2022银川二中高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

银川二中2021-2022学年第二学期高二年级期中考试

文 科 数 学 试 题

注意事项：

1.本试卷共22小题，满分150分.考试时间为120分钟.

答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡.

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

1. 点的直角坐标是，则点的极坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 若不等式的解集为，求实数的值（    ）

A.  B.

C.  D.

3 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列点在曲线上的是

A.  B.

C  D.

5. 不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则a的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 曲线在坐标伸缩变换下的方程是（    ）

A.  B.

C  D.

9. 设，当时，，则的取值范围（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 直线（为参数）被曲线所截的弦长（    ）

A  B.  C.  D.

11. 已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 若点的极坐标是，则点的直角坐标为______

14. 曲线与坐标轴的交点是_______

15. 不等式的解集_______.

16. 在直角坐标系中，曲线方程为，直线的参数方程为（为参数），若曲线截直线所得线段的中点坐标为，则的斜率是_____.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 设函数，其中．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．

18. 在直角坐标系中，曲线的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点．求面积．

19. （1）设且．证明：；

（2）已知为正数，且满足．证明：

20. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线的参数方程为.

（1）若，求与的交点坐标；

（2）若时，曲线上的点到距离的最大值为，求.

21. 已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）对于任意正实数，且，若恒成立，求实数a的取值范围．

22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C的交点为A，B．

（1）求曲线C的直角坐标方程及α＝时|AB|的值；

（2）设点P（﹣1，1），求的最大值．

银川二中2021-2022学年第二学期高二年级期中考试

文 科 数 学 试 题

注意事项：

1.本试卷共22小题，满分150分.考试时间为120分钟.

答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡.

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

1. 点的直角坐标是，则点的极坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设点的极坐标，再根据直角坐标与极坐标的关系求解即可

【详解】设点的极坐标为则，故，，故，故点的极坐标为

故选：B

2. 若不等式的解集为，求实数的值（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求出实数的值.

【详解】因为，即，

因为不等式的解集为，

所以，解得：.

故选：D.

3. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化两点的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解.

【详解】由两点，，得两点的直角坐标分别为，由两点的距离公式得：.

故选：C.

4. 下列点在曲线上是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】将参数方程化为普通方程是，代入各点可得在曲线上.

考点：参数方程.

5. 不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据绝对值不等式的方法求解即可

【详解】即，即，即

故选：B

6. 在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则a的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由为等边三角形，结合圆的对称性可得，从而可求出，进而可求出

【详解】因为圆和直线相交于两点，且是等边三角形，

所以，

所以，

所以，

故选：C

7. 已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解即可

【详解】由，得，

，得，

所以极点到该直线的距离为

，

故选：A

8. 曲线在坐标伸缩变换下的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据伸缩变换，将用表示出来，代入曲线方程中即可求解.

【详解】 ，将代入曲线中可得：

故选：D

9. 设，当时，，则的取值范围（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式，结合已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】由可得，解得，

因为当时，，则，

所以，，解得.

故选：B.

10. 直线（为参数）被曲线所截的弦长（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离，再利用圆心距，弦和半径的关系可求出弦长

【详解】直线（为参数）消去参数得，

由，得，

，

，

，即，

所以圆的圆心为，半径，

所以圆心到直线的距离为，

所以所求弦长为，

故选：D

11. 已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得，由绝对值不等式的性质可得，所以，由不等式的性质得，所以，从而可求出的取值

【详解】存在，使得成立，等价于，

因为，当且仅当时成立，

所以，则，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以，

所以，解得或，

所以的取值范围为，

故选：C

12. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法可判断AB选项；利用特殊值法可判断CD选项.

【详解】因为

，

所以，，因为，则，A对B错；

若，则成立，但，C错；

若，则成立，则不成立，D错.

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 若点的极坐标是，则点的直角坐标为______

【答案】

【解析】

【分析】根据极坐标与直角坐标的关系求解即可

【详解】点的直角坐标为，即

故答案为：

14. 曲线与坐标轴的交点是_______

【答案】

【解析】

【分析】分别令求解与对应的点坐标即可

【详解】令，则，此时，，故与轴的交点是；

令，则，此时，，故与轴的交点是；

故答案为：、

15. 不等式的解集_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，分段去绝对值符号，求解不等式作答.

【详解】当时，原不等式化为：，解得，则，

当时，原不等式化为：，无解，

当时，原不等式化为：，解得，则，

所以原不等式的解集为.

故答案为：

16. 在直角坐标系中，曲线方程为，直线的参数方程为（为参数），若曲线截直线所得线段的中点坐标为，则的斜率是_____.

【答案】

【解析】

【分析】将直线的参数方程代入曲线方程化简，由题意可知，则，从而可求出直线的斜率

【详解】因为直线的参数方程为（为参数），表示过点的直线，

所以将直线的参数方程代入曲线方程得

，

化简整理得，

因为直线的参数方程中参数的几何意义为直线上的点到点的位移，

所以两交点到中点的距离和为0，即，

所以，

解得，

所以，

所以的斜率是，

故答案为：

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 设函数，其中．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）2.

【解析】

【分析】（Ⅰ）当时，可化为，去掉绝对值求解即可；

（Ⅱ）可化为不等式组或，分别求解与已知不等式的解集对应相等，求出a的值．

【详解】（Ⅰ）当时，可化为，由此可得或．

故不等式的解集为或．

( Ⅱ) 由 得，此不等式化为不等式组或，

即或，因为，∴不等式组的解集为，由题设可得=，故．

【点睛】本题考查含绝对值的不等式的解法，考查学生计算能力和分类讨论思想，属于基础题．

18. 在直角坐标系中，曲线的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点．求面积．

【答案】（1）   

（2）9

【解析】

【分析】（1）根据化简求解即可

（2）设，，再结合极坐标的几何意义与三角形面积公式求解即可

【小问1详解】

由，即，

将，代入，得，即，

故曲线的极坐标方程为．

【小问2详解】

依题意，设，．

由曲线的极坐标方程为．得，

曲线的极坐标方程为．则，所以

19. （1）设且．证明：；

（2）已知为正数，且满足．证明：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）将展开可得，由题意可得，，都不为，则即可求证；

（2）利用基本不等式可得，三式相加，结合，可得结论

【详解】（1）因为，

所以，

因为，所以，，都不为，则，

所以.

（2）因为a，b，c为正数，，

所以，

所以，

因为，所以，当且仅当时取等号，

即

20. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线的参数方程为.

（1）若，求与的交点坐标；

（2）若时，曲线上的点到距离的最大值为，求.

【答案】（1），   

（2）8

【解析】

【分析】（1）将曲线化为标准方程，直线的参数方程化为一般方程，联立方程可以求得交点坐标.

（2）曲线上的点可以表示成，应用点到直线的距离公式可以表示出到直线的距离，再结合距离最大值为进行分析，即可求出的值.

【小问1详解】

曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由解得或

从而与的交点坐标为，.

【小问2详解】

直线的普通方程为，

故上的点到的距离为

.

当时，的最大值为.由题设得，

所以.

21. 已知函数．

（1）若，求不等式解集；

（2）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；

（2）变换根据基本不等式求解最小值，再根据绝对值的三角不等式，结合恒成立问题求解即可

【小问1详解】

原不等式为，

当时，得，显然成立，所以．

当时，得，得所以，

当时，，不成立.综上得不等式的解集为．

【小问2详解】

因为为正实数，并且，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值．又因为，当时取到等号，

要使恒成立，只需．所以．

22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C的交点为A，B．

（1）求曲线C的直角坐标方程及α＝时|AB|的值；

（2）设点P（﹣1，1），求的最大值．

【答案】（1）；|AB|＝3；（2）2．

【解析】

【分析】(1)结合即可得出曲线的直角方程，将当α＝代入直线l的参数方程得出的直角方程为x＝﹣1，联立曲线方程解出的值即可.

(2)把直线的参数方程代入曲线的直角方程得出关于的一元二次方程，结合韦达定理和的几何意义即可求出结果.

【详解】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2＝，

根据，转换直角坐标方程为，

当α＝时，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），

转换为直角坐标方程为x＝﹣1．

所以，由，解得，

所以|AB|＝3．

（2）把直线的参数方程，代入，

得到（3+sin2α）t2+（8sinα﹣6cosα）t﹣5＝0，

设点对应的参数为，点对应的参数为，

故，，故t1、t2的符号相反，

由此时的几何意义可得：||PA|﹣|PB||＝||t1|﹣|t2||＝|t1+t2|，

＝2|sin（α﹣φ）|的最大值为2，

(其中).

【点睛】(1)极坐标方程与直角坐标方程的互化方法:

①直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．

②极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．

(2)圆和圆锥曲线参数方程的应用要注意两点：

①在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．

②有关圆或圆锥曲线上动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．