高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性精练

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课时素养评价

二十六　函数奇偶性的应用

(15分钟　35分)

1.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)的解析式是              (　　)

A.f(x)=-x2+2x-3

B.f(x)=-x2-2x-3

C.f(x)=x2-2x+3

D.f(x)=-x2-2x+3

【解析】选B.若x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)=x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3,所以x<0时,f(x)=-x2-2x-3.

2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1,则f(x)等于              (　　)

A.x2   B.2x2   C.2x2+2   D.x2+1

【解析】选D.因为f(x)+g(x)=x2+3x+1,①

所以f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.

又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数,

所以f(x)-g(x)=x2-3x+1.②

由①②联立,得f(x)=x2+1.

3.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则

 (　　)

A.f(-x1)>f(-x2)

B.f(-x1)=f(-x2)

C.f(-x1)<f(-x2)

D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定

【解析】选A.因为x2>-x1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x2)<f(-x1).

又f(x)是R上的偶函数,所以f(-x2)=f(x2),

所以f(-x2)<f(-x1).

4.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,f(3)<

f(2a+1),则a的取值范围是 (　　)

A.a>1     B.a<-2

C.a>1或a<-2  D.-1<a<2

【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数,且f(3)<f(2a+1),所以f(3)<f(|2a+1|),又函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,

所以3<|2a+1|,解得a>1或a<-2.

5.函数f(x)在R上为偶函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=

________. 

【解析】因为f(x)为偶函数,x>0时,f(x)=+1,

所以当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=+1,即x<0时,f(x)=+1.

答案:+1

6.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.

【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).

由f(x)+g(x)=,①

用-x代替x得f(-x)+g(-x)=,

所以f(x)-g(x)=,②

(①+②)÷2,得f(x)=;

(①-②)÷2,得g(x)=.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有

(　　)

A.最大值-   B.最大值

C.最小值-   D.最小值

【解析】选B.方法一(直接法):当x>0时,-x<0,

所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),

所以f(x)=x(1-x)=-x2+x

=-+,

所以f(x)有最大值.

方法二(奇函数的图象特征):当x<0时,

f(x)=x2+x=-,

所以f(x)有最小值-,因为f(x)是奇函数,

所以当x>0时,f(x)有最大值.

2.(2020·泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,若是函数F(x)的增区间,则一定是F(x)的减区间的是              (　　)

A.    B.

C.    D.

【解析】选B.因为F(-x)=F(x),所以F(x)是偶函数,因而在上F(x)是减函数.

3.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则f与f的大小关系是              (　　)

A.f>f

B.f<f

C.f≥f

D.f≤f

【解析】选C.因为a2+2a+=(a+1)2+≥,又因为f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,所以f≤f=f.

4.(2020·襄阳高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则满足f(2x-1)>f的实数x的取值范围是              (　　)

A.    B.

C.    D.

【解析】选A.因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,且满足f(2x-1)>f,所以不等式等价为f(|2x-1|)>f,即|2x-1|<,所以-<2x-1<,计算得出<x<,故x的取值范围是.

【误区警示】利用偶函数的单调性解不等式,别忘了转化为绝对值不等式求解.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.若函数y=f(x)是偶函数,定义域为R,且该函数图象与x轴的交点有3个,则下列说法正确的是              (　　)

A.3个交点的横坐标之和为0

B.3个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关

C.f(0)=0

D.f(0)的值不能确定

【解析】选AC.由于偶函数图象关于y轴对称,若(x0,0)是函数与x轴的交点,则(-x0,0)一定也是函数与x轴的交点,当交点个数为3个时,有一个交点一定是原点,从而AC正确.

6.设y=f(x)为偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增,f(-2)=0,则下列区间中使得xf(x)<0的有              (　　)

A.(-1,1)   B.(0,2)

C.(-2,0)   D.(2,4)

【解析】选CD.根据题意,偶函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,又f(-2)=0,则函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(-2)=f(2)=0,函数f(x)的草图如图,

又由xf(x)<0⇒或,

由图可得-2<x<0或x>2,

即不等式的解集为(-2,0)∪(2,+∞).

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.如果函数F(x)=是奇函数,则f(x)=________. 

【解题指南】根据求谁设谁的原则,设x<0,根据函数的奇偶性求出x<0时的解析式.

【解析】当x<0时,-x>0,F(-x)=-2x-3,

又F(x)为奇函数,故F(-x)=-F(x),

所以F(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.

答案:2x+3

【补偿训练】

　　设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[-1,0]上的解析式为________. 

【解析】由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2.所以f(x)=x+2.

答案:f(x)=x+2

8.(2020·南京高一检测)已知y=f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-5x,则f(x-1)>f(x)的解集为________. 

【解析】根据题意,设x<0,则-x>0,

所以f(-x)=x2+5x,

又由f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(x)=-f(-x)=-x2-5x,

则有f(x)=其图象如图:

则f(x)在上是减函数,

当x<0时,f(x)=-x2-5x,

其对称轴为x=-,

当x≥0时,f(x)=x2-5x,其对称轴为x=,

若f(x-1)>f(x),则有-3<x-1<-<x或-≤x-1<x≤或x-1<<x<3,

解得:-2<x<3,即不等式的解集为(-2,3).

答案:(-2,3)

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+2x.

(1)求出函数f(x)在R上的解析式.

(2)画出函数f(x)的图象.

(3)根据图象,写出函数f(x)的减区间及值域.

【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=f(-x).

当x<0时,-x>0,

所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.

综上,f(x)=

(2)函数f(x)的图象如图所示:

(3)由(2)中图象可知,f(x)的减区间为[-1,0],[1,+∞),

函数f(x)的值域为(-∞,1].

10.函数f(x)=,

(1)判断函数是否具有奇偶性.

(2)判断函数在(-∞,0)上的单调性,并证明.

【解析】(1)f(x)=的定义域为{x|x≠0},

因为对于任意x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},且f(-x)===f(x),

所以函数f(x)为偶函数.

(2)函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,

证明如下:任取(-∞,0)上的任意两个值x1,x2,且x1<x2,

所以f(x1)-f(x2)=-=

=,

因为x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,

所以x2-x1>0,x2+x1<0,

所以<0,

即f(x1)<f(x2),

则函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.

1.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是________. 

【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,

即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,

所以|x+2|<5,解得-7<x<3,

所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7,3).

答案:(-7,3)

2.(2020·南京高一检测)已知偶函数f(x)=的定义域为E,值域为F.

(1)求实数b的值;

(2)若E={1,2,a},F=,求实数a的值.

(3)若E=,F=[2-3m,2-3n],求m,n的值.

【解析】(1)因为f(x)为偶函数,

所以f(-x)=f(x),

即=,

所以b=-1;

(2)因为f(2)=,f(1)=0,

所以①令f(a)=0,即=0,a=±1,a=1不满足集合的互异性,故a=-1;

②令f(a)=,即=,a=±2,a=2不满足集合的互异性,故a=-2,

综上,a=-1或-2;

(3)因为f(x)=是偶函数,且f(x)=1-,所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,

在(0,+∞)上是增函数.

因为x≠0,

所以由题意可知:<<0或0<<.

若<<0,则有

即

此时方程组无负解;

若0<<,则有

即

所以m,n为方程x2-3x+1=0的两个根.

因为0<<,所以m>n>0,

所以m=,n=.

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