2020-2021学年第二十八章 锐角三角函数综合与测试课堂检测

这是一份2020-2021学年第二十八章 锐角三角函数综合与测试课堂检测，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．tan 30°的值等于（A）
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D．2
2．已知2cs α－eq \r(3)＝0，且α是锐角，则α＝（A）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，则此斜坡的水平距离AC为（A）
A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m
4．如图是横断面为梯形的河坝，根据图中数据，若AB＝(9＋4eq \r(3))m，则斜坡BC的坡比等于（D）
A．1∶2 B.eq \r(3)∶2 C.eq \r(3)∶1 D.eq \r(3)∶3
5．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cs α＝eq \f(5,13)，则点P的坐标为（B）
A．(5，13) B．(5，12) C．(13，5) D．(12，5)
6．(仁寿县期末)等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶eq \r(3)，则它的顶角为（C）
A．30° B．45° C．60° D．120°
7．已知锐角α满足eq \f(1,2)A．0°<α<30° B．30°<α<45°
C．45°<α<60° D．60°<α<90°
8．如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的正弦值是（A）
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
9．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝100 m，则A，B两点相距（A）
A．100(cs 35°＋sin 35°)m
B．100(cs 35°－sin 35°)m
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(100,sin 35°)＋\f(100,cs 35°)))m
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(100,sin 35°)－\f(100,cs 35°)))m
10．图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（A）
A.eq \f(1,sin2α)＋1 B．sin2α＋1 C.eq \f(1,cs2α)＋1 D．cs2α＋1
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，小明想知道校园内一棵大树的高，他测得CB＝10 m，∠ACB＝60°，请帮他算出树高AB为10eq \r(3)m.(保留根号)
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cs B＝eq \f(2,3)，则BC的长为4.
13．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝eq \f(4,3)，则sin A＋cs A＝eq \f(7,5).
14．如图，∠DBC＝30°，AB＝DB，利用此图求tan 75°＝eq \r(3)＋2.
15．如图，有一个底面直径与杯高均为15 cm的杯子里面盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面21.15cm.(sin 52°≈0.79，cs 52°≈0.62，tan 52°≈1.28)
16．(建为县期末)如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝5，cs C＝eq \f(3,5)，则AB边的长为8.
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD.如果AD＝2，那么tan ∠BCD＝eq \r(2)－1.
18．某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60 m到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则BC约为82.0m；信号发射塔PQ的高度约为94.6m.(结果精确到0.1 m，eq \r(3)≈1.732)
【解析】设PC＝x，则AC＝x，BC＝eq \f(\r(3),3)x，∴x－eq \f(\r(3),3)x＝60.解得PC，BC，再由QC＝eq \f(\r(3),3)BC，PQ＝PC－QC，即可得出答案．
三、解答题(共66分)
19．(8分)计算：
sin 60° ·cs 30°＋sin245°－tan 45°.
解：原式＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)－1＝eq \f(1,4).
20．(10分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件进行计算：
(1)b＝20，∠B＝45°，求a，c；
(2)a＝50eq \r(3)，b＝50，求∠A，∠B.
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，∴∠A＝45°，∴∠A＝∠B，∴a＝b＝20.
又∵a2＋b2＝c2，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝20eq \r(2).
(2)∵a＝50eq \r(3)，b＝50，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝100.
又∵sin A＝eq \f(a,c)＝eq \f(50\r(3),100)＝eq \f(\r(3),2)，∴∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°.
21．(10分)如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5 m，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3 m，求无人机飞行的高度．(结果精确到1 m，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)
解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C.设AC＝x m，由题意得PQ＝5 m，
∠APC＝30°，∠BQC＝45°.在Rt△APC中，
tan∠APC＝eq \f(AC,PC)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，
∴PC＝eq \r(3)AC＝eq \r(3)x(m)．在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝eq \f(BC,QC)＝tan 45°＝1，
∴QC＝BC＝AC＋AB＝(x＋3)m，∵PC－QC＝PQ＝5 m，
∴eq \r(3)x－(x＋3)＝5，解得x＝4(eq \r(3)＋1)，
∴BC＝4(eq \r(3)＋1)＋3＝4eq \r(3)＋7≈14(m)．
答：无人机飞行的高度约为14 m.
22．(12分)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证：DC＝DE；
(2)若tan∠CAB＝eq \f(1,2)，AB＝3，求BD的长．
(1)证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，
∴∠ACO＋∠DCE＝90°.
又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∠EAD＋∠E＝90°.
∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，∴∠DCE＝∠E，∴DC＝DE.
(2)解：连接CB，由题意知△BDC∽△CDA，
∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(CB,AC)＝tan∠CAB＝eq \f(1,2)，
设BD＝x，则CD＝2x，AD＝4x，AB＝3x＝3，∴x＝1，∴BD＝1.
23．(12分)2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处，且在C岛的北偏东59°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛232 km.此时，“雪龙2”船沿着AC方向以24 km/h的速度航行．请计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？
解：过点A作AD⊥BC于D，由题意知∠ABC＝28°＋25°＝53°，
∠ACB＝59°－28°＝31°，BC＝232 km，设AD＝x，在Rt△ABD中，∵∠ABD＝53°，
∴BD＝eq \f(AD,tan∠ABD)＝eq \f(AD,tan 53°)≈eq \f(3,4)x，在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝31°，∴CD＝eq \f(AD,tan∠ACD)＝eq \f(AD,tan 31°)＝eq \f(5,3)x，∵BD＋CD＝BC，
∴eq \f(3,4)x＋eq \f(5,3)x＝232，解得x＝96，∴AD＝96(km)，∴AC≈2AD＝192(km)，∴192÷24＝8(h)，∴9＋8＝17.
答：“雪龙2”船大约17点钟到达C岛．
24．(14分)我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系，为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往需要构造直角三角形．例如，已知tan α＝eq \f(1,3)(0°＜α＜90°)，tan β＝eq \f(1,2)(0°＜β＜90°)，求α＋β的度数，我们就可以在图①的方格纸中构造Rt△ABC和Rt△AED来解决．
(1)利用图①可得α＋β＝45°；
(2)若tan 2α＝eq \f(3,4)(0°＜α＜45°)，请在图②的方格纸中构造直角三角形，求tan α的值．
解：(1)提示：连接CD，证△ACD是等腰直角三角形，则∠CAD＝45°，即α＋β＝45°.
(2)构造如图所示的Rt△ABC，AC＝3，CB＝4，AB＝5，
设∠ABC＝2α，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan 2α＝tan∠ABC＝eq \f(3,4)，延长CB到点D，使BD＝AB＝5，
∴∠BAD＝∠D＝eq \f(1,2)∠ABC＝α，在Rt△ADC中，∠C＝90°，∴tan α＝tan D＝eq \f(AC,CD)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).