专题16 平行线与相交线 2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用）

这是一份专题16 平行线与相交线 2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

专题16 平行线与相交线 2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用）
一、单选题
1．（2022·朝阳模拟）如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠1的度数等于（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
2．（2022·朝阳模拟）如图，∠1=∠2，∠D=50°，则∠B的度数为（　　）

A．50° B．40° C．100° D．130°
3．（2021七上·石景山期末）如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（　　）

A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PM的长度 D．线段PH的长度
4．（2021八上·东城期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．若∠A=30°，∠BDC=50°，则∠BDE的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．50°
5．（2021八上·朝阳期末）点P在∠AOB的平分线上（不与点O重合），PC⊥OA于点C，D是OB边上任意一点，连接PD．若PC=3，则下列关于线段PD的说法一定正确的是（　　）
A．PD=PO B．PD＜3
C．存在无数个点D使得PD=PC D．PD≥3
6．（2022·门头沟模拟）如图， AB∥CD ．点E在直线 AB 上，点F在直线 CD 上，过点E作 GE⊥EF 于E，如果 ∠GEB=120° ，那么 ∠EFD 的大小为（）

A．60° B．50° C．40° D．30°
7．（2022·平谷模拟）如图，直线AB∥CD，点F是CD上一点，∠EFG＝90°，EF交AB于M，若∠CFG＝35°，则∠AME的大小为（　　）

A．35° B．55° C．125° D．130°
8．（2022·顺义模拟）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．140°
9．（2022七下·海淀期末）如图，直线AB∥CD，CB平分∠ACD，∠1=50°，则∠2的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
10．（2022·昌平模拟）如图，⊙O的直径AB⊥CD，垂足为E，∠A=30°，连接CO并延长交⊙O于点F，连接FD，则∠CFD的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
二、填空题
11．（2021七上·延庆期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上．在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是　 　，理由是　 　．

12．（2021七上·通州期末）如图，从人行横道线上的点P处过马路，下列线路中最短的是线路　 　，理由是　 　．

13．（2021八上·怀柔期末）在平面直角坐标系xOy中，点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称．
（1）当t =-3时，点N的坐标为　 　；
（2）以MN为底边作等腰三角形MNP．
①当t =1且直线MP经过原点O时，点P坐标为　 　；
②若△MNP上所有点到x轴的距离都不小于a(a是正实数)，则t的取值范围是　 　(用含a的代数式表示)
14．（2021七上·昌平期末）如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD几条线段，其中只有线段PC与直线l垂直．这几条线段中，　 　的长度最短．

15．（2021七上·密云期末）∠AOB的大小可由量角器测得（如图所示），则∠AOB的补角的大小为　 　度．

16．（2021七上·房山期末）如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：

画法：如图，
⑴连接AB；
⑵过点A画线段AC⊥直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．

请回答：工人师傅的画图依据是　 　．
17．（2021八上·石景山期末）如图，点D是∠AOB的平分线OC上一点，过点D作DE∥OB交射线OA于点E，则线段DE与OE的数量关系为：DE　 　OE（填“＞”或“＝”或“＜”）．

18．（2021九上·燕山期末）下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是　 　．
①②③④
19．（2021九上·丰台期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径AB延长线上一点，且AB∥DC，若∠A=70°，则∠CBE的度数为　 　．

20．（2022七下·通州期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，请你写出一个能使AB∥CD成立的条件：　 　．（只写一个即可，不添加任何字母或数字）

三、综合题
21．（2022·朝阳模拟）已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．

（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；
（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，交BE于M，求证：BM＝12BE；
（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC的中点G，连接BE，N为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．
22．（2021八上·门头沟期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．

（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，AD=23，求AE的长．
23．（2021八上·延庆期末）尺规作图：
已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ∥MN．

小智的作图思路如下：
①如何得到两条直线平行？
小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．
②如何得到两个角相等？
小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．
③画出示意图：

④根据示意图，确定作图顺序．

（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （ ① ）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQ∥MN （ ② ）．
（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）

24．（2022·朝阳模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB=60°，BC
（1）求作∠PBC，使得∠PBC=30°且点P在AC上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB=42，∠A=45°，求AC的长度．
25．（2021九上·朝阳期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．
已知点N（3，0），A（1，0），B(0，3)，C(3，-1)．

（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
26．（2022·海淀模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D为AC的中点，⊙O的切线DE交OC延长线于点E．

（1）求证：DE；
（2）连接BD交AC于点P，若AC=8，cosA=45，求DE和BP的长．
27．（2021七上·燕山期末）如图，已知∠MON＝60°，点A在射线OM上，点B在射线ON下方．请选择合适的画图工具按要求画图并回答问题．（要求：不写画法，保留画图痕迹）

（1）过点A作直线l，使直线l只与∠MON的一边相交；
（2）在射线ON上取一点C，使得OC＝OA，连接AC，度量∠OAC的大小为 　 　°；（精确到度）
（3）在射线ON上作一点P，使得AP＋BP最小，作图的依据是　 　．
28．（2021八上·丰台期末）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．

求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP和△ANP中，
∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ ▲ =∠ ▲ .
∵∠ABC=90°，
∴DB⊥AB.
∵DE⊥AC，
∴DB=DE（ ▲ ）．
29．（2022七下·丰台期末）阅读下列材料：
如图1，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF．用等式表示∠AEP，∠EPF与∠CFP的数量关系．
小刚通过观察，实验，提出猜想：∠EPF=∠AEP+∠CFP．
接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：
过点P作PM∥AB，由AB∥CD，可得PM∥CD，根据平行线的性质，可得∠1=∠AEP，∠2=∠CFP，从而证得∠EPF=∠AEP+∠CFP．

请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．
已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF．
（1）如图2，若∠AEP=45°，∠EPF=80°，则∠PFD的度数为　 　；

（2）如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系，并证明；

（3）如图4，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，直接用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系．

30．（2021九上·平谷期末）如图，∠MAN=45°，B是射线AN上一点，过B作BC⊥AM于点C，点D是BC上一点，作射线AD，过B作BE⊥AD于点E，连接CE．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠CAE=∠DBE；
（3）用等式表示线段CE、BE、AE的数量关系，并证明．

答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，

∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠BAC＝140°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝12∠BAC＝70°，
故答案为：B．

【分析】根据折叠的性质和平行线的性质解决问题即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】∵∠2=∠DFA，∠1=∠2，
∴∠1=∠DFA，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠D=50°，
∴∠B=130°，
故答案为：D

【分析】先证明AB∥CD，再根据平行线的性质求出∠B。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：
过点P作PH⊥AB于点H，PH的长就是该运动员的跳远成绩，
故答案为：D．
【分析】根据所给的图片，求出运动员跳远成绩即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC＝20°，
故答案为：B．

【分析】先利用三角形的外角的性质求出∠ABD＝∠BDC−∠A，再根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD＝20°，最后利用平行线的性质可得∠EDB=∠DBC＝20°。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，PC=3，
∴点P到OB的距离为3，
∵点D是OB边上的任意一点，根据垂线段最短，
∴PD≥3．
故答案为：D．

【分析】根据角平分线的性质可得：角平分线上的点到角两边的距离相等，再利用垂线段最短的性质可得答案为3.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠GEB=120°，
∴∠GEA=180°-∠GEB=60°，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴∠AEF=30°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠AEF=30°
故答案为：D
【分析】先利用邻补角的性质求出∠AEG=60°，再求出∠AEF=30°，再根据平行线的性质可得∠EFD=∠AEF=30°。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠EFG=90°，∠CFG=35°，
∴∠CFE=∠EFG-∠CFG=55°，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠CFE=55°，
故答案为：B．
【分析】先求出∠CFE的度数，再利用平行线的性质可得∠AME=∠CFE=55°。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图可得：∠1+∠3+90°=180° ，
∴∠3=50° ，
∵a∥b ，
∴∠2=∠3=50° （两直线平行同位角相等）．

故答案为：B．

【分析】因为两线平行，同位角相等，可知∠2=∠3，而∠1与∠3互余，即可得到答案
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=50°，
∴∠BCD=∠1=50°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠2=∠BCD=50°，
故答案为：A．

【分析】先利用平行线的性质可得∠BCD=∠1=50°，再利用角平分线的定义可得∠2=∠BCD=50°。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠BOC=∠OCA+∠A=60°，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF=90°，即FD⊥CD，
又∵AB⊥CD，
∴AB∥DF，
∴∠CFD=∠BOC =60°．
故答案为：C．

【分析】先求出∠BOC=∠OCA+∠A=60°，再利用平行线的性质可得∠CFD=∠BOC =60°。
11．【答案】PC；垂线段最短
【解析】【解答】解：∵PC⊥AD，PA，PB，PD都不垂直于AD，
∴由垂线段最短可得，最短的线段是PC，
理由是：垂线段最短．
故答案为：PC；垂线段最短．

【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
12．【答案】PC；垂线段最短
【解析】【解答】解：∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴从人行横道线上的点P处过马路，线路最短的是PC，
故答案为：PC．
【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，求解即可。
13．【答案】（1）(2，-1)
（2）(-2，1)；t≥a+2或t≤-a-2
【解析】【解答】（1）过点(0，t)且垂直于y轴的直线解析式为y=t
∵点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称
∴可以设N点坐标为（2，n），且MN中点在y=t上
∴n+t-22=t，记得n=t+2
∴点N坐标为(2，t+2)
∴当t =-3时，点N的坐标为(2，-1)
（2）①∵以MN为底边作等腰三角形MNP，且点M(2，t-2)与点N直线y=t对称．
∴点P在直线y=t上，且P是直线OM与y=1的交点
当t =1时M(2，-1)，N(2，3)
∴OM直线解析式为y=-12x
∴当y=1时1=-12x，x=-2
∴P点坐标为(-2，1)
②由题意得，点M坐标为(2，t-2)，点N坐标为(2，t+2)，点P坐标为(P，t)
∵t-2 ∴只需要|t-2|≥a或者|t+2|≥a
当M、N、P都在x轴上方时，0 当△MNP上与x轴有交点时，此时△MNP上所有点到x轴的距离可以为0，不符合要求；
当M、N、P都在x轴下方时，t-2 综上t≥a+2或t≤-a-2
【分析】（1）先求出n+t-22=t，再求出点N坐标为(2，t+2)，最后求解即可；
（2）①先求出OM直线解析式为y=-12x，再求点的坐标即可；
②先求出|t-2|≥a或|t+2|≥a，再分类讨论计算求解即可。
14．【答案】PC
【解析】【解答】解：直线外一点P与直线l上各点连接的所有线段中，最短的是PC，依据是垂线段最短，
故答案为：PC．
【分析】根据垂线段最短，作答即可。
15．【答案】140
【解析】【解答】解：由题意，可得∠AOB＝40°，
则∠AOB的补角的大小为：180°−∠AOB＝140°．
故答案为：140．

【分析】根据量角器可得∠AOB＝40°，再利用补角的定义可得180°−∠AOB＝140°。
16．【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，
由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，
故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短．
【分析】根据题意作图，再根据两点之间，线段最短和垂线段最短求解即可。
17．【答案】＝
【解析】【解答】解：∵ED∥OB，
∴∠EDO=∠DOB，
∵D是∠AOB平分线OC上一点，
∴∠EOD=∠DOB，
∴∠EOD=∠EDO，
∴DE=OE，
故答案为：=．
【分析】先求出∠EDO=∠DOB，再求出∠EOD=∠EDO，最后求解即可。
18．【答案】②③④①
【解析】【解答】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②，
第二步：画出圆的一条直径，即画图③；
第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①，
故答案为：②③④①．

【分析】根据切线的性质，再利用尺规作图即可得出答案。
19．【答案】110°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=70°，
∴∠C=110°，
∵AB∥DC，
∴∠CBE=∠C=110°；
故答案为：110°．

【分析】首先利用平行线的性质求得∠C=110°，在利用圆内接四边形的性质求得答案即可。
20．【答案】∠1=∠B或∠2+∠B=180°或∠A+∠D=180°
【解析】【解答】解：当∠1=∠B或∠2+∠B=180°或∠A+∠D=180°时，AB∥CD，
故答案为：∠1=∠B或∠2+∠B=180°或∠A+∠D=180°．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
21．【答案】（1）解：如图1，过点B作BT⊥DA交DA延长线于T，

∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠ABC=45°，
∴DT∥BC，
∴∠BAT=∠ABC=45°，∠ADB=∠DBC=30°，
∵∠T=90°，AB=6，
∴BT=AT=32，
∴BD=2BT=62；
（2）证明：如图2，延长ED到R，使DR=DE，连接AR、BR，延长RB交CF的延长线于J，

∵∠ADE=90°，
∴AD⊥ER，
∵DR=DE，
∴AD垂直平分RE，
∴AR=AE，
∵AD=DR=DE，
∴∠RAE=∠BAC=90°，
∴∠RAB=∠EAC，
∵AR=AE，AB=AC，
∴△RAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABR=∠ACE，
∵∠ABR+∠ABJ=180°，
∴∠ACJ+∠ABJ=180°，
∴∠J+∠BAC=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠J=90°，
∵DF⊥CF，
∴∠DFC=∠J=90°，
∴DF∥RJ，
∴DERD=EMMB，
∵DE=DR，
∴EM=BM，
∴BM= 12BE；
（3）解：SΔANK=92+27510．
【解析】【解答】解：（3）取AB的中点Q，连接QN、QG，取QG的中点P，连接PA、PN、CE，

∵AB=AC，∠BAC=90°，点G为BC的中点，
∴∠AGC=∠AGB=90°，∠AEG=∠ACG=45°，AG=BG=CG，
∴A、G、E、C四点共圆，
∴∠AEC=∠AGC=90°，
∵BN=NE，BG=GC，BQ=AQ，
∴NG∥CE，QN∥AE，
∴∠QNG=∠AEC=90°，
∵GA=GB，AQ=QB，∠AGB=90°，
∴GQ=QA=QB=3，∠AQG=90°，
∴PQ=PG= 32，
∴NP= 12QG=32，AP=AQ2+QP2=352，
∵AN≤PA+PN，
∴当A、P、N三点共线时，AN最大，最大值为32+352，过点G作GM⊥AC于M，
∵PN=PG，
∴∠PNG=∠PGN，
∵BG=GC，BQ=AQ，
∴GQ∥AC，
∴∠PGN=∠AKN，
∴∠PNC=∠AKN，即∠ANK=∠AKN，
∴AK=AN=32+352，
∵∠AGC=90°，AG=GC，GM⊥AC，
∴GM=12AC=3，
∴SΔAGK=12×(32+352)×3=94+954，
∵PQ=PG，
∴S△APG=S△AQP=12·AQ·PQ=12×3×32=94，
∵SΔANGSΔAPG=ANAP=32+352352=55+1，
∴SΔANG=(55+1)×94=9520+94，
∴SΔANK=SΔANG+SΔAGK=92+27510．

【分析】（1） 过点B作BT⊥DA交DA延长线于T，证明 ∠BAT=∠ABC=45°， ∠ADB=∠DBC=30°， 求出BT，可得BD=2BT；
（2） 延长ED到R，使DR=DE，连接AR、BR，延长RB交CF的延长线于J， 证明△RAB≌△EAC（SAS），再证明DF∥RJ， 根据平行线分线段成比例定理可得DERD=EMMB， 可证BM= 12BE；
（3）取AB的中点Q，连接QN、QG，取QG的中点P，连接PA、PN、CE，先证明A、G、E、C四点共圆，再证明当A、P、N三点共线时，AN最大，最大值为32+352，过点G作GM⊥AC于M，再求出SΔAGK和SΔANG，即可求出SΔANK。
22．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD ＝∠ADE．
∴AE＝DE．
（2）解：过点D作DF⊥AB于F．

∵∠C ＝ 90°，AC＝3，AD=23，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC2+DC2=AD2．
∴DC=3．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝3．
又∵AD＝ AD，∠C ＝ ∠AFD ＝ 90°，
∴Rt△DAC ≌Rt△DAF．
∴AF＝AC＝3．
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 EF2+DF2=DE2．
设AE＝x，则DE＝x，EF=3-x，
∴(3-x)2+(3)2=x2，
∴x＝2．
∴AE＝2．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠CAD＝∠ADE，再求出∠CAD＝∠EAD，最后证明即可；
（2）利用勾股定理求出DC=3，再求出 Rt△DAC ≌Rt△DAF ，最后计算求解即可。
23．【答案】（1）解：如图1，PQ即为所求；

（2）解：证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （等边对等角）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQ∥MN （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行；
（3）解：如图2，PQ为所求．

【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质解决问题即可；
（3）根据要求作图即可。
24．【答案】（1）解：如图，∠PBC即为所求（过点B作BP⊥AC）

（2）解：如图，由（1）得∠APB=∠BPC=90°，

∵∠A=45°，
∴∠ABP=45°，
在Rt△ABP中，AP=BP=AB⋅sin45°=42×22=4，
在Rt△BPC中，∠PBC=30°，PC=BP⋅tan30°=4×33=433，
∴AC=AP+PC=4+433=12+433．
【解析】【分析】 （1）过点B作BP⊥AC于P即可；
（2）解直角三角形求出AP、PC即可。
25．【答案】（1）解：①B和C
②若0
点C到OD的最小值为CD=(3-a)2+12，最大值为OC=2，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴2(3-a)2+1=2，
解得：a=3；
若3
点C到OD的最小值为1，最大值为OC=2，满足题意；
若a>23时，如图所示：

点C到OD的最小值为1，最大值为CD=(a-3)2+12，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴2=(a-3)2+1，
解得：a=23（舍）；
若a<0时，如图所示：

点C到OD的最小值为OC=2，最大值为CD=(3-a)2+12，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴4=(3-a)2+1，
解得：a1=3-15或a2=3+15（舍），
综上所得：a的取值范围为3≤a≤23或a=3-15；
（2）13≤r<1或3 【解析】【解答】解：（1）①

∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，
点B到ON的最小值为OB=3，最大值为BN=32+(3)2=23，
∴点B是线段ON的“二分点”，
点C到ON的最小值为1，最大值为OC=(3)2+12=2，
∴点C是线段ON的“二分点”，
故答案为：B和C；
（2）

如图所示，设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)，
当0 ∴2(m-r)=m+r，即r=13m，
∵1≤m≤3，
∴13≤r≤1
∴13≤r<1；
当1 ∴∴2(r-m)=r+m，即r=3m，
∵1≤m≤3，
∴3≤r≤9，
∵1 ∴r不存在；
当1r时，最小值为：m-r，最大值为：m+r，
∴2(m-r)=m+r，即r=13m，
∴13≤r≤1，
∵1 ∴r不存在；
当r>3时，最小值为：r-m，最大值为：m+r，
∴2(r-m)=m+r，即r=3m，
∴3≤r≤9，
∵r>3，
∴3 综上所述，r的取值范围为13≤r<1或3
【分析】（1）①根据图示即可得出答案；②若023时，若a<0时，分三种情况讨论即可；
（2）当0r时，当r>3时，由此即可得出r的取值范围。
26．【答案】（1）证明：连接OD，

∵点D是AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE∥AC
（2）解：设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，

∵DE∥AC，
∴∠E=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
∴△ABC∽△EOD，
∴ODBC=DEAC，
∵cos∠BAC=ACAB=45，AC=8，
∴AB=10，
∴BC=AB2-AC2=6，OD=5，
∴56=DE8
∴DE=203，
∵OF=12BC=3，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵AF=12AC=4，
∴AD=AF2+DF2=25，
∴cos∠CAD=AFAD=425=25，
∴cos∠CBD=BCBP=6BP=25，
∴BP=35
【解析】【分析】（1）连接OD，因为OD和AC、DE均垂直，根据平行的判定可证明
（2）连接AD，构造直角三角形。证明三角形相似 △ABC∽△EOD ，根据cosA和勾股定理可知AF=CF=4，OA=5，OF=3，BC=6，利用相似线段比例关系式求出DE，在直角三角形△ADF中，用勾股定理求AD和cos∠CAD，因为∠CAD=∠CBD，利用余弦值就可以求出BP
27．【答案】（1）解：过点A作直线l如图所示：

（2）60
（3）两点之间，线段最短
【解析】【解答】（2）解：利用直尺先测量出OA长度，然后以点O为左端点，在射线ON上找出点C，连接AC，如图所示；
经过测量：∠OAC=60°，
故答案为：60；
（3）解：连接AB，与射线ON交于点P，即为所求，
依据两点之间线段最短确定，
故答案为：两点之间线段最短．

【分析】（1）过点A作直线l//ON即可；
（2）根据要求做出图形即可；
（3）连接AB，与射线ON交于点P，即为所求。
28．【答案】（1）解：补全的图形如下：

（2）解：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP和△ANP中，
∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠PAM=∠PAN．
∴∠ABC=90°，
∴DB⊥AB.
∵DE⊥AC，
∴DB=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：∠PAM，∠PAN，角的平分线上的点到角的两边的距离相等

【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明。
29．【答案】（1）解145°
（2）解：由（1）同理可得：∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，
∵∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，
∴∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，
∴∠EPF=2∠AEQ+2∠CQF=2(∠AEQ+∠CFQ)=2∠EQF，
（3）解：由（1）同理可得：
∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，∠EPF=∠BEP+∠DFP，
∵∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，
∴∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，
∴2∠EQF=2∠AEQ+2∠CFQ=∠AEP+∠CFP，
∴2∠EQF+∠EPF=∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°.
【解析】【解答】（1）解：如图，过点P作PM∥AB，
∴∠1=∠AEP

∵AB∥CD，PM∥AB，
∴PM∥CD，
∴∠2=∠CFP，
∴∠EPF=∠1+∠2=∠AEP+∠CFP．
∵∠AEP=45°，∠EPF=80°，
∴∠CFP=80°-45°=35°，
∴∠PFD=180°-35°=145°.

【分析】（1）由已知结论∠EPF=∠AEP+∠CFP，可求出答案；
（2）由已知结论得到∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，又因为EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，可得∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，所以∠EPF=2∠EQF；
（3）由已知结论和四边形内角和得到∠EPF与∠EQF的数量关系。
30．【答案】（1）解：依据题意补全图形；

（2）证明：∵BC⊥AM
∴∠ACB=90°
∠CAD+∠CDA=90°
∵ BE⊥AD
∴∠AEB=90°
∠EBD+∠EDB=90°
∵ ∠CDA=∠EDB
∴∠CAD=∠CBE
（3）解：结论：AE=2CE+BE
证明：过点C作CM⊥CE．

∵∠MAN=45°，BC⊥AM
∴AC=BC
∵∠ACB=∠ECM=90°
∴∠ACB-∠MCD=∠ECM-∠MCD
即∠ACM=∠ECB
又∵∠CAD=∠CBE
∴ △ACM≌△BCE
∴CE=CM，AM=BE
即△CME为等腰直角三角形
∴ME=2CE
∴AE=AM+ME=2CE+BE．
【解析】【分析】（1）根据题意补全图形；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠AEB=90°，再根据∠CDA=∠EDB，即可得出结论；
（3）过点C作CM⊥CE．再根据∠MAN=45°，BC⊥AM，得出AC=BC，再根据∠ACB=∠ECM=90°，得出∠ACM=∠ECB，再证出△CME为等腰直角三角形，即可得出结论