2021-2022学年宁夏银川市第二中学高二下学期期中考试数学（文）Word版含解析

  银川二中2021-2022学年第二学期高二年级期中考试

文科数学试题

注意事项：

1.本试卷共22小题，满分150分.考试时间为120分钟.

答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡.

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

1. 点的直角坐标是，则点的极坐标为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设点的极坐标，再根据直角坐标与极坐标的关系求解即可

【详解】设点的极坐标为则，故，，故，故点的极坐标为

故选：B

2. 若不等式的解集为，求实数的值（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求出实数的值.

【详解】因为，即，

因为不等式的解集为，

所以，解得：.

故选：D.

3. 若，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化两点的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解.

【详解】由两点，，得两点的直角坐标分别为，由两点的距离公式得：.

故选：C.

4. 下列点在曲线上是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】将参数方程化为普通方程是，代入各点可得在曲线上.

考点：参数方程.

5. 不等式的解集为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据绝对值不等式的方法求解即可

【详解】即，即，即

故选：B

6. 在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则a的值等于（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由为等边三角形，结合圆的对称性可得，从而可求出，进而可求出

【详解】因为圆和直线相交于两点，且是等边三角形，

所以，

所以，

所以，

故选：C

7. 已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解即可

【详解】由，得，

，得，

所以极点到该直线的距离为

，

故选：A

8. 曲线在坐标伸缩变换下的方程是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据伸缩变换，将用表示出来，代入曲线方程中即可求解.

【详解】，将代入曲线中可得：

故选：D

9. 设，当时，，则的取值范围（）

A.  B.

C D.

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式，结合已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】由可得，解得，

因为当时，，则，

所以，，解得.

故选：B.

10. 直线（为参数）被曲线所截的弦长（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离，再利用圆心距，弦和半径的关系可求出弦长

【详解】直线（为参数）消去参数得，

由，得，

，

，

，即，

所以圆的圆心为，半径，

所以圆心到直线的距离为，

所以所求弦长为，

故选：D

11. 已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得，由绝对值不等式的性质可得，所以，由不等式的性质得，所以，从而可求出的取值

【详解】存在，使得成立，等价于，

因为，当且仅当时成立，

所以，则，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以，

所以，解得或，

所以的取值范围为，

故选：C

12. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法可判断AB选项；利用特殊值法可判断CD选项.

【详解】因为

，

所以，，因为，则，A对B错；

若，则成立，但，C错；

若，则成立，则不成立，D错.

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 若点的极坐标是，则点的直角坐标为______

【答案】

【解析】

【分析】根据极坐标与直角坐标的关系求解即可

【详解】点的直角坐标为，即

故答案为：

14. 曲线与坐标轴的交点是_______

【答案】

【解析】

【分析】分别令求解与对应的点坐标即可

【详解】令，则，此时，，故与轴的交点是；

令，则，此时，，故与轴的交点是；

故答案为：、

15. 不等式的解集_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，分段去绝对值符号，求解不等式作答.

【详解】当时，原不等式化为：，解得，则，

当时，原不等式化为：，无解，

当时，原不等式化为：，解得，则，

所以原不等式的解集为.

故答案为：

16. 在直角坐标系中，曲线方程为，直线的参数方程为（为参数），若曲线截直线所得线段的中点坐标为，则的斜率是_____.

【答案】

【解析】

【分析】将直线的参数方程代入曲线方程化简，由题意可知，则，从而可求出直线的斜率

【详解】因为直线的参数方程为（为参数），表示过点的直线，

所以将直线的参数方程代入曲线方程得

，

化简整理得，

因为直线的参数方程中参数的几何意义为直线上的点到点的位移，

所以两交点到中点的距离和为0，即，

所以，

解得，

所以，

所以的斜率是，

故答案为：

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 设函数，其中．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值．

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）2.

【解析】

【分析】（Ⅰ）当时，可化为，去掉绝对值求解即可；

（Ⅱ）可化为不等式组或，分别求解与已知不等式的解集对应相等，求出a的值．

【详解】（Ⅰ）当时，可化为，由此可得或．

故不等式的解集为或．

( Ⅱ) 由得，此不等式化为不等式组或，

即或，因为，∴不等式组的解集为，由题设可得=，故．

【点睛】本题考查含绝对值的不等式的解法，考查学生计算能力和分类讨论思想，属于基础题．

18. 在直角坐标系中，曲线的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点．求面积．

【答案】（1）

（2）9

【解析】

【分析】（1）根据化简求解即可

（2）设，，再结合极坐标的几何意义与三角形面积公式求解即可

【小问1详解】

由，即，

将，代入，得，即，

故曲线的极坐标方程为．

【小问2详解】

依题意，设，．

由曲线的极坐标方程为．得，

曲线的极坐标方程为．则，所以

19. （1）设且．证明：；

（2）已知为正数，且满足．证明：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）将展开可得，由题意可得，，都不为，则即可求证；

（2）利用基本不等式可得，三式相加，结合，可得结论

【详解】（1）因为，

所以，

因为，所以，，都不为，则，

所以.

（2）因为a，b，c为正数，，

所以，

所以，

因为，所以，当且仅当时取等号，

即

20. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线的参数方程为.

（1）若，求与的交点坐标；

（2）若时，曲线上的点到距离的最大值为，求.

【答案】（1），

（2）8

【解析】

【分析】（1）将曲线化为标准方程，直线的参数方程化为一般方程，联立方程可以求得交点坐标.

（2）曲线上的点可以表示成，应用点到直线的距离公式可以表示出到直线的距离，再结合距离最大值为进行分析，即可求出的值.

【小问1详解】

曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由解得或

从而与的交点坐标为，.

【小问2详解】

直线的普通方程为，

故上的点到的距离为

.

当时，的最大值为.由题设得，

所以.

21. 已知函数．

（1）若，求不等式解集；

（2）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；

（2）变换根据基本不等式求解最小值，再根据绝对值的三角不等式，结合恒成立问题求解即可

【小问1详解】

原不等式为，

当时，得，显然成立，所以．

当时，得，得所以，

当时，，不成立.综上得不等式的解集为．

【小问2详解】

因为为正实数，并且，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值．又因为，当时取到等号，

要使恒成立，只需．所以．

22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C的交点为A，B．

（1）求曲线C的直角坐标方程及α＝时|AB|的值；

（2）设点P（﹣1，1），求的最大值．

【答案】（1）；|AB|＝3；（2）2．

【解析】

【分析】(1)结合即可得出曲线的直角方程，将当α＝代入直线l的参数方程得出的直角方程为x＝﹣1，联立曲线方程解出的值即可.

(2)把直线的参数方程代入曲线的直角方程得出关于的一元二次方程，结合韦达定理和的几何意义即可求出结果.

【详解】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2＝，

根据，转换直角坐标方程为，

当α＝时，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），

转换为直角坐标方程为x＝﹣1．

所以，由，解得，

所以|AB|＝3．

（2）把直线的参数方程，代入，

得到（3+sin2α）t2+（8sinα﹣6cosα）t﹣5＝0，

设点对应的参数为，点对应的参数为，

故，，故t1、t2的符号相反，

由此时的几何意义可得：||PA|﹣|PB||＝||t1|﹣|t2||＝|t1+t2|，

＝2|sin（α﹣φ）|的最大值为2，

(其中).

【点睛】(1)极坐标方程与直角坐标方程的互化方法:

①直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．

②极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．

(2)圆和圆锥曲线参数方程的应用要注意两点：

①在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．

②有关圆或圆锥曲线上动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．