人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试课堂检测

这是一份人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试课堂检测，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每题4分，共40分)
1．cs 45°的值等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cs A的值是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,3)
3．如图，要测量河两岸A，C两点间的距离，已知AC⊥AB，测得AB＝a，∠ABC＝α，那么AC等于( )
A．a·sin α B．a·cs α
C．a·tan α D.eq \f(a,sin α)

(第3题) (第5题) (第6题)
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列式子一定成立的是( )
A．a＝c·sin B B．a＝c·cs B
C．b＝c·sin A D．b＝eq \f(a,tan B)
5．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是eq \f(4,3)，则sinα的值是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(5,4) C.eq \f(3,5) D.eq \f(5,3)
6．如图所示，在△ABC中， cs B＝eq \f(\r(2),2)，sin C＝eq \f(3,5)，BC＝7，则△ABC的面积是( )
A.eq \f(21,2) B．12 C．14 D．21
7．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cs A＝eq \f(3,5)，BE＝2，则tan ∠DBE的值是( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),5)
8．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝( )
A．1 B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \r(3) D.eq \f(4\r(3),3)

(第7题) (第8题) (第10题)
9．阅读材料：因为cs 0°＝1，cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，cs 60°＝eq \f(1,2)，cs 90°＝0，所以，当0°＜α＜90°时，csα随α的增大而减小．解决问题：已知∠A为锐角，且cs A＜eq \f(1,2)，那么∠A的取值范围是( )
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜90°
10．如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶eq \r(3)，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为( )
A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m
二、填空题(每题5分，共20分)
11．若∠A是锐角，且sinA是方程2x2－x＝0的一个根，则sinA＝________．
12．如图所示，在等腰三角形ABC中，tan A＝eq \f(\r(3),3)，AB＝BC＝8，则AB边上的高CD的长是________．[来源:学*科*网]
(第12题)

(第13题)
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC对称，若DM＝1，则tan ∠ADN＝________．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且sin 30°＝eq \f(1,2)，sin 45°＝eq \f(\r(2),2)，sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，cs 60°＝eq \f(1,2)；观察上述等式，当∠A与∠B互余时，请写出∠A的正弦函数值与∠B的余弦函数值之间的关系：______________．
三、解答题(19～21题每题12分，22题14分，其余每题10分，共90分)
15．计算：
(1)2sin 30°＋eq \r(2)cs 45°－eq \r(3)tan 60°； (2)tan230°＋cs230°－sin245°tan 45°.
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠B＝60°，解这个直角三角形．
17．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝eq \f(1,3)，cs C＝eq \f(\r(2),2)，AC＝eq \r(2).求：
(1)BC的长；
(2)sin ∠ADC的值．
(第17题)
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cs∠DAC.
(1)求证：AC＝BD；
(1)若sin C＝eq \f(12,13)，BC＝12，求△ABC的面积．
(第18题)
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，AD＝7，tan A＝2.求CD的长．
(第19题)
20．如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点，已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米(AB垂直地面BC)，在地面C处测得点E的仰角α＝45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°，求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米，参考数据eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)
(第20题)
21．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图是一辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.(参考数据：sin 75°≈0.966，cs 75°≈0.259，tan 75°≈3.732)
(1)求车架档AD的长；
(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm)．
(第21题)
22．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)．
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备．工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
(参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)
(第22题)
答案
一、1.B
2．B 点拨：由余弦定义可得cs A＝eq \f(AC,AB)，因为AB＝10，AC＝6，所以cs A＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，故选B.
3．C 点拨：因为tan α＝eq \f(AC,AB)，所以AC＝AB·tan α＝a·tan α.
4．B 点拨：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据余弦的定义可得，cs B＝eq \f(a,c)，即a＝c·cs B.
5．A 点拨：由题意可知m＝4.根据勾股定理可得OP＝5，所以sin α＝eq \f(4,5).
6．A 点拨：过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝3x，∵cs B＝eq \f(\r(2),2)，∴∠B＝45°，则BD＝AD＝3x.又sin C＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(3,5)，∴AC＝5x，则CD＝4x.∵BC＝BD＋CD＝3x＋4x＝7，∴x＝1，AD＝3，故S△ABC＝eq \f(1,2)AD·BC＝eq \f(21,2).
7．B
8．C 点拨：设BD＝x，则CD＝2－x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴DE＝BDsin 60°＝eq \f(\r(3),2)x，DF＝CDsin 60°＝eq \f(2\r(3)－\r(3)x,2).∴DE＋DF＝eq \f(\r(3),2)x＋eq \f(2\r(3)－\r(3)x,2)＝eq \r(3).
9．C 点拨：由0＜cs A＜eq \f(1,2)，得cs 90°＜cs A＜cs 60°，故60°＜∠A＜90°.
10．D 点拨：过点A作AF⊥DE于点F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝3 m．设DE＝x m，在Rt△CDE中，CE＝eq \f(DE,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)x m．在Rt△ABC中，∵eq \f(AB,BC)＝eq \f(1,\r(3))，AB＝3 m，∴BC＝3eq \r(3) m．在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝(x－3) m，∴AF＝eq \f(DF,tan 30°)＝eq \r(3)(x－3) m．∵AF＝BE＝BC＋CE，∴eq \r(3)(x－3)＝3eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)x，解得x＝9，∴这棵树DE的高度为9 m.
二、11.eq \f(1,2) 点拨：解方程2x2－x＝0，得x＝0或x＝eq \f(1,2).因为∠A是锐角，所以0＜sin A＜1，所以sin A＝eq \f(1,2).[来源:学§科§网Z§X§X§K]
12．4eq \r(3) 点拨：∵tan A＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°.又AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝30°，∴∠DBC＝60°，∴CD＝BC·sin∠DBC＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3).
(第13题)
13.eq \f(4,3) 点拨：如图，过N作NG⊥AD于点G.∵正方形ABCD的边长为4，M，N关于AC对称，DM＝1，∴MC＝NC＝3，∴GD＝3.而GN＝AB＝4，∴tan ∠ADN＝eq \f(GN,GD)＝eq \f(4,3).
14．sin A＝cs B
三、15.解：(1)原式＝2×eq \f(1,2)＋eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)－eq \r(3)×eq \r(3)
＝ 1＋1－3[来源:Z#xx#k.Cm]
＝ －1.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)×1
＝ eq \f(1,3)＋eq \f(3,4)－eq \f(1,2)
＝ eq \f(7,12).
16．解：因为∠B＝60°，所以∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
因为sin A＝eq \f(BC,AB)，所以eq \f(1,2)＝eq \f(6,AB)，得AB＝12.
因为tan B＝eq \f(AC,BC)，所以eq \r(3)＝eq \f(AC,6)，得AC＝6eq \r(3).
(第17题)
17．解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵cs C＝eq \f(\r(2),2)，∴∠C＝45°.
在Rt△ACE中，CE＝AC·cs C＝1，
∴AE＝CE＝1.
在Rt△ABE中，∵tan B＝eq \f(1,3)，∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(1,3).
∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4.
(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝eq \f(1,2)BC＝2.
∴DE＝CD－CE＝2－1＝1.∴DE＝AE.
又∵AE⊥BC，∴∠ADC＝45°.∴sin ∠ADC＝eq \f(\r(2),2).
18．(1)证明：∵AD⊥BC，∴tan B＝eq \f(AD,BD)，cs∠DAC＝eq \f(AD,AC).
又tan B＝cs∠DAC，∴eq \f(AD,BD)＝eq \f(AD,AC)，∴AC＝BD.
(2)解：由sin C＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(12,13)，可设AD＝12x，则AC＝13x，由勾股定理得CD＝5x.由(1)知AC＝BD，∴BD＝13x，∴BC＝5x＋13x＝12，解得x＝eq \f(2,3)，∴AD＝8，∴△ABC的面积为eq \f(1,2)×12×8＝48.
(第19题)
19．解：如图所示，延长AB、DC交于点E，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴∠A＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠ECB，∴tanA＝tan∠ECD＝2.∵AD＝7，∴DE＝14，设BC＝AB＝x，则BE＝2x，∴AE＝3x，CE＝eq \r(5)x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：(3x)2＝72＋142，解得x＝eq \f(7,3)eq \r(5)，∴CE＝eq \r(5)×eq \f(7,3)eq \r(5)＝eq \f(35,3)，则CD＝14－eq \f(35,3)＝eq \f(7,3).
20．解：在Rt△ADB中，tan 60°＝eq \f(123,DB)，[来源:学。科。网]
∴DB＝eq \f(123,\r(3))＝41eq \r(3)米．
又∵FB＝OE＝10米，
∴CF＝DB－FB＋CD＝41eq \r(3)－10＋40＝(41eq \r(3)＋30)(米)．
∵α＝45°，∴EF＝CF≈100米．
答：点E离地面的高度EF约为100米．
21．解：(1)在Rt△ACD中，AC＝45 cm，DC＝60 cm，
∴AD＝eq \r(452＋602)＝75(cm)，
∴车架档AD的长是75 cm.
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AE＝AC＋CE＝45＋20＝65(cm)，
∴EF＝AEsin 75°＝65 sin 75°≈62.79≈63(cm)，
∴车座点E到车架档AB的距离约为63 cm.
点拨：解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，通过构造直角三角形计算．
22．解：(1)由题意得∠E＝90°，∠PME＝α＝31°，∠PNE＝β＝45°，PE＝30米．
在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，
在Rt△PEM中，tan 31°＝eq \f(PE,ME)，∴ME≈eq \f(30,0.60)＝50(米)．
∴MN＝EM－EN≈50－30＝20(米)．
答：两渔船M，N之间的距离约为20米．
(2)如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米．
(第22题)
∵背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25，
∴AG＝24×0.25＝6(米)．
∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，
∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42(米)．
∴AH＝GH－GA＝42－6＝36(米)．
∴S△ADH＝eq \f(1,2)AH·DG＝eq \f(1,2)×36×24＝432(平方米)．
∴需要填筑的土石方为432×100＝43 200(立方米)．
设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米，
根据题意，得10＋eq \f(43 200－10x,2x)＝eq \f(43 200,x)－20.
解方程，得x＝864.
经检验：x＝864是原方程的根且符合题意．
答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．
题 号
一
二
三
总 分
得 分