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第13讲 平行线与相交线 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
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这是一份第13讲 平行线与相交线 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
第13讲 平行线与相交线 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
一、单选题
1．（2022·台州）如图，已知∠1=90° ，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠2=90° B．∠3=90° C．∠4=90° D．∠5=90°
2．（2022·杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE．若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．（2022·绍兴）如图，把一块三角板 ABC 的直角顶点B放在直线 EF 上， ∠C=30° ，AC∥EF，则 ∠1= （ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（2022·桐乡模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中， ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E ，交 DC 的延长线于点 F ，作 BG⊥AE 于 G ，若 AB=6 ， AD=9 ， BG=42 ，则 △EFC 的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2022·江干模拟）如图，直线 m//n ，点 A 在直线 m 上，点 B ， C 在直线 n 上， AB=BC ， ∠1=70° ， CD⊥AB 于 D ，那么 ∠2 等于（ ）
A．20° B．30° C．32° D．25°
6．（2022·丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ 14 ，则FG的长是（ ）
A．3 B．83 C．2153 D．52
7．（2022·宁波模拟）两个直角三角板如图摆放， 其中 ∠BAC=∠EDF=90∘，∠E=45∘，∠C=30∘ . 若 BC//EF 且 EF 过点 A ， 点 D 为 BC 中点， 已知 BC=20 ， 则 EF 的长为( )
A．15 B．103 C．510 D．102
8．（2022·杭州模拟）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A，B，C，D在l2上，且PB⊥l2，则l1与l2间的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
9．（2022·鹿城会考）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（ ）
A．85° B．75° C．65° D．30°
10．（2022·西湖模拟）如图，把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行，则 ∠1= （ ）
A．75° B．90° C．100° D．105°
二、填空题
11．（2022·嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
12．（2022·金东模拟）如图所示， AB∥CD ，点 E 在 CD 上， BE⊥DF ，垂足为 B ，已知 ∠BED=34° ，则 ∠ABF 的度数为 ．
13．（2022·宁波模拟）如图， AB∥CD ， EF 分别与 AB ， CD 交于点 B ， F .若 ∠E=35° ， ∠EFC=120° ，则 ∠A= .
14．（2022·舟山模拟）将一副含30°角和45°角的直角三角板按如图共顶点摆放，若AB∥CD，则∠CAE＝ .
15．（2022·秀洲模拟）如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，若DE=3，CE=4，则AB的值
16．（2022·椒江模拟）如图，BD是矩形ABCD 的对角线，CE⊥BD于点E，连接AE，已知tan∠ABD=2，则tan∠AEB = .
17．（2022·玉环模拟）如图，直线 a∥b ，将一块含 30° 角的直角三角板 ABC 按如图方式放置 (∠CAB=30°) ，其中一条直角边的两顶点 C，A 分别落在直线 a，b 上，若 ∠1=30° ，则 ∠2= 度．
18．（2022·仙居模拟）如图， 矩形纸条 ABCD 中， AB=12cm ， 把该纸条依次沿着互相平行的两条直线 EF ， HI对折得到“ Z "形图案. 已知 ∠DFE=60∘ ， 要使点 H ， 点 K 分别在 AD 和 EF 的延长线上(不与 D，F 重合)， 则 AE= ； AD 的取值范围是 .
19．（2022·仙居模拟） 根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线，反射光线与平面镜所夹的角相等。如图， α，β 是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面 α 反射后的光线为n，再通过镜面 β 反射后的光线为k，光线m与镜面 α 的夹角的度数为x，光线n与光线k的夹角的度数为y，则x与y之间的数量关系是 .
20．（2022·临海模拟）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等.如图，α，β是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k.光线m与镜面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°.则x与y之间的数量关系是 .
三、综合题
21．（2022·温州）如图， BD 是 △ABC的角平分线， DE∥BC ，交 AB 于点E．
（1）求证： ∠EBD=∠EDB ．
（2）当AB=AC时，请判断 CD 与ED的大小关系，并说明理由．
22．（2022·萧山模拟）如图， Rt△ABC 中， ∠BAC=90° ，点 D 是边 BC 的中点，以 AD 为底边在其右侧作等腰三角形 ADE ，使 ∠ADE=∠B ，连结 CE ，则：
（1）求证： DE//AB ；
（2）若 cosB=14 ，求证： CE=2AD .
23．（2022·瑞安模拟）如图，AE平分∠BAC， AC＝CE.
（1）求证：AB∥CD.
（2）若∠C＝50°，求∠AED的度数.
24．（2022·龙游会考）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且AE=AF.
（1）求证：▱ABCD是菱形.
（2）若∠EAF=60°，DF=2，求平行四边形ABCD的面积.
25．（2022·路桥模拟）如图，对折正方形纸片ABCD，使AB与DC重合，折痕为MN.将纸片展平，再进行折叠，使点C落在MN上的点E处，折痕BP交MN于点F.
（1）求证：EF=PC；
（2）若正方形纸片ABCD的边长为3，求折痕BP的长.
26．（2022·宁波模拟）如图
（1）【基础巩固】
如图①， 在四边形 ABCD 中， AD//BC，∠ACD=∠B ， 求证： △ABC∼△DCA ；
（2）【尝试应用】
如图②， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 在 BC 上， ∠AED 与 ∠C 互补， BE=2，EC=4 ， 求 AE 的长；
（3）【拓展提高】
如图③， 在菱形 ABCD 中， E 为其内部一点， ∠AED 与 ∠C 互补， 点 F 在 CD 上， EF//AD ， 且 AD=2EF ， AE=3，CF=1 ， 求 DE 的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵两条铁轨平行，
∴∠1=∠4=90°，
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，同位角相等，可知添加的条件为∠4=90°.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG，
∵∠AEG=∠AEC-∠CEG=50°-20°=30°，
∴∠A=30°.
故答案为：C.
【分析】过点E作EG∥CD，利用在同一个平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EG，利用平行线的性质可推出∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG；然后利用∠AEG=∠AEC-∠CEG，代入计算求出∠A的度数.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°；
∵AC∥EF，
∴∠1=∠A=60°.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.
4．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD ， AD//BC ，
∴∠BAE=∠AFD ， ∠DAF=∠AEB ，
∵AF 为 ∠BAD 的角平分线，
∴∠BAE=∠EAD ，
∴∠AFD=∠EAD ， ∠BAE=∠AEB ， ∠CEF=∠CFE ，
∴△ABE ， △ADF ， △CEF 都是等腰三角形，
又 ∵AB=6 ， AD=9 ，
∴AB=BE=6 ， AD=DF=9 ，
∴CE=CF=3 .
∵BG⊥AE ， BG=42 ，
由勾股定理可得： AG=AB2-BG2=2 ，
∴AE=4 ，
∵AB//CD ，
∴△ABE ∽ △FCE .
∴CEBE=EFAE=12 ，
∴EF=2 ，
∴△EFC 的周长 =EF+FC+CE=8 .
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，由平行线的性质可得∠BAE=∠AFD，∠DAF=∠AEB，根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAD，推出△ABE、△ADF、△CEF都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得AB=BE=6，AD=DF=9，则CE=CF=3，然后利用勾股定理求出AG，证明△ABE∽△FCE，根据相似三角形的性质可得EF，据此不难求出△EFC的周长.
5．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵m//n ，
∴∠ACB=∠1=70° ，
∵AB=BC ，
∴∠BAC=∠ACB=70° ，
∵CD⊥AB 于 D ，
∴∠ADC=90° ，
∴∠2=90°-∠DAC=90°-70°=20° .
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠ACB=∠1=70°，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠ACB=70°，然后根据∠2=90°-∠DAC进行计算.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
∵cosB= 14 ，
∴BH=1=12BE，
∴H是BE的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，
∴∠FAG=∠AFG，
∴AG=FG，
又∵PF∥AD， AP∥DF，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cos∠B=cos∠AGP=12PGAG=2-x2x=14，
解得x=83.
故答案为：B.
【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，cosB= 14 ，推出H是BE的中点，根据条件求出AG=FG， EG=GP，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出∠AGP=∠B，根据cos∠AGP=14建立方程，即可求出FG的长.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥EF于N，如图所示
∴Rt△ABC中，∠C=30°，BC=20，得AB=10
在Rt△ABM中，sin60°=AMAB，得AM=53
∵BC∥EF
∴DM=53
∵DF=DE，∠E=45°
∴EF=2EN=2DM=103
故答案为：B.
【分析】易得△ABC为30°的直角三角形，△DEF为45°的直角三角形，BC∥EF，易得BC边上的高和EF边上的高相等，先利用含30°角的直角三角形的性质求AB，再利用三角函数求高，最后根据等腰直角三角形的性质即可得出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵PB⊥l2，
∴l1与l2间的距离是线段PB的长度.
故答案为：B.
【分析】 从一条平行线上的任意一点，向另一条平行线作垂线， 垂线段的长度叫平行线间的距离，依此解答即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可得∠C＝∠ABC＝30°，根据等腰三角形的性质可得∠D＝∠CED，然后结合内角和定理进行计算.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过直角顶点添加直线b∥三角尺的斜边，
∴∠1=45°+60°=105°.
故答案为：D.
【分析】过直角顶点添加直线b∥三角尺的斜边，利用平行线性质可得∠1=45°+60°，计算即可求得∠1的度数.
11．【答案】233
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，
∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，
又∵BC=3，DE=1，
∴AB=13BC=3，AD=13DE=33，
∴BD=AB-AD=3-33=233.
故答案为：233.
【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出BD的长即可.
12．【答案】56°
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BED=34°，
∵BE⊥DF，
∴∠EBF=90°，
∴∠ABF=90°-34°=56°.
故答案为：56°.
【分析】根据平行线的性质得出∠ABE=∠BED=34°，根据垂线的性质得出∠EBF=90°，即可得出∠ABF=90°-34°=56°.
13．【答案】25°
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠EFC=120°，
∴∠A=180°-∠E-∠ABE=180°-35°-120°=25°.
故答案为：25°.
【分析】根据平行线的性质求出∠ABE的度数，再根据三角形内角和定理求∠A，即可解答.
14．【答案】30°
【解析】【解答】解：∵∠C＝60°，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝30°，
故答案为：30°.
【分析】由二直线平行，内错角相等可得∠BAC＝∠C＝60°，利用∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC即可求解.
15．【答案】214
【解析】【解答】解：∵AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，
∴∠DAE=∠DAB，∠DAB=∠EDA，
∴∠DAE=∠EDA，
∴AE=DE，
又∵DE=3，CE=4，
∴AC=3+4=7，
∵DE∥AB，
∴CE：CA=ED：AB，即4：7=3：AB，
∴AB=214.
【分析】由角平分线定义和平行线性质可推出∠DAE=∠EDA，从而得AE=DE，再由DE=3，CE=4可得AC=7，再由平行线分线段成比例，即CE：CA=ED：AB，代入数据即可求得AB的长.
16．【答案】23
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BD于F，设BF=a，
Rt△ABF中，tan∠ABF=2，则AF=2a，AB=AF2+BF2=5a，
Rt△ABD中，tan∠ABD=2，则AD=25a，BD=AB2+AD2=5a，
∵ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
又∵∠AFB=∠CED=90°，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE=a，
∴EF=BD-BF-DE=3a，
Rt△AFE中，tan∠AEF=AFEF=23.
故答案为：23；
【分析】过点A作AF⊥BD于F，设BF=a，根据三角函数的概念可得AF，AD，利用勾股定理可得AB、BD，根据矩形以及平行线的性质可得∠ABF=∠CDE，证明△ABF≌△CDE，得到BF=DE=a，则EF=BD-BF-DE=3a，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．【答案】30
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠CAB+∠ACB＋∠1=180°，
又∵∠1=30°，∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠2+30°+90°＋30°=180°，
∴∠2=30°.
故答案为：30.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补得∠2+∠CAB+∠ACB＋∠1=180°，易知∠1、∠CAB与∠ACB的度数，再代入数据计算即可求得∠2的度数.
18．【答案】125；0
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠DFE=60°，
由折叠的性质得∠HEK=∠BEF=60°，
∴∠AEH=60°，
∴∠EHK=60°，∠AHE=30°，
∴△EHK是等边三角形，HE=2AE，
∴HK=HE=2AE，
∵AE+EH+HK=AB=12，
∴5AE=12，
∴AE=125，
∴AH=EH2-AE2=1235，
∴AD的取值范围为0＜AD＜1235.
故答案为：125；0＜AD＜1235.
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质得出∠HEK=∠BEF=∠EHK=60°，得出∠AHE=30°，△EHK是等边三角形，从而得出HK=HE=2AE，再根据AE+EH+HK=AB=12，求出AE的长，再根据勾股定理求出AH的长，即可得出答案.
19．【答案】2x + y =180
【解析】【解答】解：∵光线m与镜面α的夹角的度数为x，
∴光线n与镜面α的夹角的度数为x，
∵α，β是两面互相平行的平面镜，
∴光线n与镜面β的夹角的度数为x，
∴光线k与镜面β的夹角的度数为x，
∵x+y+x=180°，
∴2x+y=180.
故答案为：2x+y=180.
【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线的性质得出光线n与镜面β的夹角的度数为x，光线k与镜面β的夹角的度数为x，根据平角定义得出x+y+x=180°，即可得出2x+y=180.
20．【答案】2x+y=180
【解析】【解答】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线n与镜面α夹角度数为x°，
∵α，β是两面互相平行的平面镜，
∴反射后的光线n与镜面β夹角度数也为x°，
又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线k与镜面β的夹角度数也为x°，
∴x°+x°+y°=180° ，
∴2x+y=180 .
故答案为：2x+y=180.
【分析】根据反射角=入射角结合平行线的性质可得反射后的光线n与镜面β夹角度数为x°，反射后的光线k与镜面β的夹角度数为x°，然后根据平角的概念进行解答.
21．【答案】（1）证明：∵BD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠CBD=∠EBD ．
∵DE∥BC ，
∴∠CBD=∠EDB ，
∴∠EBD=∠EDB ．
（2）解： CD=ED ．理由如下：
∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC ．
∵DE∥BC ，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC ，
∴∠ADE=∠AED ，
∴AD=AE ，
∴AC-AD=AB-AE ，即 CD=BE ．
由（1）得 ∠EBD=∠EDB ，
∴BE=ED ，
∴CD=ED
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.
（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.
22．【答案】（1）证明： ∵∠BAC=90° ，点 D 是边 BC 的中点，
∴AD=BD=12BC ，
∴∠B=∠DAB ，
∵∠ADE=∠B ，
∴∠ADE=∠BAD ，
∴DE//AB ；
（2）证明：过点 E 作 EF⊥CD ，垂足为 F ，设 DE 与 AC 交于点 G ，
∵∠BAC=90° ，点 D 是边 BC 的中点，
∴AD=CD=12BC ，
∵DE//AB ，
∴∠BAC=∠DGC=90° ， ∠B=∠EDC ，
∴DG 是 AC 的垂直平分线，
∴EA=EC ，
∵EA=ED ，
∴ED=EC ，
∴∠EDC=∠C ，
∵EF⊥CD ，
∴CF=12CD ，
∴∠C=∠B ，
∵cosB=14 ，
∴cosC=14 ，
在 Rt△EFC 中， cosC=CFCE=12CDCE=14 ，
∴CE=2CD ，
∴CD=2AD .
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=BD=12BC，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠DAB，由已知条件知∠ADE=∠B，则∠ADE=∠BAD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，设DE与AC交于点G， 根据平行线的性质可得∠BAC=∠DGC=90°，∠B=∠EDC，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，根据等腰三角形的性质可得EA=ED，则DE=EC，∠EDC=∠C，CF=12CD，∠B=∠C，根据三角函数的概念可得CE=2CD，据此证明.
23．【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵AC＝CE，
∴∠CAE=∠AEC，
∴∠BAE=∠AEC，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠C＝50°，∠CAE=∠AEC，
∴∠CAE+∠AEC+∠C＝2∠AEC +50°=180°，
∴∠AEC=65°，
∴∠AED=180°-∠AEC=180°-65°=115°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠CAE=∠BAE，根据等腰三角形的性质可得∠CAE=∠AEC，推出∠BAE=∠AEC，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）根据内角和定理可得∠CAE+∠AEC+∠C＝2∠AEC +50°=180°，求出∠AEC的度数，然后根据邻补角的性质进行计算.
24．【答案】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D
∵AE=AF，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC ，
∴∠AEB=∠EAD=90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△AFD中，DF=2，
∴AD=4，
∴AF=AD2-DF2=42-22=23 ，
∵AD=CD=4，
∴菱形ABCD面积=AD×CD=23×4=83
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠AEB=∠AFD=90°，根据平行四边形的性质可得∠B=∠D，由已知条件知AE=AF，证明△ABE≌△ADF，得到AB=AD，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2） 根据菱形以及平行线的性质可得∠AEB=∠EAD=90°，则∠DAF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2DF=4，利用勾股定理求出AF，然后根据S菱形ABCD=AF×CD进行计算.
25．【答案】（1）证明：如图，
由题意可知，MN∥CD，
∴∠1=∠3.
由折叠可知，∠1=∠2，PC=PE，
∴∠2=∠3.
∴FE=PE.
∴EF=PC；
（2）解：由题意可知，BN=12BC=12BE，MN⊥BC，
在Rt△BNE中，sin∠4=BNBE=12，
∴∠4=30°.
∴∠EBN=60°.
由折叠可知，∠5=12∠EBN=30°，
∴在Rt△BCP中，cos∠5=BCBP=32.
∵BC=3，
∴BP=23⋅BC=23.
【解析】【分析】（1）对图形进行点标注，由题意可知MN∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠3，由折叠的性质可得∠1=∠2，PC=PE，则∠2=∠3，推出FE=EP，据此证明；
（2）由题意可知BN=12BC=12BE，MN⊥BC，求出sin∠A的度数，可得∠A=30°，则∠EBN=60°，根据折叠的性质可得∠5=12∠EBN=30°，然后根据三角函数的概念进行计算.
26．【答案】（1）证明：∵AD// BC，
∴∠ACB=∠CAD，又
∵∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△DCA.
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AB// DC，
∴∠DAE=∠AEB，∠C+∠B=180°，
又∵∠AED+∠C=180°，
∴∠AED=∠B，
∴△ABE∽△DEA
∴BEAE=AEAD
∵BE=2，EC=4，
∴AD=BC=6，
∴AE2=BE⋅AD=12，
∴AE=23
（3）解：如图，延长FE交AB于点G，
∵EF//AD，
∴∠DFE=∠C，
∵AG// DF，
∴四边形AGFD为平行四边形，
∴AG=DF，AD=GF，由(2)可知﹐△AGE∽△DEA，
∴AEGE=ADAE=DEAG
∵AD=2EF
∴AE2=GE⋅AD=AD22
即 AD=2AE ，
∴CD=AD=2AE=32
∴AG=DF=32-1
∴DE=2AG=2DF=6-2
【解析】【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，即可得∠ACB=∠CAD，根据两组对应角相等，两三角形相似，即可证明两三角形相似；
（2）由平行四边形邻角互补得∠C与∠B互补，根据同角的补角相等得∠AED=∠B，利用二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠AEB根据两组对应角相等，两三角形相似，即可证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，即可解决问题；
（3）延长FE交AB于点G，可得类似（2）中的图形，利用线段的和差AG=DF=CD-FC=AD-FC=2EF-1，以及对应边成比例，即可解决问题
第13讲 平行线与相交线 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
一、单选题
1．（2022·台州）如图，已知∠1=90° ，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠2=90° B．∠3=90° C．∠4=90° D．∠5=90°
2．（2022·杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE．若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．（2022·绍兴）如图，把一块三角板 ABC 的直角顶点B放在直线 EF 上， ∠C=30° ，AC∥EF，则 ∠1= （ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（2022·桐乡模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中， ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E ，交 DC 的延长线于点 F ，作 BG⊥AE 于 G ，若 AB=6 ， AD=9 ， BG=42 ，则 △EFC 的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2022·江干模拟）如图，直线 m//n ，点 A 在直线 m 上，点 B ， C 在直线 n 上， AB=BC ， ∠1=70° ， CD⊥AB 于 D ，那么 ∠2 等于（ ）
A．20° B．30° C．32° D．25°
6．（2022·丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ 14 ，则FG的长是（ ）
A．3 B．83 C．2153 D．52
7．（2022·宁波模拟）两个直角三角板如图摆放， 其中 ∠BAC=∠EDF=90∘，∠E=45∘，∠C=30∘ . 若 BC//EF 且 EF 过点 A ， 点 D 为 BC 中点， 已知 BC=20 ， 则 EF 的长为( )
A．15 B．103 C．510 D．102
8．（2022·杭州模拟）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A，B，C，D在l2上，且PB⊥l2，则l1与l2间的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
9．（2022·鹿城会考）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（ ）
A．85° B．75° C．65° D．30°
10．（2022·西湖模拟）如图，把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行，则 ∠1= （ ）
A．75° B．90° C．100° D．105°
二、填空题
11．（2022·嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
12．（2022·金东模拟）如图所示， AB∥CD ，点 E 在 CD 上， BE⊥DF ，垂足为 B ，已知 ∠BED=34° ，则 ∠ABF 的度数为 ．
13．（2022·宁波模拟）如图， AB∥CD ， EF 分别与 AB ， CD 交于点 B ， F .若 ∠E=35° ， ∠EFC=120° ，则 ∠A= .
14．（2022·舟山模拟）将一副含30°角和45°角的直角三角板按如图共顶点摆放，若AB∥CD，则∠CAE＝ .
15．（2022·秀洲模拟）如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，若DE=3，CE=4，则AB的值
16．（2022·椒江模拟）如图，BD是矩形ABCD 的对角线，CE⊥BD于点E，连接AE，已知tan∠ABD=2，则tan∠AEB = .
17．（2022·玉环模拟）如图，直线 a∥b ，将一块含 30° 角的直角三角板 ABC 按如图方式放置 (∠CAB=30°) ，其中一条直角边的两顶点 C，A 分别落在直线 a，b 上，若 ∠1=30° ，则 ∠2= 度．
18．（2022·仙居模拟）如图， 矩形纸条 ABCD 中， AB=12cm ， 把该纸条依次沿着互相平行的两条直线 EF ， HI对折得到“ Z "形图案. 已知 ∠DFE=60∘ ， 要使点 H ， 点 K 分别在 AD 和 EF 的延长线上(不与 D，F 重合)， 则 AE= ； AD 的取值范围是 .
19．（2022·仙居模拟） 根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线，反射光线与平面镜所夹的角相等。如图， α，β 是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面 α 反射后的光线为n，再通过镜面 β 反射后的光线为k，光线m与镜面 α 的夹角的度数为x，光线n与光线k的夹角的度数为y，则x与y之间的数量关系是 .
20．（2022·临海模拟）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等.如图，α，β是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k.光线m与镜面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°.则x与y之间的数量关系是 .
三、综合题
21．（2022·温州）如图， BD 是 △ABC的角平分线， DE∥BC ，交 AB 于点E．
（1）求证： ∠EBD=∠EDB ．
（2）当AB=AC时，请判断 CD 与ED的大小关系，并说明理由．
22．（2022·萧山模拟）如图， Rt△ABC 中， ∠BAC=90° ，点 D 是边 BC 的中点，以 AD 为底边在其右侧作等腰三角形 ADE ，使 ∠ADE=∠B ，连结 CE ，则：
（1）求证： DE//AB ；
（2）若 cosB=14 ，求证： CE=2AD .
23．（2022·瑞安模拟）如图，AE平分∠BAC， AC＝CE.
（1）求证：AB∥CD.
（2）若∠C＝50°，求∠AED的度数.
24．（2022·龙游会考）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且AE=AF.
（1）求证：▱ABCD是菱形.
（2）若∠EAF=60°，DF=2，求平行四边形ABCD的面积.
25．（2022·路桥模拟）如图，对折正方形纸片ABCD，使AB与DC重合，折痕为MN.将纸片展平，再进行折叠，使点C落在MN上的点E处，折痕BP交MN于点F.
（1）求证：EF=PC；
（2）若正方形纸片ABCD的边长为3，求折痕BP的长.
26．（2022·宁波模拟）如图
（1）【基础巩固】
如图①， 在四边形 ABCD 中， AD//BC，∠ACD=∠B ， 求证： △ABC∼△DCA ；
（2）【尝试应用】
如图②， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 在 BC 上， ∠AED 与 ∠C 互补， BE=2，EC=4 ， 求 AE 的长；
（3）【拓展提高】
如图③， 在菱形 ABCD 中， E 为其内部一点， ∠AED 与 ∠C 互补， 点 F 在 CD 上， EF//AD ， 且 AD=2EF ， AE=3，CF=1 ， 求 DE 的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵两条铁轨平行，
∴∠1=∠4=90°，
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，同位角相等，可知添加的条件为∠4=90°.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG，
∵∠AEG=∠AEC-∠CEG=50°-20°=30°，
∴∠A=30°.
故答案为：C.
【分析】过点E作EG∥CD，利用在同一个平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EG，利用平行线的性质可推出∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG；然后利用∠AEG=∠AEC-∠CEG，代入计算求出∠A的度数.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°；
∵AC∥EF，
∴∠1=∠A=60°.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.
4．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD ， AD//BC ，
∴∠BAE=∠AFD ， ∠DAF=∠AEB ，
∵AF 为 ∠BAD 的角平分线，
∴∠BAE=∠EAD ，
∴∠AFD=∠EAD ， ∠BAE=∠AEB ， ∠CEF=∠CFE ，
∴△ABE ， △ADF ， △CEF 都是等腰三角形，
又 ∵AB=6 ， AD=9 ，
∴AB=BE=6 ， AD=DF=9 ，
∴CE=CF=3 .
∵BG⊥AE ， BG=42 ，
由勾股定理可得： AG=AB2-BG2=2 ，
∴AE=4 ，
∵AB//CD ，
∴△ABE ∽ △FCE .
∴CEBE=EFAE=12 ，
∴EF=2 ，
∴△EFC 的周长 =EF+FC+CE=8 .
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，由平行线的性质可得∠BAE=∠AFD，∠DAF=∠AEB，根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAD，推出△ABE、△ADF、△CEF都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得AB=BE=6，AD=DF=9，则CE=CF=3，然后利用勾股定理求出AG，证明△ABE∽△FCE，根据相似三角形的性质可得EF，据此不难求出△EFC的周长.
5．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵m//n ，
∴∠ACB=∠1=70° ，
∵AB=BC ，
∴∠BAC=∠ACB=70° ，
∵CD⊥AB 于 D ，
∴∠ADC=90° ，
∴∠2=90°-∠DAC=90°-70°=20° .
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠ACB=∠1=70°，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠ACB=70°，然后根据∠2=90°-∠DAC进行计算.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
∵cosB= 14 ，
∴BH=1=12BE，
∴H是BE的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，
∴∠FAG=∠AFG，
∴AG=FG，
又∵PF∥AD， AP∥DF，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cos∠B=cos∠AGP=12PGAG=2-x2x=14，
解得x=83.
故答案为：B.
【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，cosB= 14 ，推出H是BE的中点，根据条件求出AG=FG， EG=GP，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出∠AGP=∠B，根据cos∠AGP=14建立方程，即可求出FG的长.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥EF于N，如图所示
∴Rt△ABC中，∠C=30°，BC=20，得AB=10
在Rt△ABM中，sin60°=AMAB，得AM=53
∵BC∥EF
∴DM=53
∵DF=DE，∠E=45°
∴EF=2EN=2DM=103
故答案为：B.
【分析】易得△ABC为30°的直角三角形，△DEF为45°的直角三角形，BC∥EF，易得BC边上的高和EF边上的高相等，先利用含30°角的直角三角形的性质求AB，再利用三角函数求高，最后根据等腰直角三角形的性质即可得出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵PB⊥l2，
∴l1与l2间的距离是线段PB的长度.
故答案为：B.
【分析】 从一条平行线上的任意一点，向另一条平行线作垂线， 垂线段的长度叫平行线间的距离，依此解答即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可得∠C＝∠ABC＝30°，根据等腰三角形的性质可得∠D＝∠CED，然后结合内角和定理进行计算.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过直角顶点添加直线b∥三角尺的斜边，
∴∠1=45°+60°=105°.
故答案为：D.
【分析】过直角顶点添加直线b∥三角尺的斜边，利用平行线性质可得∠1=45°+60°，计算即可求得∠1的度数.
11．【答案】233
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，
∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，
又∵BC=3，DE=1，
∴AB=13BC=3，AD=13DE=33，
∴BD=AB-AD=3-33=233.
故答案为：233.
【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出BD的长即可.
12．【答案】56°
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BED=34°，
∵BE⊥DF，
∴∠EBF=90°，
∴∠ABF=90°-34°=56°.
故答案为：56°.
【分析】根据平行线的性质得出∠ABE=∠BED=34°，根据垂线的性质得出∠EBF=90°，即可得出∠ABF=90°-34°=56°.
13．【答案】25°
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠EFC=120°，
∴∠A=180°-∠E-∠ABE=180°-35°-120°=25°.
故答案为：25°.
【分析】根据平行线的性质求出∠ABE的度数，再根据三角形内角和定理求∠A，即可解答.
14．【答案】30°
【解析】【解答】解：∵∠C＝60°，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝30°，
故答案为：30°.
【分析】由二直线平行，内错角相等可得∠BAC＝∠C＝60°，利用∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC即可求解.
15．【答案】214
【解析】【解答】解：∵AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，
∴∠DAE=∠DAB，∠DAB=∠EDA，
∴∠DAE=∠EDA，
∴AE=DE，
又∵DE=3，CE=4，
∴AC=3+4=7，
∵DE∥AB，
∴CE：CA=ED：AB，即4：7=3：AB，
∴AB=214.
【分析】由角平分线定义和平行线性质可推出∠DAE=∠EDA，从而得AE=DE，再由DE=3，CE=4可得AC=7，再由平行线分线段成比例，即CE：CA=ED：AB，代入数据即可求得AB的长.
16．【答案】23
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BD于F，设BF=a，
Rt△ABF中，tan∠ABF=2，则AF=2a，AB=AF2+BF2=5a，
Rt△ABD中，tan∠ABD=2，则AD=25a，BD=AB2+AD2=5a，
∵ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
又∵∠AFB=∠CED=90°，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE=a，
∴EF=BD-BF-DE=3a，
Rt△AFE中，tan∠AEF=AFEF=23.
故答案为：23；
【分析】过点A作AF⊥BD于F，设BF=a，根据三角函数的概念可得AF，AD，利用勾股定理可得AB、BD，根据矩形以及平行线的性质可得∠ABF=∠CDE，证明△ABF≌△CDE，得到BF=DE=a，则EF=BD-BF-DE=3a，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．【答案】30
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠CAB+∠ACB＋∠1=180°，
又∵∠1=30°，∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠2+30°+90°＋30°=180°，
∴∠2=30°.
故答案为：30.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补得∠2+∠CAB+∠ACB＋∠1=180°，易知∠1、∠CAB与∠ACB的度数，再代入数据计算即可求得∠2的度数.
18．【答案】125；0
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠DFE=60°，
由折叠的性质得∠HEK=∠BEF=60°，
∴∠AEH=60°，
∴∠EHK=60°，∠AHE=30°，
∴△EHK是等边三角形，HE=2AE，
∴HK=HE=2AE，
∵AE+EH+HK=AB=12，
∴5AE=12，
∴AE=125，
∴AH=EH2-AE2=1235，
∴AD的取值范围为0＜AD＜1235.
故答案为：125；0＜AD＜1235.
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质得出∠HEK=∠BEF=∠EHK=60°，得出∠AHE=30°，△EHK是等边三角形，从而得出HK=HE=2AE，再根据AE+EH+HK=AB=12，求出AE的长，再根据勾股定理求出AH的长，即可得出答案.
19．【答案】2x + y =180
【解析】【解答】解：∵光线m与镜面α的夹角的度数为x，
∴光线n与镜面α的夹角的度数为x，
∵α，β是两面互相平行的平面镜，
∴光线n与镜面β的夹角的度数为x，
∴光线k与镜面β的夹角的度数为x，
∵x+y+x=180°，
∴2x+y=180.
故答案为：2x+y=180.
【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线的性质得出光线n与镜面β的夹角的度数为x，光线k与镜面β的夹角的度数为x，根据平角定义得出x+y+x=180°，即可得出2x+y=180.
20．【答案】2x+y=180
【解析】【解答】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线n与镜面α夹角度数为x°，
∵α，β是两面互相平行的平面镜，
∴反射后的光线n与镜面β夹角度数也为x°，
又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线k与镜面β的夹角度数也为x°，
∴x°+x°+y°=180° ，
∴2x+y=180 .
故答案为：2x+y=180.
【分析】根据反射角=入射角结合平行线的性质可得反射后的光线n与镜面β夹角度数为x°，反射后的光线k与镜面β的夹角度数为x°，然后根据平角的概念进行解答.
21．【答案】（1）证明：∵BD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠CBD=∠EBD ．
∵DE∥BC ，
∴∠CBD=∠EDB ，
∴∠EBD=∠EDB ．
（2）解： CD=ED ．理由如下：
∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC ．
∵DE∥BC ，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC ，
∴∠ADE=∠AED ，
∴AD=AE ，
∴AC-AD=AB-AE ，即 CD=BE ．
由（1）得 ∠EBD=∠EDB ，
∴BE=ED ，
∴CD=ED
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.
（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.
22．【答案】（1）证明： ∵∠BAC=90° ，点 D 是边 BC 的中点，
∴AD=BD=12BC ，
∴∠B=∠DAB ，
∵∠ADE=∠B ，
∴∠ADE=∠BAD ，
∴DE//AB ；
（2）证明：过点 E 作 EF⊥CD ，垂足为 F ，设 DE 与 AC 交于点 G ，
∵∠BAC=90° ，点 D 是边 BC 的中点，
∴AD=CD=12BC ，
∵DE//AB ，
∴∠BAC=∠DGC=90° ， ∠B=∠EDC ，
∴DG 是 AC 的垂直平分线，
∴EA=EC ，
∵EA=ED ，
∴ED=EC ，
∴∠EDC=∠C ，
∵EF⊥CD ，
∴CF=12CD ，
∴∠C=∠B ，
∵cosB=14 ，
∴cosC=14 ，
在 Rt△EFC 中， cosC=CFCE=12CDCE=14 ，
∴CE=2CD ，
∴CD=2AD .
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=BD=12BC，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠DAB，由已知条件知∠ADE=∠B，则∠ADE=∠BAD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，设DE与AC交于点G， 根据平行线的性质可得∠BAC=∠DGC=90°，∠B=∠EDC，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，根据等腰三角形的性质可得EA=ED，则DE=EC，∠EDC=∠C，CF=12CD，∠B=∠C，根据三角函数的概念可得CE=2CD，据此证明.
23．【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵AC＝CE，
∴∠CAE=∠AEC，
∴∠BAE=∠AEC，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠C＝50°，∠CAE=∠AEC，
∴∠CAE+∠AEC+∠C＝2∠AEC +50°=180°，
∴∠AEC=65°，
∴∠AED=180°-∠AEC=180°-65°=115°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠CAE=∠BAE，根据等腰三角形的性质可得∠CAE=∠AEC，推出∠BAE=∠AEC，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）根据内角和定理可得∠CAE+∠AEC+∠C＝2∠AEC +50°=180°，求出∠AEC的度数，然后根据邻补角的性质进行计算.
24．【答案】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D
∵AE=AF，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC ，
∴∠AEB=∠EAD=90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△AFD中，DF=2，
∴AD=4，
∴AF=AD2-DF2=42-22=23 ，
∵AD=CD=4，
∴菱形ABCD面积=AD×CD=23×4=83
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠AEB=∠AFD=90°，根据平行四边形的性质可得∠B=∠D，由已知条件知AE=AF，证明△ABE≌△ADF，得到AB=AD，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2） 根据菱形以及平行线的性质可得∠AEB=∠EAD=90°，则∠DAF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2DF=4，利用勾股定理求出AF，然后根据S菱形ABCD=AF×CD进行计算.
25．【答案】（1）证明：如图，
由题意可知，MN∥CD，
∴∠1=∠3.
由折叠可知，∠1=∠2，PC=PE，
∴∠2=∠3.
∴FE=PE.
∴EF=PC；
（2）解：由题意可知，BN=12BC=12BE，MN⊥BC，
在Rt△BNE中，sin∠4=BNBE=12，
∴∠4=30°.
∴∠EBN=60°.
由折叠可知，∠5=12∠EBN=30°，
∴在Rt△BCP中，cos∠5=BCBP=32.
∵BC=3，
∴BP=23⋅BC=23.
【解析】【分析】（1）对图形进行点标注，由题意可知MN∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠3，由折叠的性质可得∠1=∠2，PC=PE，则∠2=∠3，推出FE=EP，据此证明；
（2）由题意可知BN=12BC=12BE，MN⊥BC，求出sin∠A的度数，可得∠A=30°，则∠EBN=60°，根据折叠的性质可得∠5=12∠EBN=30°，然后根据三角函数的概念进行计算.
26．【答案】（1）证明：∵AD// BC，
∴∠ACB=∠CAD，又
∵∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△DCA.
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AB// DC，
∴∠DAE=∠AEB，∠C+∠B=180°，
又∵∠AED+∠C=180°，
∴∠AED=∠B，
∴△ABE∽△DEA
∴BEAE=AEAD
∵BE=2，EC=4，
∴AD=BC=6，
∴AE2=BE⋅AD=12，
∴AE=23
（3）解：如图，延长FE交AB于点G，
∵EF//AD，
∴∠DFE=∠C，
∵AG// DF，
∴四边形AGFD为平行四边形，
∴AG=DF，AD=GF，由(2)可知﹐△AGE∽△DEA，
∴AEGE=ADAE=DEAG
∵AD=2EF
∴AE2=GE⋅AD=AD22
即 AD=2AE ，
∴CD=AD=2AE=32
∴AG=DF=32-1
∴DE=2AG=2DF=6-2
【解析】【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，即可得∠ACB=∠CAD，根据两组对应角相等，两三角形相似，即可证明两三角形相似；
（2）由平行四边形邻角互补得∠C与∠B互补，根据同角的补角相等得∠AED=∠B，利用二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠AEB根据两组对应角相等，两三角形相似，即可证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，即可解决问题；
（3）延长FE交AB于点G，可得类似（2）中的图形，利用线段的和差AG=DF=CD-FC=AD-FC=2EF-1，以及对应边成比例，即可解决问题
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