苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性同步达标检测题
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5.4函数的奇偶性（A）课后练习
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
- 已知在定义域R上的奇函数，且在上是增函数，则使成立的x的取值范围是
A. B.
C. D.
- 下列函数中，为偶函数的是
A. B. C. D.
- 已知偶函数在上单调递减，则满足的x的取值范围是
A. B.
C. D.
- 设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则，，的大小关系是
A. B.
C. D.
- 已知函数是奇函数，则的值为
A. 0 B. C. D.
- 某函数的图象如图，其对应的解析式可能为
A. B.
C. D.
- 已知函数为奇函数，则
A. B. C. D.
二、多选题
- 若函数同时满足：对于定义域上的任意x，恒有
对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中能被称为“理想函数”的有
A. B.
C. D.
- 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
- 对于定义在R上的函数，下列判断中错误的有
A. 若，则函数是R上的增函数
B. 若，则函数不是偶函数
C. 若，则函数是奇函数
D. 若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则是R上的增函数
- 如果是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是
A. B. C. D.
三、填空题
- 已知函数为奇函数，且当时，，则的值为________．
- 已知偶函数，，则________________．
- 已知是R上的奇函数，当时，，则的解析式是________________．
- 已知函数是偶函数，且定义域为，那么 ．
四、解答题
- 已知函数定义在R上的奇函数，且时，．
当时，求的解析式；
画出在R上的图象，并指出它的单调递增区间不用证明．
- 已知函数是奇函数．
求实数m的值；
若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
- 若函数是奇函数，且．
求a、b的值及；
判断函数f在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论．
5.4函数的奇偶性（A）课后练习
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
- 已知在定义域R上的奇函数，且在上是增函数，则使成立的x的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据题意，分析可得函数在R上为增函数，则可以将原不等式变形可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
【解答】解：根据题意，是奇函数且在上是增函数，
则函数函数在上也是增函数，
则函数在R上为增函数；
，若，则，即不成立；
若，则，而，不成立；
，
解可得：，
即x的取值范围是，
- 下列函数中，为偶函数的是
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
本题考查函数的奇偶性，利用定义逐一分析求解即可．
【解答】
解： 对于A，函数是非奇非偶函数
对于B，是奇函数
对于C，满足，且定义域为R，所以是偶函数
对于D，是奇函数．
- 已知偶函数在上单调递减，则满足的x的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】
本题考查函数奇偶性与单调性综合应用，注意将转化为关于x的不等式，属于基础题．
根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，偶函数在上为减函数，
则
，
解得：或，
即x的取值范围是，
- 设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则，，的大小关系是
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】
本题考查函数的奇偶性及函数的单调性，先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小关系．
【解答】
解：是定义域为R的偶函数，
，，
函数在上是增函数，
，
即．
- 已知函数是奇函数，则的值为
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【分析】
利用分段函数解析式，再利用函数的奇偶性，化简求解即可．
【解答】
解：因为函数是奇函数，
，
- 某函数的图象如图，其对应的解析式可能为
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】
此题考查确定函数解析式，函数的性质及函数图象的应用，属于基础题．
可利用函数的的奇偶性、定义域，已经函数值的符号逐一检验．
【解答】
解：由函数图象可知，函数为偶函数，
又，所以排除B、C，
当时，原图象中，而选项D，，故排除D；
- 已知函数为奇函数，则
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性，求函数值，属基础题．
先根据奇函数求出a的值，再求得解．
【解答】
解：由函数定义域为R，且为奇函数，
可得
经检验，当时，函数是奇函数．
所以．
二、多选题
- 若函数同时满足：对于定义域上的任意x，恒有
对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中能被称为“理想函数”的有
A. B.
C. D.
【答案】CD
【分析】
本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．
【解答】
解：函数同时满足对于定义域上的任意x，恒有
对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”，
“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
在A中，不是奇函数，故A不是“理想函数”
在B中，是偶函数不是奇函数，故B不是“理想函数”
在C中，是奇函数，且是减函数，故C能被称为“理想函数”．
在D中，，是奇函数，且是减函数，故D能被称为“理想函数”．
- 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】CD
【分析】
本题考察函数的单调性与单调区间及函数的奇偶性根据函数的单调性与奇偶性定义对选项逐一分析可得．
【解答】
解：对于A，为奇函数，不符合题意；
对于B，为偶函数，在区间上单调递减，不符合题意；
对于C，，既是偶函数，又在区间上单调递增，符合题意；
对于D，为偶函数，时，，在区间上单调递增，符合题意．
- 对于定义在R上的函数，下列判断中错误的有
A. 若，则函数是R上的增函数
B. 若，则函数不是偶函数
C. 若，则函数是奇函数
D. 若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则是R上的增函数
【答案】ACD
【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义及性质．
由，不能判定在R 上是增函数，可判断A；根据偶函数的定义可判断B；反例：，满足，但不是奇函数可判断C；结合分段函数，例如，即可判断D．
【解答】
解：A 选项，由，不能判定在R 上是增函数，所以错误；
B 选项，根据偶函数的定义可知B正确；
C 选项，，满足，但不是奇函数，所以错误；
D 选项，该函数为分段函数，在 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，例如函数，故错误．
- 如果是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是
A. B. C. D.
【答案】BD
【分析】
本题考查了函数奇偶性的性质和奇偶性的判断，属于基础题．逐个计算，观察与的关系得出答案．
【解答】
解：是奇函数，．
令，
对于A，，
是奇函数．
对于B，，
是偶函数．
对于C，
为非奇非偶函数，
对于D，，
是偶函数．
三、填空题
- 已知函数为奇函数，且当时，，则的值为________．
【答案】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性的知识，属于基础题．
【解答】
解：函数是定义在 R上的奇函数，
，
．
- 已知偶函数，，则________________．
【答案】
【分析】
此题直接利用函数的奇偶性即可求解此题．
- 已知是R上的奇函数，当时，，则的解析式是________________．
【答案】
【分析】
本题考查函数解析式的求解，涉及函数的奇偶性和整体的思想，属基础题．
由奇函数的性质易得，由题意和函数的奇偶性可得当时的解析式，综合可得答案．
【解答】
解：为R上的奇函数，
，
设，则，
当时，，
，
即，
当时，．
综上可得的解析式为：．
- 已知函数是偶函数，且定义域为，那么 ．
【答案】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，属基础题．
首先根据奇偶函数的定义域的对称性求得a的值，然后根据偶函数的定义，从解析式得到b的值，进而求和．
【解答】
解：偶函数的定义域首先是关于0对称的，
的定义域为，
所以，解得，
此时函数的定义域为，
根据偶函数的定义对于定义域内的任意x，恒成立，
即，
整理得恒成立，．
所以，，
四、解答题
- 已知函数定义在R上的奇函数，且时，．
当时，求的解析式；
画出在R上的图象，并指出它的单调递增区间不用证明．
【分析】设时，则，是定义在R上的奇函数，所以可得；
很容易画出函数的图象，由图象可以写出函数的增区间．
【解答】解：设时，则，
因为时，，且是定义在R上的奇函数
所以，
即时，
在R 上的图象如下图所示：
由图可知：递增区间为， ．
- 已知函数是奇函数．
求实数m的值；
若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
【分析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．属基础题．
根据函数为奇函数，设得到，进而得到的解析式，求得m的值．
根据中的解析式，可画出的图象，根据图象可知要使在上单调递增，则需且，进而求得a的范围．
【解答】解：设，则，
所以，
又为奇函数，
所以，
于是时，，
所以．
作出函数的图象，如图所示，
要使在上单调递增，
结合的图象知
所以，
故实数a的取值范围是．
- 若函数是奇函数，且．
求a、b的值及；
判断函数f在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论．
【分析】本题考查了函数性质，应用定义解决问题，仔细化简判断．
根据函数奇偶性定义求解．
根据函数单调性定义求解证明．
【解答】解：函数在R上是奇函数，
，，
又，即，
，；
根据对勾函数性质可判断在为减函数，且为，
所以在上为增函数，
证明：设实数，
，
，
，，，
，
， 即，
所以在上为增函数，
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