人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线授课课件ppt

7.2.2　单位圆与三角函数线

知识点1　单位圆与三角函数

(1)单位圆：在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合．

(2)三角函数与单位圆：角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，如图，

则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，

则角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α).

1.单位圆的圆心和半径分别是什么？

[提示]　单位圆的圆心在原点，半径为单位长度即半径等于1.

1.角的终边与单位圆的交点的坐标是________．

　[由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，

所以角的终边与单位圆的交点的坐标是.]

知识点2　三角函数线

(1)作图：①角α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.

②过A(1，0)作x轴的垂线，交角α的终边或其反向延长线于点T.

(2)图示：

(3)结论：向量，，分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．

2.(1)三角函数线的长度与三角函数的值有何关系？

(2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？请说明理由．

[提示]　(1)三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．

(2)能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的．

(1)正切线始终在单位圆过A(1，0)的切线上．

(2)三角函数线的特征

①位置：三条三角函数线中有两条在以坐标原点为圆心的单位圆内，一条在以坐标原点为圆心的单位圆外；

②方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向x轴上的垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点；

③正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；

④书写：起点(比如点A)在前，终点(比如点B)在后，写为.

2.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)角α的正弦线的长度等于sin α. (　　)

(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线． (　　)

(3)余弦线和正切线的始点都是原点． (　　)

[提示]　(1)×.角α的正弦线的长度等于|sin α|.

(2)×.90°角不能作正切线．

(3)×.正切线的始点是(1，0).

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

3.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)

A．正弦线，正切线

B．正弦线，正切线

C．正弦线，正切线

D．正弦线，正切线

C　[由三角函数线的定义知C正确．]

4.角和角有相同的(　　)

A．正弦线　 B．余弦线

C．正切线 D．不能确定

C　[与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．]

类型1　三角函数线的作法及应用

【例1】　(1)角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为(　　)

A． B．　　

C． D．或

(2)(对接教材P20例1)作出π的正弦线、余弦线和正切线．

(1)D　[根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四象限时，角α的正弦、余弦符号相反．又角α的正、余弦线的长度相等，0<α<2π，所以α＝或.]

(2)[解]　在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴为始边作角π，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin π＝，cosπ＝，tan π＝，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为.

作三角函数线的步骤

(1)作直角坐标系和角的终边；

(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A；

(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M；

(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T；

(5)即向量，，分别为角的正弦线，余弦线和正切线．

[跟进训练]

1.(1)已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边(　　)

A．在x轴上 B．在y轴上

C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上

(2)作出－的正弦线、余弦线和正切线．

(1)B　[根据正弦线的定义知，|sin α|＝1，所以sin α＝±1，所以角α的终边在y轴上．]

(2)[解]　如图所示，所以角－的正弦线为，余弦线为，正切线为.

类型2　利用单位圆解三角不等式

【例2】　在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．

(1)sin α≥；(2)cos α≤－.

[解]　(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．

故满足条件的角α的集合为.

(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．

故满足条件的角α的集合为.

1．用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤

(1)作出取等号的角的终边；

(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；

(3)将图中的范围用不等式表示出来．

2．求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．

[跟进训练]

2．求y＝lg (1－cos x)的定义域．

[解]　如图所示，

因为1－cos x＞0，

所以cos x＜，

所以2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，

所以函数定义域为(k∈Z).

类型3　三角函数线的综合应用

【例3】　已知α∈，试比较sin α，α，tan α的大小．

如何利用三角函数线比较大小？

[提示]　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．

[解]　如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，

得sin α＝MP，tan α＝AT，

又α＝的长，

所以S△AOP＝·OA·MP＝sin α，

S扇形AOP＝··OA＝·＝α，

S△AOT＝·OA·AT＝tan α.

又因为S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，

所以sin α＜α＜tan α.

利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点

(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．

(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．

[跟进训练]

3．比较下列各组数的大小．

(1)cos 和cos ；

(2)sin 和tan .

[解]　(1)如图，在单位圆中作出和的余弦线OM2和OM1．

因为|OM1|>|OM2|且和的余弦均为负数，

所以cos >cos .

(2)如图，分别作出的正弦线和正切线，

由图知，角的正弦线和正切线分别为，，因为||<||且的正弦和正切均为正数，所以tan >sin .

1．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为(　　)

A．－ B．－　　

C． D．

B　[∵角α的终边与单位圆交于点，

∴由任意角的三角函数定义知：sin α＝y＝－，故选B.]

2．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为(　　)

A．或　 B．或

C．或 D．或

C　[由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或.]

3．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

B　[画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥的取值范围是.]

4．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．

sin 1>cos 1　[因为<1<，所以正弦线大于余弦线的长度，所以sin 1>cos 1.]

5．函数y＝的定义域为________．

　[利用三角函数线，画出满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).

因此所求定义域为

.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．在单位圆中三角函数的定义是什么？角α的终边与单位圆的交点坐标是什么？

[提示]　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，交点坐标为(cos α，sin α).

2．在单位圆中三角函数用三角函数线如何表示？三角函数线的用途有哪些？体现了什么思想方法？

[提示]　sin α＝，cos α＝，tan α＝；可用三角函数线比较大小，解不等式等；体现了数形结合思想．