天津河东区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题

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天津河东区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编 03 解答题
三、解答题
55．（2022·天津河东·八年级期末）计算题：
(1)（a﹣2b+1）（a+2b+1）
(2)．
56．（2022·天津河东·八年级期末）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（-4，1）、B（-3，3）、C（-1，2）

(1)作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(2)在x轴上画出点P，使△PAC周长最小，并直接写出P点的坐标：_____．
57．（2022·天津河东·八年级期末）因式分解：
(1)3a2﹣27；
(2)m3﹣2m2+m．
58．（2022·天津河东·八年级期末）解方程：．
59．（2022·天津河东·八年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．

(1)求证：AD＝BE；
(2)若∠CAE＝15°，AD＝5，求AB的长．
60．（2022·天津河东·八年级期末）根据疫情防控工作需要，某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种30人，甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同，问甲队每小时接种多少人？
61．（2022·天津河东·八年级期末）在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足．

(1)a=_____，b=______；
(2)点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，
①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为______；
②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．
62．（2021·天津河东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）在图中作出关于x轴的对称图形；
（2）点，，的坐标分别是______，______，______；
（3）的面积为______．
63．（2021·天津河东·八年级期末）计算或化简：
（1）；
（2）．
64．（2021·天津河东·八年级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
65．（2021·天津河东·八年级期末）解分式方程：．
66．（2021·天津河东·八年级期末）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，.

（1）求证：≌；
（2）若，，求.
67．（2021·天津河东·八年级期末）甲、乙两人做某种机械零件
（1）已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个
（2）已知甲计划做零件60个，乙计划做零件100个，甲、乙的速度比为3:4，结果甲比乙提前20分钟完成任务，则甲每小时做零件 个，乙每小时做零件 个
68．（2021·天津河东·八年级期末）在平面直角坐标系中，点，，点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．

（1）如图（1），若，求点E的坐标；
（2）如图（2），若，连接DO，求证：DO平分；
（3）若，，过O作于G，，则的面积为______．
69．（2019·天津河东·八年级期末）计算题：
（1）
（2）
70．（2019·天津河东·八年级期末）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（﹣4，1）B（﹣3，3）C（﹣1，2）
（1）作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．

71．（2019·天津河东·八年级期末）分解因式：
（1）               
（2）
72．（2019·天津河东·八年级期末）解方程：
73．（2019·天津河东·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P

（1）求证：△AEC≌△AFB；
（2）求证：PB=PC
74．（2019·天津河东·八年级期末）某校学生利用春假时间去距离学校10km的静园参观。一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度。
75．（2019·天津河东·八年级期末）如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P
（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________
（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明
（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________

【答案】
55．(1)a2+2a+1﹣4b2
(2)

【分析】①原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简即可得到结果；
②原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
(1)
解：原式=[（a+1）-2b][ （a+1）+2b]
=（a+1）2-（2b）2
=a2+2a+1﹣4b2；
(2)
解：原式=；
【点睛】此题考查了分式的混合运算，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
56．(1)见解析
(2)图见解析，P（-3，0）

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P．
(1)
解：如图所示，△A′B′C′即为所求；

(2)
解：作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P，其坐标为（-3，0）．
故答案为：（-3，0）．
【点睛】本题主要考查作图——轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．
57．(1)3（a+3）（a-3）
(2)m（m-1）2

【分析】（1）先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小题1】解：原式=3（a2-9）
=3（a+3）（a-3）；
【小题2】原式=m（m2-2m+1）
=m（m-1）2．
【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
58．无解
【分析】根据解分式方程的步骤去解答：去分母将分式方程化为整式方程、解整式方程、检验、回答．
【详解】解：原方程可化为：．
方程两边同时乘以，得
．
化简，得．
解得 ．
检验：时，
所以不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其是检验是解分式方程的重要步骤．
59．(1)证明见详解；
(2)AB＝10．

【分析】（1）AD，BE分别是△ACD和△BCE的两条边，由此可以从两三角形的全等入手；（2）当∠CAE＝15°时，△ACB为等腰直角三角形，∠EAB＝30°，考虑△ABE是否为30°的直角三角形．
（1）
证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACD+∠DCB＝∠BCE+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE（全等三角形的对应边相等）．
（2）
解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠ADC＝∠DCE+∠DEC，
∠BEC＝∠DEB+∠DEC，
∴∠DCE＝∠DEB＝90°
∵△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°
在Rt△ABE中，
∵∠EAB＝30°，AD＝BE＝5，
∴AB＝2BE＝10．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，特殊角的直角三角形；由SAS证明全等是（1）题的关键，证明△ABE为30°的直角三角形是（2）题的关键．
60．甲队每小时接种150人．
【分析】设甲队每小时接种x人，则乙队每小时接种人，则甲队接种2250人用时 ，乙队接种1800人用时，根据用时相等列出方程，检验即可．
【详解】设甲队每小时接种x人，则乙队每小时接种人，
根据甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同，列出方程：
，
解得：，
经检验是原分式方程的根，
答：甲队每小时接种150人．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出的等量关系．
61．(1)﹣2，4
(2)①（4，0），②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）

【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b的值；
（2）①由∠APB=45°，∠POB=90°，得OP=OB=4，从而得出点P的坐标；
②由△ABP为直角三角形，∠APB=45°，只有情况：∠ABP=90°或∠BAP=90°，分别利用k型全等可解决问题．
（1）
解：∵，
∴，
∴，，
∴a=﹣2，b=4；
（2）
解：①如图，

∵∠APB=45°，∠POB=90°，
∴OP=OB=4，
∴P（4，0），
故答案为：（4，0）；
②∵a=2，b=4，
∴OB=2OA=4，
又∵△ABP为直角三角形，∠APB=45°，
∴只有情况：∠ABP=90°或∠BAP=90°，
Ⅰ：如图，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB于C，

∴∠PCB=∠BOA=90°，
又∵∠APB=45°，
∴∠BAP=∠APB=45°，
∴BA=BP，
又∵∠ABO+∠OBP=∠OBP+∠BPC=90°，
∴∠ABO=∠BPC，
∴△ABO≌△BPC（AAS），
∴PC=OB=4，BC=OA=2，
∴OC=OBBC=42=2，
∴P（4，2）；
Ⅱ：如图，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA于D，

∴∠PDA=∠AOB=90°，
又∵∠APB=45°，
∴∠ABP=∠APB=45°，
∴AP=AB，
又∵∠BAD+∠DAP=90°，
∠DPA+∠DAP=90°，
∴∠BAD=∠DPA，
∴△BAO≌△APD（AAS），
∴PD=OA=2，AD=OB=4，
∴OD=ADOA=42=2，
∴P（2，2），
综上所述，点P的坐标为：（4，2）或（2，2）．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，非负数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟悉基本模型利用k型全等解决问题是关键，同时渗透了分类思想．
62．（1）见解析；（2）；；；（3）．
【分析】（1）首先作出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据（1）得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，

（2）点，，的坐标分别是；；；
故答案为：；；；
（3）S△ABC=5×5-×4×5-×1×3-×2×5=；
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
63．（1）；（2）0．
【分析】（1）先运用多项式乘多项式和完全平方公式进行计算，然后再合并即可；
（2）先通分、然后再计算、化简即可．
【详解】解：（1）

=；
（2）


=0．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算和分式的异分母加减运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
64．（1）；（2）．
【分析】（1）先提取公因式2ab、然后再运用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式a、然后再运用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）
；

（2）

．
【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．
65．无解
【分析】去分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，检验根即可．
【详解】解：去分母，两边同时乘以得
，
即
即   
即．
检验：当x=1时，（x-1）(x+2)=0      
∴x=1不是原方程的解．               
∴原方程无解．
【点睛】本题考查解分式否方程．注意解分式方程一定要验根．
66．（1）见解析；（2）4
【分析】（1）由证明，再运用HL证明≌即可；
（2）根据≌可得,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.
【详解】解：（1）∵
∴
即
在和中

∴≌（）
（2）∵≌
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵在中，，
∴
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定以及30°角所对的直角边等于斜边的一半的应用，熟练掌握相关知识点是解此题的关键.
67．（1）设甲每小时做零件18个，乙每小时做零件12个；（2）甲每小时做零件45个，乙每小时做零件60个.
【分析】（1）设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+6）个，甲做90个所用的时间为，乙做60个所用的时间为；
（2）设甲每小时做3x个零件，表示出乙每小时做的零件个数，然后根据“结果甲比乙提前20分钟完成任务”列出方程即可．
【详解】（1）设乙每小时做零件x个，则甲每小时做零件（x+6)个，
依题意得=
解得  x=12
经检验：x=12是原方程的解，符合题意
x+6=12+6=18
答：设甲每小时做零件18个，乙每小时做零件12个
(2) 设甲每小时做3x个零件，则乙每小时做4x个零件，
根据题意得，+＝，
解得：x=15，
经检验：x=15是原分式方程的解，且符合题意，
则3×15=45，4×15=60．
答：甲每小时做45个，乙每小时做60个，
故答案为45；60.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
68．（1）；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）证明△BOC与△AOE全等，根据全等三角形的性质得到OE=OC=2,得到点E的坐标；
（2）作OG⊥BC于G,OH⊥AE于H，根据全等三角形的对应高相等得到OG=OH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）由，计算出BG长，再由三角形的面积公式计算面积．
【详解】（1）∵，，
∴OA=OB, ∠AOE=∠BOC=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°, ∠ACD+∠EAO=90, ∠AEO+∠EAO=90,
∴∠ACD=∠AEO
∴
∴
∴．
（2）作于H，于Q．

∵
∴

∴
∴
OD平分
（3）


∴，∠BCO=∠AEO=30° ，
∵
∴
∴

∴
中，
∴
∴
∴
中，
∴



．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理,掌握全等三角形的对应高相等、角平分线的判定定理是解题的关键．
69．（1）；（2）
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可；
（2）先通分，然后合并同类项，再约分即可.
【详解】解：（1）原式=；
（2）原式==.
【点睛】本题主要考查了分式的求解，熟练掌握运算法则与运算顺序是解题的关键.
70．（1）见解析；（2）P（﹣3，0）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P．
【详解】（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；

（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P，其坐标为（﹣3，0）．
【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．
71．（1）；（2）
【分析】（1）直接运用平方差公式进行分解即可；
（2）先提取公因式3a，然后进行完全平方公式进行分解即可.
【详解】解：（1）原式=；
（2）原式=.
【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
72．无解
【分析】先去分母，然后去括号，移项，合并同类项再系数化为1即可.
【详解】解：去分母得
去括号得
解得x=1
经检验x=1是增根，分式方程无解.
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意要验根.
73．（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）根据AE=AF，AB=AC，∠A=∠A即可证明三角形全等；
（2）根据（1）结论可证∠ABF=∠ACE，即可证明∠PBC=∠PCB，即可解题．
【详解】解：（1）在△ABF和△ACE中，

∴△ABF≌△ACE（SAS）；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵△ABF≌△ACE，
∴∠ABF=∠ACE，
∴∠PBC=∠PCB，
∴BP=CP．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABF≌△ACE是解题的关键．
74．15km/h，30km/h
【分析】根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列出方程．
【详解】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，

解得：x=15，
经检验x=15是原方程的解，
2x=2×15=30，
答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是15km/h，30km/h．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解决问题的关键．
75．（1）AE=BD．∠APC=60°；（2）成立，见详解；（3）AE=BD
【分析】（1）观察猜想：①证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE=BD，∠CAE=∠BDC；
②过点C向AE，BD作垂线，由三角形全等可得高相等，再根据角分线判定定理，推出PC平分∠APB，即可求出∠APC的度数；
（2）数学思考：结论成立，证明方法类似；
（3）拓展应用：证明△ACE≌△DCB（SAS），即可得AE=BD.
【详解】解：（1）观察猜想：结论：AE=BD．∠APC=60°．
理由： ①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
②由①得∠EAC=∠BDC，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠APB=∠AOC+∠EAC=180°-60°= 120°．
过过点C向AE，BD作垂线交于点F与G

∵由①知△ACE≌△DCB
∴CF=CG
∴CP为∠APB的角平分线
∴∠APC=60°；
（2）数学思考：结论仍然成立．

①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
②由①得∠AEC=∠DBC，
∴∠CEA+∠PEB=∠CBD+∠PEB=60°，
∴∠APB=∠CBD+∠CBE+∠PEB=120°．
过过点P向AC，BC作垂线交于点H与I

∵由①知△ACE≌△DCB
∴PH=PI
∴CP为∠APB的角平分线
∴∠APC=60°；
（3）∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=90°，CE=CB，
∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD.
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．