人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试同步练习题

这是一份人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试同步练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．cs60°的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(3,2)
2．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(13,12)

第2题图 第5题图
3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则cseq \f(A,2)的值是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(5,4)
4．已知α为锐角，且2sin(α－10°)＝eq \r(3)，则α等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中错误的是( )
A．sinα＝csα B．tanC＝2 C．sinβ＝csβ D．tanα＝1
6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米

第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为( )
A．50eq \r(3)米 B．51米 C．(50eq \r(3)＋1)米 D．101米
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
9．如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )
A．20(eq \r(3)＋1)米/秒 B．20(eq \r(3)－1)米/秒
C．200米/秒 D．300米/秒

第9题图 第10题图
10．如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B.若反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，则k的值为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanB＝________．
12．在△ABC中，AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，则sinA＋sinB＝________．
13．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝eq \f(\r(3),2)，csB＝eq \f(1,2)，则∠C＝________.
14．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则csθ＝________．
15．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧eq \(AB,\s\up8(︵))上的一点(不与A、B重合)，则csC的值为________．

第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米(精确到1米，参考数据：eq \r(3)≈1.73)．
17．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12eq \r(3)米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝eq \f(3,13)eq \r(3)，则CE的长为________米．
18．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝eq \f(1,3)，tan∠BA3C＝eq \f(1,7)，计算tan∠BA4C＝________，…按此规律，写出tan∠BAnC＝________(用含n的代数式表示)．
三、解答题(共66分)
19．(8分)计算：
(1)3tan30°＋cs245°－2sin60°； (2)tan260°－2sin45°＋cs60°.
20．(8分)根据下列条件解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8eq \r(3)，∠A＝60°；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3eq \r(6)，b＝9eq \r(2).
21.(8分)如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A—B—D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长(参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，eq \r(2)≈1.41)．
22．(10分)已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sinB－\f(\r(3),2)))＝0.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求(1＋sinA)2－2eq \r(csB)－(3＋tanC)0的值．
23．(10分)小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，
sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，
sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，
sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，
sin245°＋sin245°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＝1.
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.
(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立；
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
24．(10分)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：eq \r(3)≈1.73)．
25．(12分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100(eq \r(3)＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)?
参考答案与解析
1．A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A
10．C 解析：设点C的坐标为(x，y)，作CD⊥BO′交边BO′于点D.∵tan∠BAO＝2，∴eq \f(BO,AO)＝2.∵S△ABO＝eq \f(1,2)·AO·BO＝4，∴AO＝2，BO＝4.∵△ABO≌△A′BO′，∴A′O′＝AO＝2，BO′＝BO＝4.∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD＝eq \f(1,2)A′O′＝1，BD＝eq \f(1,2)BO′＝2，∴y＝BO－CD＝4－1＝3，x＝BD＝2，∴k＝xy＝2×3＝6.
11.eq \f(12,5) 12.eq \f(7,5) 13.60° 14.eq \f(4,5) 15.eq \f(4,5) 16.208 17.8
18.eq \f(1,13) eq \f(1,n2－n＋1) 解析：如图，作CH⊥BA4于H，由勾股定理得BA4＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17)，A4C＝eq \r(10).∵S△BA4C＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，∴eq \f(1,2)×eq \r(17)×CH＝eq \f(1,2)，解得CH＝eq \f(\r(17),17)，则A4H＝eq \r(A4C2－CH2)＝eq \f(13\r(17),17)，∴tan∠BA4C＝eq \f(CH,A4H)＝eq \f(1,13).∵1＝12－1＋1，3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，13＝42－4＋1，∴tan∠BAnC＝eq \f(1,n2－n＋1)，故答案为eq \f(1,13)，eq \f(1,n2－n＋1).
19．解：(1)原式＝3×eq \f(\r(3),3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)－2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)＋eq \f(1,2)－eq \r(3)＝eq \f(1,2).(4分)
(2)原式＝(eq \r(3))2－2×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)＝3－eq \r(2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)－eq \r(2).(8分)
20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4eq \r(3).(4分)
(2)∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6eq \r(6).(8分)
21．解：在Rt△ABC中，∵AB＝600m，∠ABC＝75°，∴BC＝AB·cs75°≈600×0.26＝156(m)．(3分)在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°，∴DF＝BD·sin45°＝600×eq \f(\r(2),2)≈300×1.41＝423(m)．(6分)∵四边形BCEF是矩形，∴EF＝BC＝156(m)，∴DE＝DF＋EF＝423＋156＝579(m)．(7分)
答：DE的长为579m.(8分)
22．解：(1)∵(1－tanA)2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sinB－\f(\r(3),2)))＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq \f(\r(3),2)，(2分)∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．(5分)
(2)∵∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)－2eq \r(\f(1,2))－1＝eq \f(1,2).(10分)
23．解：(1)当α＝30°时，sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1.(5分)
(2)小明的猜想成立，(6分)证明如下：如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α，∴sin2α＋sin2(90°－α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BC,AB)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,AB)))eq \s\up12(2)＝eq \f(BC2＋AC2,AB2)＝eq \f(AB2,AB2)＝1.(10分)
24．解：设每层楼高为x米，由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(米)，∴DC′＝(5x＋1)米，EC′＝(4x＋1)米．(3分)在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝eq \f(DC′,tan60°)＝eq \f(\r(3),3)(5x＋1)米．(4分)在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝eq \f(EC′,tan30°)＝eq \r(3)(4x＋1)米．(6分)∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴eq \r(3)(4x＋1)－eq \f(\r(3),3)(5x＋1)＝14，(8分)解得x≈3.17，则居民楼高为5×3.17＋2.5≈18.4(米)．(10分)
解：(1)如图，作CE⊥AB.设AE＝x海里，在Rt△AEC中，∠CAE＝60°，∴CE＝AE·tan60°＝eq \r(3)x海里，AC＝eq \f(AE,cs60°)＝2x海里．(2分)在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴BE＝CE＝eq \r(3)x海里．∵AB＝AE＋BE＝100(eq \r(3)＋1)海里，∴x＋eq \r(3)x＝100(eq \r(3)＋1)，解得x＝100.∴AC＝200海里．(4分)在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°.过点D作DF⊥AC于点F.设AF＝y海里，则DF＝CF＝eq \r(3)y海里．(6分)∵AC＝AF＋CF＝200海里，∴y＋eq \r(3)y＝200，解得y＝100(eq \r(3)－1)，∴AD＝2y＝200(eq \r(3)－1)海里．(8分)
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(eq \r(3)－1)海里．(9分)
(2)由(1)可知DF＝eq \r(3)AF＝eq \r(3)×100(eq \r(3)－1)≈127(海里)．(11分)∵127海里＞100海里，∴巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中没有触暗礁危险．(12分)
题号
一
二
三
总分
得分