高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式教学ppt课件

第2课时　诱导公式⑤⑥⑦⑧

知识点　诱导公式

1．诱导公式

sin ＝cos α，

cos ＝sin α．

1.

(1)角－α与角α的终边有什么样的位置关系？

(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是什么？

[提示]　(1)角－α与角α的终边关于y＝x对称．

(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a).

2．诱导公式

sin ＝cos α，

cos ＝－sin α．

2.如何由公式②、公式⑤推导公式⑥？

[提示]　sin ＝sin

＝cos (－α)＝cos α.

cos ＝cos

＝sin (－α)＝－sin α.

1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)sin (＋α)＝－cos α.  (　　)

(2)在△ABC中，sin ＝cos . (　　)

(3)sin ＝±cos α.  (　　)

[提示]　(1)×.由诱导公式⑥知sin ＝cos α.

(2)√.因为＋＝，由诱导公式⑤可知

sin ＝cos .

(3)×.例如当k＝2时，sin ＝sin (π－α)＝sin α≠±cos α.

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

2.已知sin 40°＝a，则cos 130°＝(　　)

A．a B．－a

C. D．－

B　[cos 130°＝cos (90°＋40°)＝－sin 40°＝－a.]

3.若cos (π＋α)＝，则sin ＝___________.

－　[法一：cos (π＋α)＝－cos α＝，

所以cos α＝－，sin ＝cos α＝－.

法二：cos (π＋α)＝cos ＝，

所以－sin ＝.

所以sin ＝－.]

3．诱导公式⑦

cos ＝sin α，

sin ＝－cos α．

4．诱导公式⑧

cos ＝－sin α，

sin ＝－cos α．

3.如何理解诱导公式⑤⑥⑦⑧？

[提示]　(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别转化为α的余弦(正弦)函数值．

(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

(3)作用：利用诱导公式⑤⑥⑦⑧，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．

(4)简记：“函数名改变，符号看象限”．

4.若sin α＝，则cos ＝________．

－　[cos ＝cos ＝

cos ＝cos ＝－sin α＝－.]

类型1　利用诱导公式求值

【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)

A． B．

C.－ D．－

(2)已知cos (π＋α)＝－，α为第一象限角，则cos的值为________．

(3)已知sin ＝，则cos 的值为________．

(1)B　(2)－　(3)　[(1)sin 239°tan 149°

＝sin (270°－31°)·tan (180°－31°)

＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°

＝＝.

(2)因为cos(π＋α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，又α为第一象限角，则cos ＝－sin α＝－

＝－＝－.

(3)cos＝cos

＝sin ＝.]

解决化简求值问题的策略

(1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系．

(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．

提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等．

[跟进训练]

1．已知cos ＝，求cos sin 的值．

[解]　cos sin

＝cos ·sin

＝－cos ·sin

＝－sin

＝－cos ＝－.

类型2　利用诱导公式化简与证明

【例2】　(对接教材P32例8)(1)化简：＋

＝________．

(2)求证：＝－tan α．

(1)　[原式＝＋

＝＋

＝＋

＝

＝＝.]

(2)[证明]　因为左边＝

＝＝＝－

＝－tan α＝右边，

所以原等式成立．

1．利用诱导公式化简的原则

(1)负化正、大化小、小化锐、锐求值．

(2)对于k·±α，k∈Z的形式的角，记准：奇变偶不变，符号看象限．

2．利用诱导公式证明的方法

对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以左右归一，变更论证的方法．常用定义法、弦化切、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

[跟进训练]

2．求证：＝.

[证明]　因为左边

＝

＝

＝

＝

＝＝.

右边＝＝.

所以左边＝右边，故原等式成立．

类型3　诱导公式的综合应用

【例3】　已知f(x)＝.

(1)化简f(x)；

(2)若x是第三象限角，且cos ＝，求f(x)的值；

(3)求f.

[解]　(1)原式＝

＝

＝

＝tan x．

(2)因为cos ＝－sin x＝，

所以sin x＝－.

因为x是第三象限角，

所以cos x＝－＝－.

所以f(x)＝tanx＝＝＝.

(3)f＝tan

＝－tan ＝－tan ＝－.

诱导公式综合应用要“三看”

一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．

二看函数名称：一般是弦切互化．

三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．

[跟进训练]

3．已知f(α)＝.

(1)化简f(α).

(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．

[解]　(1)f(α)＝＝cos α.

(2)因为f(A)＝cos A＝，

又A为△ABC的内角，

所以由平方关系，

得sin A＝＝，

所以tanA＝＝，

所以tan A－sin A＝－＝.

1．若sin (3π＋α)＝－，则cos 等于(　　)

A．－ B．　　　

C．　 D．－

A　[因为sin (3π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝.

所以cos ＝cos ＝－sin α＝－.]

2．已知sin ＝，则cos 的值为(　　)

A．－ B．  

C．－ D．

A　[cos ＝cos ＝－sin ＝－.]

3．如果cos (π＋A)＝－，那么sin 等于(　　)

A．－ B．  

C．－  D．

B　[cos (π＋A)＝－cos A＝－，所以cos A＝，

所以sin ＝cos A＝.]

4．如果cos α＝，且α是第四象限的角，则cos ＝________．

　[因为cos α＝，且α是第四象限角，

所以sin α＝－＝－＝－.

所以cos＝－sin α＝.]

5．已知sin φ＝，则cos ＋sin (3π－φ)＝________．

　[因为sin φ＝，所以cos ＝cos

＝cos ＝cos ＝sin φ＝，

所以cos ＋sin (3π－φ)＝＋sin (π－φ)

＝＋sin φ＝.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．八组诱导公式的记忆口诀是什么？如何理解？

[提示]　诱导公式①～⑧可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：

①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．

②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．

③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．

2．公式⑤～⑧的作用是什么？

[提示]　公式⑤～⑧的作用是把0～2π角的三角函数值转化为0～角的三角函数值．

3．你能说出几个角的常见变换技巧吗？

[提示]　＋α＝－⇔＋＝，＋α＝－⇔＋＝，－＝等．(答案不唯一)