九年级数学下册期中检测题

(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间：120分钟，赋分：120分)

分数：________

第Ⅰ卷(选择题　共36分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

1．下列函数中，属于二次函数的是                   (　B　)

A．y＝

B．y＝－2(x＋1)(x－2)

C．y＝3x＋2

D．y＝

2．(成都中考)二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法中正确的是                             (　D　)

A．抛物线开口向下

B．抛物线经过点(2，3)

C．抛物线的对称轴是直线x＝1

D．抛物线与x轴有两个交点

3．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝                           (　B　)

A．10°    B．20°    C．30°    D．40°

第3题图

4．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6 ，则该莱洛三角形的周长为                                      (　B　)

A．4π    B．6π    C．8π    D．10π

                        第4题图

5．如图，以▱ABCD的一边为直径作⊙O，⊙O过点C，若∠AOC＝70°，那么∠BAD＝                                (　A　)

A．145°    B．140°    C．135°    D．130°

第5题图

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y＝－与一次函数y＝bx－c在同一坐标系内的图象大致是      (　C　)

                       　第6题图

7．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos ∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为                                              (　D　)

A．1        B．         C．3           D．

第7题图

8．点A(－3，y1)，B(0，y2)，C(3，y3)是二次函数y＝－(x＋2)2＋m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是               (　C　)

A．y1＜y2＜y3               B．y1＝y3＜y2

C．y3＜y2＜y1               D．y1＜y3＜y2

9．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是       (　B　)

A．2        B．         C．          D．

                        第9题图

10．已知二次函数y＝x2－4x＋a，下列说法中错误的是    (　C　)

A．当x<1时，y随x的增大而减小

B．若图象与x轴有交点，则a≤4

C．当a＝3时，不等式x2－4x＋3>0的解集是1<x<3

D．若将图象向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后过点(1，－2)，则a＝－3

11．如图，P为⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD.已知PC＝PD＝BC.有下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数为                            (　A　)

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

第11题图

12．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝1.有下列结论：①abc>0；②4a＋2b＋c>0；③4ac－b2<8a；④<a<；⑤b>c.其中含所有正确结论的选项是          

(　D　)

A．①③    B．①③④   C．②④⑤    D．①③④⑤

　第12题图

第Ⅱ卷　(非选择题　共84分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

13．已知二次函数y＝a(x－h)2的图象是由抛物线y＝－2x2向左平移3个单位得到的，则a＝__－2__，h＝__－3__．

14．已知点P(a，m)和Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝__－2__．

15．已知⊙A的半径为5，圆心A(3，4)，坐标原点O与⊙A的位置关系是__点O在⊙A上__．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为，图中阴影部分面积是__2π__．

第16题图

17．(成都中考)如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H.若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝____．

                           第17题图

18．如果二次函数y＝x2＋b(b为常数)与正比例函数y＝2x的图象在－1≤x≤2时有且只有一个交点，那么常数b的值应为__－3≤b＜0或b＝1__．

三、解答题(本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19．(本题满分10分)已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，求函数图象与x轴的另一个交点坐标．

解：把点(－1，0)，(1，－2)分别代入y＝x2＋bx＋c得

　解得

∴函数表达式为y＝x2－x－2.

令y＝0得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.

∴函数图象与x轴的另一个交点坐标为(2，0).

20．(本题满分5分)如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝2 cm，

(1)求∠BAC的度数为__60°__；

(2)求⊙O的周长．

解：过O作OE⊥AC于E，连接OA，OC，

∵∠ACB＝∠BDC＝∠BAC＝60°，

∴∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，∴∠AOC＝120°，

∴∠AOE＝60°，

∵OE⊥AC，AC＝2 cm，∴AE＝ cm，

∴OA＝2 cm，

∴⊙O的周长＝2π·OA＝2π×2＝4π(cm).

21．(本题满分6分)已知二次函数y＝－x2＋(m－2)x＋m＋1.

(1)求证：无论m取何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；

(2)m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

(1)证明：∵Δ＝(m－2)2－4×(－1)×(m＋1)＝m2＋8＞0，

∴无论m取何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．

(2)解：∵x1＋x2＝m－2＜0，

∴m＜2.

∵x1x2＝－m－1＞0，∴m＜－1.

又∵Δ＞0，

∴当m＜－1时，两个交点都在原点左侧．

22．(本题满分8分)如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60 m，拱高PM为18 m，当洪水泛滥到跨度只有30 m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4 m，即PN＝4 m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．

解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OA′，设半径为x m，

则OA＝OA′＝OP，

由垂径定理可知

AM＝BM，A′N＝B′N，

∵AB＝60 m，

∴AM＝30 m，且OM＝OP－PM＝(x－18)m.

在Rt△AOM中，由勾股定理可得

AO2＝OM2＋AM2，

即x2＝(x－18)2＋302，解得x＝34，

∴ON＝OP－PN＝34－4＝30(m).

在Rt△A′ON中，由勾股定理可得

A′N＝＝＝16(m)，

∴A′B′＝32 m＞30 m，

∴不需要采取紧急措施．

23．(本题满分8分)如图，在⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，点P在弧AB上运动(不与A，B重合)，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.

(1)试猜想：△PCQ与△ACB具有何种关系？(不要求证明)

(2)当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCB，并给出证明．

解：(1)△PCQ∽△ACB.

理由：∵CP⊥CQ，AB是⊙O的直径，

∴∠PCQ＝∠ACB＝90°，

∵∠A＝∠P，

∴△PCQ∽△ACB.

(2)当PC过圆心时，△ABC≌△PCB.

证明：∵PC和AB都是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠PBC＝90°，且AB＝PC，

又∠A＝∠P，∴△ABC≌△PCB.

24．(本题满分8分)(雅安中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心OC为半径作半圆．

(1)求证：AB为⊙O的切线；

(2)如果tan ∠CAO＝，求cos B的值．

(1)证明：过O作OD⊥AB于点D.

∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，

∴OD＝OC.

∵OC是⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线．

(2)解：∵∠ACB＝90°，

∴AC是⊙O的切线，AC＝AD.

在Rt△ABC和Rt△OBD中，

∵∠ABC＝∠OBD.∴△ABC∽△OBD，

∴＝＝＝tan ∠CAO＝.

∵OC＝OD＝1，∴AC＝AD＝3.

设OB为x，则AB＝3x，

∴BD＝AB－AD＝3x－3.

在Rt△ODB中，OB2＝OD2＋DB2，

即x2＝12＋(3x－3)2，

解得x1＝，x2＝1(不合题意，舍去)，

∴DB＝，∴cos B＝＝.

25．(本题满分11分)我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．

(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)当售价x(元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？

解：(1)根据题中条件销售价每降低10元，

月销售量就可多售出50台，

则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式为

y＝200＋50×，化简得y＝－5x＋2 200.

∵供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，

代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务，

∴解得300≤x≤350，

∴y与x之间的函数关系式为

y＝－5x＋2 200(300≤x≤350).

(2)w＝(x－200)(－5x＋2 200)，

整理得w＝－5(x－320)2＋72 000.

∵x＝320在300≤x≤350内，

∴当x＝320时，最大值为72 000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72 000元．

26．(本题满分10分)如图，已知抛物线y＝x2＋4x＋4＋m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y＝kx＋b的与二次函数交于A，B两点，且A点坐标为(－1，0).

(1)求二次函数与一次函数的表达式；

(2)若抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小，求P点的坐标及△PAC周长的最小值．

解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y＝x2＋4x＋4＋m上，

∴m＝－1，

∴二次函数的表达式为

y＝x2＋4x＋3，

∴C点的坐标为(0，3)，则B点的坐标为(－4，3).

设直线AB的表达式为y＝kx＋b，

把A点(－1，0)，B点(－4，3)代入得

解得

∴直线AB的表达式为y＝－x－1，

即一次函数的表达式是y＝－x－1，二次函数的表达式为y＝x2＋4x＋3.

(2)二次函数y＝x2＋4x＋3的对称轴为直线

x＝－＝－2，由题意可知C和B关于对称轴x＝－2对称，直线AB交直线x＝－2于P，此时PA＋PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，∴把x＝－2代入y＝－x－1得y＝1，

∴P(－2，1).

∵A(－1，0)，B(－4，3)，C(0，3)，

∴AB＝＝3，

AC＝＝，

∴△PAC周长的最小值为AB＋AC＝3＋.