠EGF=180°-∠EOF=60°，
∴EF的度数为60°；
∵将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F，
∴BD垂直平分GO，GC=GF，
∴GH=OH=12GO，GC=CO，DH=HC=12CD，
∵OA=OC=6，
∴GC=GF=6
又∵GO=OG，
∴Rt△GEO≌Rt△GFO（HL），
∴∠GOF=12∠AOB=60°，∠OGF=12∠EGF=30°，
∴在Rt△GQF中，QF=12GF=3，GQ=3QF=33，
在Rt△OQF中，OQ=13QF=3，
∴OG=OQ+GQ=3+33=43，
∴GH=12OG=23，
∴在Rt△GHC中，HC=GC2-GH2=62-（23）2=26，
∴CD=2HC=46.
故答案为：46.
【分析】如图，分别过点E作AO的垂线，过点F作OB的垂线，交于点G，连接GC、GO交CD于点H，过点F作FQ⊥GO，连接OC，即可确定⊙G圆心，GE=GF，从而得∠GEO=∠GFO=90°，再由角的互补关系即可得∠EGF=180°-∠EOF=60°，进而得EF的度数；由CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F，易得BD垂直平分GO，GC=GF，得GH=OH=12GO，GC=CO，DH=HC=12CD，再由”HL“定理证出Rt△GEO≌Rt△GFO，即得∠GOF=12∠AOB=60°，∠OGF=12∠EGF=30°，利用30°角所对直角边等于斜边一半及直角三角形性质求得QF=3，GQ=33，OQ=3，再由OG=OQ+GQ可得OG=43，从而得GH=23，最后由勾股定理求出HC的长度，即可得到CD的长.
12．【答案】30°
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠AOD=∠BOD=12∠AOB=60°，
又∵∠APD是 AD 所对的圆周角，
∴∠APD=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形性质及垂径定理可得∠AOD=∠BOD=12∠AOB=60°，再根据圆周角定理即可求出∠APD的度数.
13．【答案】253
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D，
∴OA=OB，∠OBC=∠ODA=∠C=90°，
∴四边形ACBD为矩形，
∴AC=DB=6cm，AD=CB=8cm，
设半径为r，则OD=（r-6）cm，
∴OA2=AD2+OD2，即r2=82+（r-6）2，
整理，解得：r=253.
故答案为：253.
【分析】如图所示，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D，易得四边形ACBD为矩形，由矩形的性质得AC=DB=6cm，AD=CB=8cm，设半径为r，则OD=（r-6）cm，再根据勾股定理列出关于r的方程，解之即可求解.
14．【答案】3+1 或 3-1
【解析】【解答】解： ① 当点D在点C的左侧时，连接OC ， BE ， BD ，过点B作BF⊥l于点F ，如图，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴BE⊥AD .
∵AE=DE ，
∴BD=BA=2 .
∵l 与 ⊙O 相切于点 C ，
∴OC⊥l ，
∵l//AB ，
∴OC⊥AB ，
∵BF⊥l ，
∴ 四边形OCFB为矩形，
∵OB=OC ，
∴ 四边形OCBF为正方形.
∴CF=BF=OC=1 .
∴DF=BD2-BF2=3 .
∴CD=DF-CF=3-1 ；
② 当点D在点C的右侧时，连接OC ，BE ， BD ，过点B作BF⊥l 于点F ，如图，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴BE⊥AD .
∵AE=DE ，
∴BD=BA=2 .
∵l 与 ⊙O 相切于点 C ，
∴OC⊥l ，
∵l//AB ，
∴OC⊥AB ，
∵BF⊥l ，
∴ 四边形OCFB为矩形，
∵OB=OC ，
∴ 四边形OCFB为正方形.
∴CF=BF=OC=1 .
∴DF=BD2-BF2=3 .
∴CD=CF+DF=3+1 ，
综上，CD 的长是 3+1 或 3-1 .
故答案为： 3+1 或 3-1 .
【分析】当点D在点C的左侧时，连接OC、BE、BD，过点B作BE⊥l于点F，根据圆周角定理可得∠AEB=90°，结合AE=DE可得BD=BA=2，根据切线的性质可得OC⊥l，推出四边形OCFB为正方形，得到CF=BF=OC=1，利用勾股定理求出DF，然后根据CD=DF-CF进行计算；当点D在点C的右侧时，同理计算即可.
15．【答案】4
【解析】【解答】解： ∵ 圆半径 r=2 ，圆心角 α=2rad ，
∴ 扇形的弧长为 4 ，
∴ 扇形的面积为 S=12lr=12×4×2=4 .
故答案为：4.
【分析】首先求出扇形的弧长，然后结合扇形的面积公式S=12lr进行计算.
16．【答案】13
【解析】【解答】连接AP，过点P作EF∥AD交DC于点E，交AB于点F，
∵⊙O与边AB，CD分别相切于点A，点D，
∴∠ADC= 2 DAB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴四边形DAFE是矩形，
∴EF=DA，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠APD=90°，
∴∠DAP+∠ADP=90°，
∴∠ADP+∠ABD=90°
∴∠DAP=∠ABD，
∴ ∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA，
∴ADBD=DPAD
∵r= 52
∴AD= 5 ，
设PD= =x，则BD=4+x，
∴（ 5 ）2 =x· （x+4），
解得x=1 （负值舍去），
∴DP=1，
∴AP= AD2-DP2 =2，
∴AB= AP2+PB2=25 ，
∵∠EDP+∠ADP=∠ADP+∠DAP= 90°
∴∠EDP=∠DAP，
∴△EDP∽△PAD，
∴DEAP=PEDP=DPAD
∴DE2=PE1=15
∴DE= 255 ，PE= 55
∴CE=CD- DE= 855
∴CP= PE2+CE2=13 .
故答案为： 13 .
【分析】连接AP，过点P作EF∥AD交DC于点E，交AB于点F，△ADP∽△BDA，根据相似比的的性质列出比例式，设PD=x，则BD=4+x，根据比例式建立方程求解，则可求出DP，AP的长，再证明△EDP∽△PAD， 根据相似比的性质求出DE和PE的长，从而求出CE的长，最后由勾股定理求CP长即可.
17．【答案】7.2°
【解析】【解答】解：∵B，E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，
∴800=∠DCE360°×40000
解得：∠DCE=7.2°
故答案为：7.2°.
【分析】根据平行线的性质可得∠DCE=∠AOE，利用∠DCE的度数除以360°，然后乘以子午线周长可得劣弧BE的长度，据此计算.
18．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AB⊥CD，CD为直径，
∴AM=BM=4，
∵OA=OD=5，
∴OM=OA2-AM2=52-42=3，
∴DM=OD-OM=5-3=2.
故答案为：2.
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AM长，然后在Rt△AMO中，根据勾股定理求OM长，则可求出DM的长.
19．【答案】（202-20）；（2002-100-100π3）
【解析】【解答】解：如图，连接AB，OB，
∵BP=AP，且A，P，B三点共线，
∴OP垂直平分AB，
∴∠OPB=90°，
∴当O、P、D、C四点共线时，CD最长，
∵OB=OD=12×40=20，PB= CP=102，
∴在Rt△BOP中，由勾股定理得OP=OB2-BP2=202-(102)2=102，
∴CD=CP-PD=CP-（OD-OP）=102-(20-102)=202-20cm；
如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角时，QA和QB是⊙O的切线，
则∠OAM=∠OBN=90°，∠AQO=∠BQO=30°，OM=OC=202，
∴∠AOQ=∠BOQ=60°，
∴OQ=2AO=40，
∴QP=OQ-OP=40-102，
在Rt△AOM中，由勾股定理得MA=OM2-OA2=(202)2-202=20，
∴MA=AO，
∴∠AOM=∠AMO=45°，
∴∠MOP=15°，
∵MP=102=OP，
∴∠MOP=∠OMP=15°，
∴∠MPC=30°，∠MPN=60°，
∴S阴影=2S△PMQ-S扇形MPN
=2×12×QP×MP⋅sin30°-60π×(102)2360
=2×12×(40-102)×102×12-100π3
=2002-100-100π3，
故答案为：（202-20）；（2002-100-100π3）.
【分析】连接AB，OB，由垂径定理可得OP垂直平分AB，从而得当O、P、D、C四点共线时，CD最长， 求出此时CD的长即可；如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角时，QA和QB是⊙O的切线，根据S阴影=2S△PMQ-S扇形MPN进行求解即可.
20．【答案】5
【解析】【解答】解：如图，设AB与⊙O切于点H，AC与⊙O切于点Q，分别连接OH、OQ，
∵BC与⊙O切于点D，∠C=90°，
∴∠OQC=∠ODC=∠C=90°，
∴四边形DOQC为矩形，
∵DO=OQ=OE=12DE，
∴四边形DOQC为正方形，
又∵∠AFC=45°，
∴∠FED=∠FAC=45°，
∴FD=DE=2，AC=FC，
∴DO=OQ=QC=DC=12DE=1，
∴FC=AC=3，
∴AQ=3-1=2，
设BF=x，则BH=BD=x+2，
∴BC=x+3，AB=x+2+2=x+4，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即：（x+4）2=32+（x+3）2，
整理，解得：x=1，
∴AB=1+4=5.
故答案为：5.
【分析】如图，AB与⊙O切于点H，AC与⊙O切于点Q，分别连接OH、OQ，易证四边形DOQC为正方形，结合等腰直角三角形性质得DO=OQ=QC=DC=12DE=1，从而得AC=3，AQ=2，设BF=x，则BH=BD=x+2，从而得到BC=x+3，AB=x+4，再由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即：（x+4）2=32+（x+3）2，整理，解得：x=1，即可求出AB的长.
21．【答案】（1）证明：∵AD = AD ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∵ ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB ；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵CD∥AB ，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD= nπr2360=60×π×22360=23π ，
∴S阴影=23π ．
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACD=∠DBA，结合已知可证得∠CAB=∠ACD；再利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）连接OC，OD，可求出∠CAB的度数，利用圆周角定理可求出∠AOD和∠COB的度数，由此可求出∠COD的度数，利用平行线的判定定理可证得CD∥AB，可推出△DOC和△DBC的面积相等，可证得阴影部分的面积=扇形COD的面积；然后利用扇形的面积公式求出扇形的面积.
22．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD
（2）∵ ⊙ O 与 AC 相切 ，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°.
∠B=45°
（3）如下图，点E就是所要做的AD的中点.
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，再利用等腰三角形三线合一的性质，可证得结论.
（2）利用切线的性质可证得BA⊥AC，利用垂直的定义可得到∠BAC=90°，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B的度数.
（3）利用垂径定理作出弦AD的垂直平分线，交劣弧AD于点E；或利用尺规作图作出∠ABC的角平分线，交劣弧AD于点E；或连接OD，作出∠AOD的角平分线；或作出AC的中点；或过点O作OE∥BC，即可得到劣弧AD的中点E.
23．【答案】（1）解：∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α，①
又∵∠AFB+∠BFD=180°，②
②-①，得2∠BFD=180°-α，
∴∠BFD=90°- α2
（2）证明：由(1)得∠BFD=90°- α2 ，
∵∠ADB=∠ACB=α，
∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°- α2
∴DB=DF．
∵FG∥AC，
∴∠CAD=∠DFG．
∵∠CAD=∠DBE，
∴∠DFG=∠DBE．
∵BE=FG，
∴△BDE≌△FDG (SAS) ．
（3）解：①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG=∠BDE=α，
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α．
∵DE=DG，
∴∠DGE= 12 (180°-∠FDG)=90°- α2 ，
∴在△BDG中，∠DBG= 180°-∠BDG-∠DGE= 90°- 3α2
∵AD为⊙O的直径，
∵∠ABD=90°．
∴∠ABC=∠ABD-∠DBG= 3α2
∴AC 与 AB 的度数之比为3：2．
∴AC 与 AB 的长度之比为3：2，
∵AB =2，
∴AC =3．
②如图，连结BO．
∵OB= OD，
∴∠OBD=∠ODB=a，
：∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α．
∴∠BDG= 2α，
∴∠BOF=∠BDG．
∵∠BGD=∠BFO= 90°- α2 ，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴DGOF=BDBO =k．
∵OFOE=411
∴设OF=4x，则OE=11x，DE=DG= 4kx，
∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx，
BD=DF=15x+4kx，
∴BDBO=15x+4kx11x+4kx=15+4k11+4k
由 15+4k11+4k =k，得4k2+7k-15=0，
解得k1= 54 ，k2=-3(舍)，
∴OD= 11x+4kx=16x，BD=15x+4kx=20x，
∴AD=2OD=32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB= BDAD=20x32x=58
∴cosα= 58
【解析】【分析】(1)根据条件得出∠AFB-∠BFD=∠ACB=α，∠AFB+∠BFD=180°，两者联立即可求解；
(2)利用(1)的结论，FGIIAC、BE= FG，利用SAS证明△BDE≌△FDG，即可得证；
(3)①用含α的代数式表示∠ABC=∠ABD-∠DBG= 3α2，再根据同圆中圆周角的度数比等于弧长比，则可求AC的长；②连结BO，证明△BDG∽△BOF，设△BDG与△BOF的相似比为k，OF=4x，然后分别表示出OE、DE 、DG的长度，根据相似比的性质求出k值，从而表示出AD和BD长，最后在Rt△ABD中，根据余弦的定义计算，即可求解.
24．【答案】（1）解：如图1，连结 OD ．设半圆O的半径为r．
∵CD 切半圆O于点D，∴OD⊥CD ．
∵BE⊥CD ，∴OD∥BE ，
∴△COD∽△CBE ，
∴ODBE=COCB ，即 r3=5-r5 ，
∴r=158 ，即半圆O的半径是 158
（2）解：由（1）得： CA=CB-AB=5-2×158=54 ．
∵APBQ=54，BQ=x ，∴AP=54x ．
∵CP=AP+AC ，∴y=54x+54
（3）解：①显然 ∠PRQ<90° ，所以分两种情况．
ⅰ）当 ∠RPQ=90° 时，如图2．
∵PR⊥CE ，∴∠ERP=90° ．
∵∠E=90° ，∴四边形 RPQE 为矩形，
∴PR=QE ．
∵PR=PC⋅sinC=35y=34x+34 ，
∴34x+34=3-x ，∴x=97 ．
ⅱ）当 ∠PQR=90° 时，过点P作 PH⊥BE 于点H，如图3，
则四边形 PHER 是矩形，∴PH=RE，EH=PR ．
∵CB=5，BE=3 ，∴CE=52-32=4 ．
∵CR=CP⋅cosC=45y=x+1 ，
∴PH=RE=3-x=EQ ，
∴∠EQR=∠ERQ=45° ，
∴∠PQH=45°=∠QPH ，∴HQ=HP=3-x ，
由 EH=PR 得： (3-x)+(3-x)=34x+34 ，∴x=2111 ．
综上所述，x的值是 97 或 2111 ．
②如图4，连结 AF，QF' ，由对称可知 QF=QF'，∠F'QR=∠EQR=45° ，
∴∠BQF'=90° ，
∴QF=QF'=BQ⋅tanB=43x ．
∵AB 是半圆O的直径，∴∠AFB=90° ，
∴BF=AB⋅cosB=94 ，
∴43x+x=94 ，∴x=2728 ，
∴CF'BF'=BC-BF'BF'=BCBF'-1=3x-1=199 ．
或利用 QF'∥CE 得： CF'BF'=EQQB=3-xx=3x-1=199
【解析】【分析】（1）连接OD，设圆的半径为r，利用切线的性质可证得OD⊥CD，结合已知可证得OD∥CD，可推出△COD∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例可建立关于r的方程，解方程求出r的值.
（2）利用CA=CB-AB，代入计算求出CA的长；利用APBQ=54，可表示出AP的长；根据CP=AP+AC，可得到y与x之间的函数解析式.
（3）①由题意可知∠PRQ＜90°，分两种情况讨论：当∠RPQ=90°时，易证四边形RPQE是矩形，利用矩形的性质可证得PR=QE，利用解直角三角形可表示出PR的长；然后利用PR=QE，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；当∠PQR=90°时，过点P作PH⊥BE于点H，易证四边形PHER是矩形，利用矩形的性质可证得PH=RE，EH=PR；利用勾股定理求出CE的长，利用解直角三角形求出CR的长；从而可表示出PH，RE的长及HQ的长；由EH=PR可得到关于x的方程，解方程求出x的值；②连接AF，QF′，利用对称可知QF=QF′，∠F′QR=∠EQR=45°，利用解直角三角形表示出QF的长，利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠AFB=90°，利用解直角三角形表示出BF的长，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；再求出CF'BF'=199；由QF′∥CE，可得对应线段成比例，即可求出CF'BF'的值.
25．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴AB=AC，
∴∠ACB=∠ADC，
又∵∠CAH=∠DAC，
∴△ACH∽△ADC.
（2）解：如图1，连结AO，CO，AO交BC于N，
∵AB=AC，BC=8，
∴OA⊥BC，
∴BN=CN=4，
∵⊙O半径为5，
易得ON=3，AN=2，
∴AC=AN2+CN2=25，
∵AH：DH=2：3，
∴设AH=2m，DH=3m，则AD=5m
由（1）可知：△ACH∽△ADC，
∴AC2=AH⋅AD，
∴20=10m2，
∴m=2，
∴AH=22，
∴HN=AH2-AN2=2，
∴CH=6，
又∵CDCH=ACAH，
∴CD=310.
（3）解：①如图2，连结AO交BC于N，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴
∴∠EBA=∠ACD=∠AHC，
设DH=a，AH=ax，
同（2）得：AC2=AH⋅AD，
∴a2x(x+1)=20，即a2x=20x+1，
∴NH2=AH2-AN2=a2x2-4=20xx+1-4=16x-4x+1，
∴tan2∠ABE=tan2∠AHC=AN2HN2，
∴y=x+14x-1；
②如图2，作FT⊥BC于点T，
易得∠BAN=∠CAN，
∵FN⊥AD，AN⊥BC，
∴∠BAN=∠CAN，∠AHN+∠HNG=∠HNG+∠ANG，
∴∠AHN=∠ANG，
又∵∠ACD=∠AHC，
∴∠ACP=∠ANF，
∴△ANF∽△ACP，
∴S△ANFS△ACP=(ANAC)2=4（25）2=15，
又∵S△BNFS△ACP=35，
∴S△ANFS△BFN=13，
∴AFBF=13，
∴BF=34AB=325，
∵tan∠ABC=FTBT=12，
∴设FT=b，则BT=2b，
在Rt△BTF中，由勾股定理得BT2+FT2=BF2，b2+（2b）2=（352）2，
解得b=32（负值已舍去），
∴FT=32，BT=3，NT=1，
易证∠ABE=∠AHN=∠NFT，
∴y=tan2∠NFT=49，
代入y=x+14x-1得x=137，
经检验x=137是原分式方程的根，
∴x=137.
【解析】【分析】（1）由同圆中等弦所对的劣弧相等得AB=AC，再由圆周角定理得∠ACB=∠ADC，进而可证明△ACH∽△ADC；
（2）如图1，连结AO，CO，AO交BC于点N，由垂径定理得BN=CN=4，再由勾股定理求得ON和AN的长，从而求得AC的长，根据AH：DH=2：3，设AH=2m，DH=3m，则AD=5m，由（1）可知△ACH∽△ADC，由相似三角形对应比例关系求得m的值，即得AH=22，再由勾股定理求得HN=2，从而得CH=6，再由相似三角形对应比例得CDCH=ACAH，代入数据即可求出CD的长；
（3）①如图2，连结AO交BC于N，由圆内接四边形性质及角的等量代换得∠EBA=∠ACD=∠AHC，设DH=a，则AH=ax，同（2）得AC2=AH⋅AD，得a2x=20x+1，求出NH2=16x-4x+1，再由∠ABE的正切关系得y=x+14x-1；②如图2，作FT⊥BC于点T，易得∠BAN=∠CAN，由FN⊥AD，AN⊥BC，可得∠BAN=∠CAN，∠AHN+∠HNG=∠HNG+∠ANG，继而得∠AHN=∠ANG，推出∠ACP=∠ANF，证出△ANF∽△ACP，由相似性质及S△BNFS△ACP=35推出S△ANFS△BFN=13，即得AFBF=13，BF=34AB=325，
进而得tan∠ABC=FTBT=12，设FT=b，则BT=2b，再由勾股定理得BT2+FT2=BF2，即得b2+（2b）2=（352）2，解得b=32，从而得FT=32，BT=3，NT=1，易证∠ABE=∠AHN=∠NFT，进而得到y=tan2∠NFT=49，代入y=x+14x-1计算即可求得x=137.
26．【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，
∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，
∵AH是OO的切线，AH⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AG∥CD，
∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，
∴∠CAG=∠AGC.
（2）解：由(1)得CA=CE，
∵CD⊥AB
∴AC=AD
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC
∴AD=CE，∠FCD=∠D
∴FG//AD
∴△APD~△FPC
∴DPCP=ADCF
∵EFCE=25
∴EF+CECE=75
∴CECF=57
∴DPCP=ADCF=CECF=57
（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α
可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α
∵OC∥AF，
∴∠OCF=∠AFC=α.
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC=α.
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CA0=3α.
∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°
∴α=22.5°，
∵∠OFC=∠AGF
∴OF∥AG.
∴∠AOF=∠OAG=90°，
∴∠OFA=2α=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α
∵OC∥AF，
∴∠FAE=∠OCA=α
∴∠COE=∠FAE=2a.
∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG
∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a
解得α=22.5°，2a=45°.
∴△COM 是等腰直角三角形，则 OCOM=2 .
可得 OM=22，AM=22+1 ，
∴AE=2AM=2+2.
③当 AC//OF 时，如图3，连结OC，OF，设 ∠AGF=a .
∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α
∵AC‖OOF
∴∠CFO=∠ACF=2α
可得 ∠CAO=∠ACO=4α .
解得 α=18°， ，
∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°
∴△OCE∽△FCO
∴OC2=CE×CF
即 12=CE×(CE+1) ，解得 CE=AC=OE=5-12 .
∴AE=OA-OE=3-52
④当 AC//OF 时，如图4，连结OC，OF，BF，设 ∠FAO=α .
∵AC//OF
∴∠CAF=∠OFA=α
可得 ∠COF=∠BOF=2α .
∴AC=CE
∴∠E=∠CAE=∠EFB
∴BF=BE .
可证 △OCF≅△OBF，
∴CF=BF=BE
∴∠E=∠COF
∴△COF~△CEO ，
∴OC2=CE×CF ，
解得 BE=CF=5-12 ，
∴AE=AB+BE=3+52
综上所述，AE的长为 2-2，2+2，3-52，3+52 .
【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；
(2)先证明FG∥AD， 得出△APD~△FPC，由相似比的性质得出DPCP=ADCF，然后根据比例的性质转化，可得结论；
(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.
27．【答案】（1）证明：如图，分别连接OA、OB，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB为⊙O的切线.
（2）解：由（1）可得△OAP≌△OBP，
∴∠AOP=∠BOP，
∴OD⊥AB，
∵∠AOB=2∠BCA=∠AOP+∠BOP，
∴∠BCA=∠AOP，
∵tan∠BCA= 43，⊙O的半径5，∠PAO=90°，
∴tan∠AOP=43=APOA=AP5，
∴AP=203，
∴OP=OA2+AP2=52+（203）2=253，
∵12OA·AP=12OP·AD，即5×203=253AD，
∴AD=4，
∴OD=ADtan∠AOD=443=3，
∴PD=OP-OD=253-3=163.
【解析】【分析】（1）分别连接OA、OB，由切线性质得∠OAP=90°，再由“SSS”定理证得△OAP≌△OBP，即得∠OBP=∠OAP=90°，从而证明PB为⊙O的切线；
（2）由（1）可得△OAP≌△OBP，即得∠AOP=∠BOP，再由等腰三角形性质得OD⊥AB，再由圆周角定理得∠AOB=2∠BCA=∠AOP+∠BOP，从而得∠BCA=∠AOP，再由锐角三角函数定义及勾股定理可求得AP=203，OP=253，根据三角形等面积得12OA·AP=12OP·AD，求得AD=4，进而求得OD=3，最后由PD=OP-OD代入数据计算即可求解.
28．【答案】（1）解：①证明∵AB＝CD，
∴AB=CD
∴AB-BC=CD-BC ，
∴AC＝BD
∴ ∠ABC＝∠BCD
∴CE＝BE
②解：如图1
∵k＝1，∴CE＝DE
又BC＝BD＝4∴BC=BD
∴AB⊥CD，AB为直径（垂径定理推论）
又AB＝CD
∴AB，CD均为直径（点E与点O重合）
如图等腰Rt△CBD中，∠DBC＝90°
∴CD＝2BD=42
∴r=22
（2）解：如图2，连结AD ，OD
∵AD＝BD＝90°
∴AB为⊙O的直径，AD＝BD
由于EAEB＝5，可设EA＝5x，BE＝x
则OB＝OA＝3x，
∴OE＝3x-x＝2x，
∵∠BOD＝∠DOA＝90°，OE＝2x，OD＝3x，
∴DE＝13x.
又∵ ∠DAB＝∠DCB，
∠AED＝∠BEC，
∴△ADE∽△CBE，
∴AECE=DEBE.
∵BE＝x，DE＝13x ，AE＝5x，
∴CE=513x13，
∴k=EDCE=135
【解析】【分析】（1）①根据弧、弦的关系可得AB=CD ，推出AC＝BD，根据圆周角定理可得∠ABC＝∠BCD，据此证明；
②根据k=1可得CE＝DE，结合垂径定理的推论可得AB⊥CD，AB为直径，然后根据等腰直角三角形的性质进行计算；
（2）连结AD、OD，由题意可得AB为⊙O的直径，AD＝BD，设EA＝5x，则BE＝x，OB＝OA＝3x，OE＝2x，利用勾股定理可得DE＝13x，根据圆周角定理可得∠DAB＝∠DCB，由对顶角的性质可得∠AED＝∠BEC，证明△ADE∽△CBE，然后根据相似三角形的性质进行计算.
29．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵DF是直径，
∴∠DAF=90°=∠ABC，
∴FG∥CE，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAG=45°，
∴∠FOC=2∠BAC=90°，
∵GC切⊙O于点C，
∴∠OCG=90°=∠FOC，
∴EF∥CG，
∴四边形ECGF是平行四边形；
（2）解：如图，过点O作OM⊥AD于点M，
∴AM=DM=12AD=12（6+2）=4，
∴BM=BD=2，
∵OM∥BE，
∴DE=OE=12OD=12OC，
∵∠DBE=∠COE，∠BED=∠OEC，
∴△BDE∽△OCE，
∴BDOC=DECE=BEOE，
∴2OC=12OCCE=BE12OC，
∴CE=14OC2，
∴BE=14OC2CE=14OC214OC2=1，
∴CE=BC-BE=AB-BE=6-1=5，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴FG=CE=5.
【解析】【分析】（1）连接OC，证出FG∥CE，EF∥CG，即可证出四边形ECGF是平行四边形；
（2）过点O作OM⊥AD于点M，根据垂径定理和三角形中位线性质得出DE=OE=12OD=12OC，证出△BDE∽△OCE，得出BDOC=DECE=BEOE，从而得出BE=1，CE=5，再根据平行四边形的性质得出FG=CE=5.
30．【答案】（1）解：如图，连接 BD ，
∵∠ACB=60° ， AM=AC ，
∴∠BMD=∠AMC=∠ACM=60° .
又 ∠ADB=∠ACB=60° ，
∴△AMC ， △BMD 都是等边三角形.
∴DM=BM=CM=AM=12BC=2 ，
∵BM∥DF ，
∴△ABM∽△AFD .
∴BMDF=AMAD=24=12 ，
∴DF=2BM=4 .
（2）解：①如图，连接 BD ， CD ，
∵BC∥DE ，
∴∠BCD=∠CDE ，
∴CE=BD ，
∴CE=BD .
由（1）得：
∵∠ADB=∠ACB=∠AMC=∠BMD ，
∴BD=BM=MC=12BC ，
∴CE=BD=12BC ，
即BC=2CE.
②由上可得 △AMC∽△BMD ，
∴DMMC=BMAC .
由（1）得 △ABM∽△AFD ，
∴y=FBAB=DMAM=DMCM⋅CMAM=BMAC⋅CMAM=(CMAC)2
如图，过点A作 AH⊥BC 于点H，
设 CM=2m ，
∵AM=AC ，
∴CH=12CM=m .
∵tan∠ACB=x ，
则 AH=mx ， AC=m1+x2
∴y=DMAM=(CMAC)2=(2mm1+x2)2=4x2+1
（3）解：如图，连接ME，
由上得 CE=BD ，
∴CE=BD ，
∴∠DBM=∠ECM
∵BM=CM ， BD=CE ，
∴△DBM≌△ECM(SAS) ，
∴MD=ME .
∵AC⊥CN ，
∴∠MCN=90°-∠ACM=∠HAC=12∠MAC=12∠DBM=12∠ECM .
∴∠MCN=∠ECN .
∴△MCN≌△ECN(SAS) .
∵△ABC 面积是 △CEN 面积的6倍，
∴△ACM 面积是 △MNC 面积的3倍.
∴AM=3MN .
设 ME 交 CN 于点K，
则 MK=EK ， MK∥AC ，
∴△MNK∽△ANC .
∴MKAC=MNAN=14 .
∴MD=ME=2MK=2×14AC=12AC=12AM ，
∴y=FBAB=DMAM=12 .
∴4x2+1=12 ，
解得 x=7 .
即 tan∠ACB=7 .
【解析】【分析】（1）连接BD，先证△AMC、△BMD为等边三角形，可得DM=BM=CM=AM=12BC=2，再证△ABM∽△AFD，可得 BMDF=AMAD=12 ，据此即得结论；
（2）①连接BD、CD，利用平行弦所夹的弧相等可得CE=BD，由（1）及等腰三角形的性质可得
BD=BM=MC=12BC ，即得CE=BD=12BC ，从而得解；②易证△AMC∽△BMD，通过平行线分线段成比例定理可得y=FBAB=DMAM=DMCM⋅CMAM=BMAC⋅CMAM=(CMAC)2.如图，过点A作 AH⊥BC 于点H，设CM=2m，可得 CH=12CM=m ，根据tan∠ACB=x，可得 AH=mx ， AC=m1+x2 ，代入即可得出结论；
（3）连接ME， 根据SAS证明△DBM≌△ECM和△MCN≌△ECN，利用等高三角形的面积比等于底之比可得AM=3MN，证明△MNK∽△ANC ，可得MKAC=MNAN=14 ，从而得出y=FBAB=DMAM=12 ，结合（2）可得方程4x2+1=12 ，解之即得结论
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