天津河西区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题

天津河西区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编 03 解答题

三、解答题

49．（2022·天津河西·八年级期末）（1）计算；

（2）分解因式：．

50．（2022·天津河西·八年级期末）若，，求的值．

51．（2022·天津河西·八年级期末）已知等腰三角形底边长为，底边上的高的长为，求作这个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

52．（2022·天津河西·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数．

53．（2022·天津河西·八年级期末）如图，已知，，与相交于点，求证：．

54．（2022·天津河西·八年级期末）（注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，直接进行解答即可．）

天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．

(1)若设骑车同学的速度为千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．

(2)列出方程（组），并求出问题的解．

55．（2022·天津河西·八年级期末）已知是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点．

(1)如图①，当时，以BE为边作等边三角形BEF，连接CF，求的度数和CF的长；

(2)如图②，以BE为边作等边三角形BEF，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．

56．（2021·天津河西·八年级期末）（1）计算：；

（2）化简：．

57．（2021·天津河西·八年级期末）解方程．

58．（2021·天津河西·八年级期末）19、如图，在△ABC中，点D是BC上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求证∠BAD=∠CAD。

59．（2021·天津河西·八年级期末）如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得的值最小，画出图形并证明．

60．（2021·天津河西·八年级期末）天津市奥林匹克中心体育场—“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．

（1）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）

（2）列出方程（组），并求出问题的解．

61．（2021·天津河西·八年级期末）如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明DA﹣DB=DC．

62．（2021·天津河西·八年级期末）△ABC是边长为6的等边三角形， P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；

（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

63．（2019·天津河西·八年级期末）计算：（1）

（2）

64．（2019·天津河西·八年级期末）解分式方程：．

65．（2019·天津河西·八年级期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．

66．（2019·天津河西·八年级期末）（1）如图①，点在直线两侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小，简述画法、画出图形；

（2）如图②，点在直线同侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小，简述画法并画出示意图.

67．（2019·天津河西·八年级期末）一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

（1）设江水的流速为千米/时，填空：轮船顺流航行速度为_________千米/时，逆流航行速度为_________千米/时，顺流航行100千米所用时间为_________小时，逆流航行60千米所用时间为_________小时.

（2）列出方程，并求出问题的解.

68．（2019·天津河西·八年级期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历. 我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7.

（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；

（2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.

69．（2019·天津河西·八年级期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点.

（1）如图①，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标；

（2）如图②，在（I）的条件下，连接，求的度数；

（3）如图③，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值.

【答案】

49．（1）；（2）

【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可；

（2）根据公式法因式分解即可．

【详解】（1）解：

（2）

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，公式法因式分解，正确的计算是解题的关键．

50．，

【分析】先根据分式的加减进行化简，再将字母的值代入求解即可．

【详解】解：

当，，时，

原式

【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减运算是解题的关键．

51．见解析

【分析】根据题目要求画出线段a、h，再画△ABC，使AB＝a，△ABC的高为h；首先画一条射线，再画垂线，然后截取高，再画腰即可．

【详解】如图所示，

作图：①画射线AE，在射线上截取AB＝a，

②作AB的垂直平分线，垂足为O，再截取CO＝h，

③再连接AC、CB，△ABC即为所求．

【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

52．∠A=36°，∠ABC=∠C=72°

【分析】设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数．

【详解】解：设∠A=x，

∵AD=BD，

∴∠ABD=∠A=x，

∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x，

∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC=2x，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=2x，

∴在△ABC中，x+2x+2x=180°，

∴x=36°，2x=72°，

即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键．

53．证明见解析

【分析】根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．

【详解】∵，

∴（AAS），

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．

54．(1)，，

(2)骑车同学的速度为每小时15千米

【分析】（1）设骑车同学的速度为千米/时，根据汽车的速度是骑车同学速度的2倍，根据时间等于路程除以速度填表即可；

（2）根据表格数据，结合题意，骑车的同学所用的时间加20分钟等于乘汽车的同学所用时间，建立分式方程，求解即可．

(1)

解：填表如下

(2)

根据题意，列方程得．

解这个方程，得．

经检验，是原方程的根．

所以，．

答：骑车同学的速度为每小时15千米．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系列出方程是解题的关键．

55．(1)，

(2)点F运动的路径的长=3

【分析】（1）证明即可得结论；

（2）证明，进而可得，又点E在C处时，，点E在A处时，点F与C重合，可得，点F运动的路径的长=AC．

(1)

∵和是等边三角形，

∴，，．

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

(2)

连接，

∵和是等边三角形，

∴，，．

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

又点E在C处时，，点E在A处时，点F与C重合．

∴点F运动的路径的长=AC=3．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

56．（1）；（2）．

【分析】（1）利用完全平方公式计算即可；

（2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果．

【详解】（1）

；

（2）

．

【点睛】本题考查了完全平方公式以及分式加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．

57．无解

【分析】先把分式方程化成整式方程，解整式方程，然后进行检验即可得出答案；

【详解】解：方程两边同乘，

得：，

解得，

检验：当时，，

∴不是分式方程的解

∴原分式方程无解．

【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程一定要检验．

58．见解析

【分析】由于D是BC的中点，那么BD=CD，而BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．

【详解】证明：∵D是BC的中点

∴BD=CD，

又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴DE=DF，

∴点D在∠BAC的平分线上，

∴AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD.

【点睛】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF．

59．见解析

【分析】作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接PA．则点P即为所求的点．

【详解】解：如图，则点P即为所求的点．

证明：∵点A关于l的对称点A'，

根据对称性可知，PA=PA'，

因此，求AP+BP最小就相当于求BP+PA'最小，

显然当A'、P、B在一条直线上时A'P+PB最小，因此连接A'B，与直线l的交点，就是要求的点P．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质的应用是解题的关键．

60．（1）见解析；（2）骑自行车同学的速度为15干米/时.

【分析】（1）根据时间=路程÷速度，速度=路程÷时间计算即可；

（2）根据等量关系：骑自行车时间=坐汽车时间+列出方程计算即可.

【详解】（1）

（2）由（1）可列方程：=+，

解得：，

经检验，是原方程的解，

答：骑自行车同学的速度为15干米/时.

【点睛】本题主要考查了行程问题与分式方程的应用，准确找出等量关系是解题关键.

61．证明见解析．

【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．

【详解】解：△ABC和△BDE都是等边三角形

∴AB=BC，BE=BD=DE（等边三角形的边相等），

∠ABC=∠EBD=60°（等边三角形的角是60°）．

∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBD﹣∠EBC

∠ABE=CBD （等式的性质），

在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE=DC（全等三角形的对应边相等）．

∵AD﹣DE=AE（线段的和差）

∴AD﹣BD=DC（等量代换）．

62．（1）2；（2）点D是线段PQ的中点；（3）3

【分析】（1）先判断出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性质得出QC=2PC，建立方程求解决即可；

（2）先作PF∥BC得出，进而判断出得出DQ=DP即可得出结论；

（3）利用等边三角形的性质得出EF=AF，借助DF=DB，即可得出DF=BF，最后用等量代换即可．

【详解】（1）解：设AP=x，则BQ=x，

∵∠BQD=30°，∠C=60°，

∴∠QPC=90°，

∴QC=2PC，即x+6=2（6-x），

解得x=2，

即AP=2．

（2）证明：如图，

过P点作PF∥BC，交AB于F，

∵PF∥BC，

∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，

∴PF=AP=AF，

∴PF=BQ，

又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，

∴△DQB≌△DPF，

∴DQ=DP

即D为PQ中点，

（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，

理由： ，

∴EF=AF，

又∵ ，

∴DF=DB，

即DF=BF，

∴ED=EF+DF= (AF+BF)=AB=3．

63．（1）；（2）

【分析】(1)根据完全平方公式，即可求解；

(2)先把除法化为乘法，再进行约分，即可.

【详解】(1)原式=

=；

(2)原式=

=

=.

【点睛】本题主要考查完全平方公式和分式的乘除法，把分式的除法化为乘法，再约分，是解题的关键.

64．无解

【分析】去分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，检验根即可．

【详解】解：去分母，两边同时乘以得

，

即

即   

即．

检验：当x=1时，（x-1）(x+2)=0      

∴x=1不是原方程的解．               

∴原方程无解．

【点睛】本题考查解分式否方程．注意解分式方程一定要验根．

65．CF⊥DE，理由见解析

【分析】根据平行线性质得出∠A＝∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC＝CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．

【详解】解：CF⊥DE，CF平分DE，理由是：

∵AD∥BE，

∴∠A＝∠B，

在△ACD和△BEC中，

，

∵△ACD≌△BEC（SAS），

∴DC＝CE，

∵CF平分∠DCE，

∴CF⊥DE．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题关键是求出DC＝CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．

66．（1）答案见详解；（2）答案见详解.

【分析】(1)根据两点之间线段最短，连接AB，与直线l的交点，即为所求；

(2)先作点E关于直线l的对称点E′，连接FE′，与直线l的交点，即为所求.

【详解】(1)如图①，连接AB，交直线l于点P，即为所求；

(2)如图②，作点E关于直线l的对称点E′，连接FE′，交直线l于点Q，即为所求.

【点睛】本题主要考查两点之间，线段最短，把同侧的两个定点，通过轴对称，化为异侧的两个定点，是解题的关键.

67．（1），，，；（2）江水的流速为5千米/时.

【分析】(1)根据轮船顺流航行速度=轮船在静水中的最大航速+江水的流速，逆流航行速度=轮船在静水中的最大航速-江水的流速，即可得到答案；

(2)根据沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，列出方程，即可求解.

【详解】（1）∵轮船顺流航行速度=轮船在静水中的最大航速+江水的流速，

∴轮船顺流航行速度为千米/时，

∵逆流航行速度=轮船在静水中的最大航速-江水的流速，

∴逆流航行速度为千米/时，

∴顺流航行100千米所用时间为小时，逆流航行60千米所用时间为小时.

故答案是：，，，；   

（2）根据题意，列方程得：，    

方程两边同乘，得，

解得:.

经检验，是原分式方程的解，且符合题意.     

答：江水的流速为5千米/时.

【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键.

68．（1）符合；（2）详见解析.

【分析】(1)根据题意，列出算式，进行验证，即可；

(2)设方框中左上最小的数字为，列出整式的减法，化简，即可.

【详解】（1）如：；；符合；

（2）设方框中左上最小的数字为，则有    

.

【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，根据题意，列出整式，是解题的关键.

69．（1）；（2）45°；（3）的值不发生改变，等于4，理由详见解析.

【分析】（1）由余角的性质，可得：，从而证明：，进而求出点P的坐标；   

（2）过分别作于点，作于点，易证：，可得：，从而可得：平分，即可得到答案；

（3）连接，易证：，，，进而可证：，得到：，即，即可得到结论.

【详解】（1）如图1，由题意，.

∵，

∴，

∵，

∴，

∴.

在与中，

∵

∴

∴，即：；    

（2）过分别作于点，作于点，如图2，

∵在四边形中，，

∴.

在与中，

∵，

∴，

∴

∵，

∴平分，

∴；

（3）的值不发生改变，等于4. 理由如下：

连接，如图3，

∵，为的中点，

∴，

∴，

∴，

∵，即，

∴.

在与中，

∵，

∴.

∴，

∴

.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.