2022-2023学年宁夏银川一中高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年宁夏银川一中高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.

【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；

②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；

③空集是任意集合的子集，故，正确；

④空集没有任何元素，故，错误；

⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；

⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；

∴②③正确.

故选：B.

2．若，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．-1 D．0

【答案】D

【分析】根据分段函数的对应法则，即可得到结果.

【详解】∵，

∴

∴，

故选：D.

【点睛】本题考查分段函数的应用，考查学生对法则的理解，属于基础题.

3．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】判断当时，的取值范围，从而判断时，的取值范围应包含，由此列出不等式，求得答案.

【详解】由题意知当时，，

由于函数的值域为，

故时，的取值范围应包含，

故此时，且，故，

故选：C.

4．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.

【详解】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.

故选：A

5．设集合，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】 因为，所以，故选B.

6．已知，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用换元法求解即可.

【详解】因为，，

令，则，，

所以，，

故，，

故选：C

7．若，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解.

【详解】由题意

根据指数式与对数式的转化可得

由换底公式可得

由对数运算化简可得

故选:A

【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.

8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数是定义在上的偶函数，比较的大小，再由在上单调递增判断.

【详解】因为函数是定义在上的偶函数，

所以

因为，

所以,

又因为在上单调递增，

所以,

即，

故选：C

9．若为奇函数，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用奇函数的定义，对分类讨论即可得解.

【详解】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称.

若，则的定义域不关于原点对称，

所以的定义域为且，

所以，解得.

所以，定义域为.

令，得，故，

此时经检验，为奇函数.

故选：C.

10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出的值域，结合已知定义即可求解．

【详解】因为

又，

所以，

所以

所以，

则的值域．

故选：C．

11．有下列几个命题，其中正确的共有（    ）

①函数在上单调递增；

②函数在上是减函数；

③函数的单调区间是

④已知在上是增函数，若，则有；

⑤已知函数是奇函数，则.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4

【答案】C

【分析】对于①，根据二次函数的性质，可知函数在上单调；对于②，在和上均为减函数，但在并集上并不是减函数；对于③，首先要求函数的定义域，才可研究函数单调性；对于④，通过函数的单调性，，可得出答案；对于⑤，根据函数奇偶性即可求出函数的解析式.

【详解】由在上递增知，函数在上是增函数，故①正确；

在，上均是减函数，但在上不是减函数，如，但，故②错误；

在上无意义，从而在上不是单调函数，故③错误；

由得，又在上递增，所以，同理，，所以，故④正确；

设，则，，因为为奇函数，所以，故⑤正确.

故选：C

12．已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质得到，由条件结合函数的对称性和周期性的定义得到函数的周期为，且，，即可求解.

【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，

则，即函数关于点对称，

所以有①，

又②，所以函数关于直线对称，

则由②得：，，

所以，则

又由①和②得：，得，

所以，即，

所以函数的周期为，

则，

所以，

故选：A.

【点睛】结论点睛：函数的定义域为，对，

（1）存在常数，使得，则函数图象关于点对称.

（2）存在常数使得，则函数图象关于直线对称.

二、填空题

13．函数的单调递增区间是________

【答案】

【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.

【详解】

当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，

故答案为：

【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．已知，则此函数的值域是______

【答案】

【分析】令,由x的范围求得的范围,再由二次函数求值域.

【详解】解:令,

,,

则原函数化为,.

,．

原函数的值域为

故答案为:

【点睛】本题考查利用换元法求函数的值域,属于基础题.

15．若函数的定义域为，则函数的定义域为______．

【答案】

【分析】根据抽象函数的定义域及开偶数次方根号里的数大于等于零，分母不等于零求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，

所以，即函数的定义域为，

由函数，

得，解得，

即函数的定义域为.

故答案为：.

16．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．

【答案】

【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.

【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，

于是，解得，

所以实数a的值为.

故答案为：

三、解答题

17．已知集合，集合．

(1)若，求实数的取值范围；

(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；

（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．

【详解】（1）由，得

①若，即时，，符合题意；

②若，即时，需或，解得．

综上，实数的取值范围为．

（2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得．

由实数的取值范围为．

18．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线的极坐标方程；

（2）分别联立与的极坐标方程、与的极坐标方程，得到、两点的极坐标，即可求出的长，再计算出到直线的距离，由此即可得到的面积．

【详解】解：（1），

其普通方程为，化为极坐标方程为

（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为            

联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离，                                            

故的面积.

【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．

19．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)设函数，若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）化函数为分段函数，再分段解不等式作答.

（2）求出函数、的值域，再借助集合的包含关系求解作答.

【详解】（1）依题意，函数，则不等式化为：

或或，解得或或，则，

所以不等式的解集为.

（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，

因此函数的值域为，

，，当且仅当时取等号，

因此函数的值域为，

因为对任意，都存在，使得成立，则有，

即，解得，

所以实数a的取值范围是.

20．已知为上的偶函数，当时，.

(1)当时，求的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求得答案；

（2）判断函数的单调性，将不等式转化为，结合函数的单调性奇偶性，即可求得答案.

【详解】（1）为上的偶函数，当时，,

故当时，，故.

（2）当时，为增函数，，

令，则，

当时，为减函数，

故，即，

为上的偶函数，故，

故，

即的取值范围为.

21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

(1)求曲线和曲线的直角坐标方程;

(2)若曲线和曲线交于、两点，且点，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用消参法可得的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得的直角坐标方程；

（2）利用直线参数方程的几何意义直接计算.

【详解】（1）由的参数方程为（为参数），

消参可得，即；

又的极坐标方程为，即，，

所以，

即

（2）由（1）的，即

将的参数方程转化为标准参数方程（为参数）

代入得，即，

，，

又由的参数方程可知过点，

所以.

22．已知函数，其中为实数．

（1）若函数为定义域上的单调函数，求的取值范围．

（2）若，满足不等式成立的正整数解有且仅有一个，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）分析当时的单调性，可得的单调性，由二次函数的单调性，可得的范围；

（2）分别讨论当，当时，当时，当，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．

【详解】（1）由题意，当时，为减函数，

当时，，

若时，也为减函数，且，

此时函数为定义域上的减函数，满足条件；

若时，在上单调递增，则不满足条件．

综上所述，．

（2）由函数的解析式，可得，

当时，，不满足条件；

当时，为定义域上的减函数，仅有成立，满足条件；

当时，在上，仅有，

对于上，的最大值为，

不存在满足，满足条件；

当时，在上，不存在整数满足，

对于上，，

不存在满足，不满足条件；

综上所述，．

【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．