高中人教A版 (2019)第六章 计数原理6.3 二项式定理教案

课程目标

学科素养

A.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.

B.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.

1.数学抽象：二项式系数的性质

2.逻辑推理：运用函数的观点讨论二项式系数的单调性

3.数学运算：运用二项式性质解决问题

4.几何直观：运用函数图像讨论二项式系数的性质

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    温故知新

1．二项式定理

(a＋b)n＝_________________________ (n∈N*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．

(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn

n＋1 ；C

2．二项展开式的通项公式

(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.

k＋1 ；Can－kbk

二、    新知探究

探究1：计算展开式的二项式系数并填入下表

二项式系数:

通过计算、填表、你发现了什么规律？

将上表写成如下形式：

思考：通过上表和上图，能发现什么规律？

展开式的二项式系数

我们还可以从函数的角度分析它们。可看成是以为自变量的函数，其定义域是

我们还可以画出它的图像。

例如，当时，

函数()的图像是7个离散的点，如图所示。

1.对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即

.

2.增减性与最大值

当k<时,随k的增加而增大;由对称性可知,当k>时,随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值.

探究2.已知 =

3.各二项式系数的和

+…+=2n.

令x=1 得=

所以，的展开式的各二项式系数之和为

1. 在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为　　　　　,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为　　　　　　　　. 

解析:因为(a+b)8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为a4b4=70a4b4.

因为(a+b)9的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为a5b4=126a5b4,a4b5=126a4b5.

答案:1.70a4b4　126a5b4与126a4b5　

2. A=+…与B=+…的大小关系是(　　)

A.A>B　　　B.A=B　　　C.A<B　　　D.不确定

解析:∵(1+1)n=+…+=2n,

(1-1)n=-…+(-1)n=0,

∴+…=+…=2n-1,即A=B.

答案:B

三、典例解析

例3.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

证明:在展开式

=中，

令a=1,b=-1，得

即

因此

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.

(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),

奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,

偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.

跟踪训练1. 在(2x-3y)9的展开式中,求:

(1)二项式系数之和;

(2)各项系数之和;

(3)所有奇数项系数之和.

解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.

(1)二项式系数之和为+…+=29=512.

(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,

令x=1,y=1,

所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.

(3)令x=1,y=-1,可得

a0-a1+a2-…-a9=59,

又a0+a1+a2+…+a9=-1,

将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8==976 562,

即所有奇数项系数之和为976 562.

例4.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和

系数最大的项.

解:T6=·(2x)5,T7=·(2x)6,依题意有

·25=·26,解得n=8.

∴在(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为

T5=·(2x)4=1 120x4.

设第k+1项的系数最大,则有

解得5≤k≤6.

∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).

∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.

求二项展开式中系数的最值的方法

(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.

(2)若二项展开式的系数为f(k)=·mg(k)的形式.

如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数

最大,应用解出k,即得系数最大的项.

跟踪训练2.已知的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.

(1)求该展开式中所有有理项的个数;

(2)求该展开式中系数最大的项.

解:(1)由题意可知+1=6,

∴n=10.

∴Tk+1=2kx-2k=2k(0≤k≤10,且k∈N),要求该展开式中的有理项,只需令∈Z.

∴k=0,2,4,6,8,10.∴有理项的个数为6.

(2)设第Tk+1项的系数最大,

则解不等式组得≤k≤.

∵k∈N,∴k=7.

∴展开式中系数最大的项为T8=27=15 360.

通过回顾二项式定理，从数学知识内部提出问题，引导学生观察、发现二项式系数的性质。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

让学生亲身经历了从特殊到一般，获得二项式性质的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典例解析，让学生体会利用二项式系数的性质，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为(　　)

A.第6项   B.第7项     C.第8项 D.第9项

解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.

答案:C

2.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于(　　)

A.64   B.32     C.63               D.31

解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.

则=32.

答案:B

3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(　　)

A.212       B.211       C.210          D.29

解析:因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,

所以,解得n=10,

所以二项式(1+x)10中奇数项的二项式系数和为×210=29.

答案:D

4.已知+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为　　　　. 

解析:由=37,得1+n+n(n-1)=37,

解得n=8(负值舍去),

则第5项的二项式系数最大,

T5=×(2x)4=x4,该项的系数为.

答案:

5.已知+2xn,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数.

解:∵=2,

∴n=7或n=14,

当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,

T4的系数为×4×23=,T5的系数为×3×24=70;

当n=14时,展开式中二项式系数最大项是T8,T8的系数为

×7×27=3 432.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。