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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教案，共14页。教案主要包含了重点总结，基础自测，变式训练1，变式探究2，方法归纳，跟踪训练1，跟踪训练2，易错辨析等内容，欢迎下载使用。
4.2.2.2等差数列前n项和公式的应用
知识点一 等差数列前n项和公式的函数特点
等差数列的前n项和Sn＝na1＋d可以改写成：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn是关于n的一元二次函数，所以可借助一元二次函数的有关性质来处理等差数列前n项和Sn的有关问题．
要点二 等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
【重点总结】等差数列的前n项和的最值
解决等差数列的前n项和的最值的基本思想是利用前n项和公式与函数的关系来解决问题，即：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是：n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值．
(3)通项法：当a1>0，d<0时，n为使an≥0成立的最大的自然数时，Sn最大．
类似地，当a1<0，d>0，则n为使an≤0成立的最大自然数时，Sn最小．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．( )
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则为等差数列．( )
(3)等差数列{an}的公差为－2，首项为8，则仅当n＝4时，其前n项和Sn才有最大值．( )
2．若数列{an}中，an＝43－3n，则Sn的最大值n＝( )
A．13 B．14
C．15 D．14或15
【答案】B
【解析】令an＝43－3n≥0，得n≤，又n∈N＋，∴n＝14.故选B.
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a4的值为( )
A．15 B．27
C．37 D．64
【答案】C
【解析】∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴a4＝S4－S3＝43－33＝37.故选C.
4．为了参加运动会的5 000 m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m．李强10天将要跑________m.
【答案】68 000
【解析】由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第1天跑的距离记为a1＝5 000，且公差为d＝400，则李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和．由S10＝10a1＋d＝10×5 000＋×400＝68 000.
所以，李强10天将要跑68 000 m.
题型一 等差数列前n项和的最值
【例1】在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．
【答案】7
【解析】解法一：函数法
由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因为a1>0，所以－<0.
故当n＝7时，Sn最大．
解法二：通项变号法
由解法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．
【变式训练1】将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取最大值时，n的值为________．
【答案】12或13
【解析】∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．
【变式探究2】将本例中“a1>0，S3＝S11”换为“a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0”，求使Sn>0成立的最大自然数n.
【解析】∵a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0，
∴{an}表示首项是正数，公差d为负数的单调递减数列．
∴a2 019>0，a2 020<0.
且|a2 019|>|a2 020|
∴a2 019＋a2 020＝a1＋a4 038>0
∴S4 038＝>0
又∵a1＋a4 039＝2a2 020＜0
∴S4 039＝＜0
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4 038.
【方法归纳】
讨论等差数列前n项和的最值的方法：(一)已知通项时，由an≥0(或an≤0)探索求；(二)已知前n项和时，用配方法探求(注意n∈N*)；(三)已知Sn＝Sm时，借助二次函数性质探求．
题型二 an与Sn关系的应用
【例2】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝an(an＋2)，求数列{an}的通项公式．
【解析】∵4Sn＝an(an＋2)，∴当n＝1时，4a1＝a1(a1＋2)
解得a1＝2或a1＝0(舍去)；
当n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1
＝an(an＋2)－an－1(an－1＋2)
＝a＋2an－a－2an－1
∴a－2an－a－2an－1＝0
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0
又an＋an－1≠0
∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2.
∴数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，∴an＝2n.
【方法归纳】
已知an与Sn的关系时，应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)进行转化，转化后构成新的等差数列，由等差数列的定义求解．
【跟踪训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】(1)∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1，又an＋2SnSn－1＝0，
∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0.
∵Sn≠0，两边同除以SnSn－1，得
－＋2＝0，即－＝2(n≥2)．
∴数列是等差数列．
（2）∵a1＝1，＝＝1，∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
而－＝2≠1，故{an}的通项公式为
an＝
题型三 等差数列前n项和公式的实际应用
【例3】一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，这支车队当天一共行驶了多少路程？
【解析】由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.
(1)因为a15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15＝2 550(min)＝ h，所以这支车队当天一共行驶的路程为×60＝2 550(km)．
【方法归纳】
(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
【跟踪训练2】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
【答案】2 000
【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000米．
【易错辨析】数列中的最值错误
【例4】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大．
【答案】14或15
【解析】(法一)由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0.
构建不等式组
即解得14≤n≤15.
故当n＝14或n＝15时Sn最大．
(法二)由S11＝S18知，a1＝－14d，
所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝2－d.
由于n∈N*，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大．
(法三)由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大．
【易错警示】
1.出错原因
由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15时，前n项和相等且最大．有些同学容易忽视数列中为零的项致错.
2.纠错心得
在解决数列问题时，经常遇到求最值的问题，且解决此类问题常用函数的一些方法，但一定要注意数列中的变量n为正整数，同时还要注意数列中为零的项.
一、单选题
1．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果 (n∈N*)，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合等差数列的前和的性质，得到，即可求解.
【解析】
由等差数列前n项和的性质，且，
可得＝＝＝.
故选：C.
2．已知数列为等差数列，它的前项和为，若，则使成立的正整数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据等差数列前项和的特点得到，，之后解不等式，即可得到整数的最小值.
【解析】
因为是等差数列的前项和，所以，所以.
由，解得（舍去），所以正整数的最小值是.
故选：B.
3．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
【答案】D
【分析】
应用等差数列片段和性质：成等差数列，求即可.
【解析】
由等差数列片段和的性质：成等差数列，
∴，可得，同理可得，
∴，可得.
故选：D
4．若等差数列的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（ ）
A．96 B．72 C．60 D．48
【答案】B
【分析】
解法不唯一，可结合通项公式和前项和公式求出，进而求出；也可结合成等差数列性质求.
【解析】
解法一：由解得
所以；
解法二：，，，所以，，成等差数列，公差为，由等差中项定义得，即，解得．
故选：B
5．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】
利用等差数列的性质计算前项和，得，由此可把和与项联系起来，求得比例．
【解析】
因为为等差数列，
故，即，同理可得：，所以.
故选：B．
6．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】
将等差数列前项和公式，改写成关于的二次函数，根据二次函数图像的对称性列出关于的方程即可求解.
【解析】
，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，
得，解得.
故选：B.
7．在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由等差数列性质可知数列为等差数列，由已知等式可求得其公差，结合等差数列通项公式可求得，进而得到结果.
【解析】
数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，
，.
故选：B.
8．已知数列{an}是等差数列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，则a7+a8+a9=（ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
【答案】A
【分析】
由等差数列的性质可知a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列，根据等差中项求解即可.
【解析】
由数列{an}是等差数列可知，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列，
所以a7+a8+a9= ，
故选：A
二、多选题
9．记为等差数列的前项和，则（ ）
A．，，成等差数列 B．，，成等差数列
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据等差数列前n项和可得、，，结合各项的描述判断正误.
【解析】
A：由，，，故，，成等差数列，正确；
B：由，，，易知，，成等差数列，正确；
C：，错误；
D：，正确.
故选：ABD
10．等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A． B．当时，
C． D．，
【答案】AB
【分析】
由题设关系式，应用等差数列前n项和公式有、，即可判断A、C的正误；利用等差数列通项公式与前n项和的关系即可判断B的正误；令即可否定D的结论.
【解析】
由，知：，即，故A正确.
同理可得：，故C错误.
当，有，则，易得，故B正确.
当，有，则，则不存在，使，故D错误.
故选：AB
11．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．的最小值是 D．使得取得最小正数的
【答案】AC
【分析】
根据题意，结合等差数列的性质以及前项和的公式与性质，一一判断即可.
【解析】
因为，，所以，可得公差，的最小值是，故AC正确；
因为，单调递减，，单调递增，所以B项错误；
因为，所以，
同理，所以取得最小正数的，D项错误.
故选AC项．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______．
【答案】
【分析】
利用等差数列前项和公式可设，，再结合等差数列的性质即得.
【解析】
因为等差数列，的前项和分别为，，且，
所以，，又，，
所以，，
所以．
故答案为：
13．已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为____．
【答案】14
【分析】
由，得出，所以公差小于零，再结合等差数列的求和公式，即可求出满足的正整数的最大值.
【解析】
解：由，得，所以公差小于零，
又，
则满足的正整数的最大值为14.
故答案为：14．
14．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.
【答案】
【分析】
由已知求的通项公式，进而可得的通项公式，再求的通项公式并判断数列的性质，应用等差数列前n项和公式求前n项和.
【解析】
由题意，，由等比数列的性质可得，解得，
∴，解得，
，则，则数列为等差数列，
，故，
，
故答案为：
四、解答题
15．（1）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，求数列的前3m项的和S3m；
（2）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由成等差数列，列出方程，即可求解；
（2）由等差数列的前项和的性质，得到，代入即可求解.
【解析】
（1）在等差数列的性质，可得成等差数列，
即成等差数列，所以，解得.
（2）由等差数列的前项和的性质，且，
可得.
16．已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求．
【答案】.
【分析】
将变形为，进一步变形为，再结合等差数列前n项和公式即可得到答案.
【解析】
.
17．（1）已知等差数列的前n项和为，则成等差数列吗？证明你的结论；
（2）已知等比数列的前n项的和为，则成等比数列吗？证明你的结论．
【答案】（1）等差数列的前n项和为，则成等差数列，证明见解析；
（2）等比数列的前n项的和为，则不一定成等比数列，证明见解析.
【分析】
（1）设等差数列的首项为，公差为，根据数列求和的公式和等差数列通项公式，分别化简得出，，，再利用等差中项法证明等差数列，判断即可得出结论；
（2）设等比数列的首项为，公比为，分类讨论，当，且，三种情况，根据等比数列的求和公式，分别化简得出，，，最后利用等比中项法证明等比数列，即可判断即可得出结论.
【解析】
解：（1）等差数列的前n项和为，则成等差数列，
设等差数列的首项为，公差为，
则，
，
同理，
，
即，
，
成等差数列.
（2）等比数列的前n项的和为，则不一定成等比数列，
设等比数列的首项为，公比为，
当时，
，
，
，
则，
所以成等比数列；
当且时，
，
，
，
则，
所以成等比数列.
当时，，
当为偶数时，则有，，，
则此时不构成等比数列.
综上得：等比数列的前n项的和为，则不一定成等比数列.
18．有两个等差数列，，满足，求；
【答案】
【分析】
用基本量，表示两个数列的前n项和，化简可得
，令，即得解
【解析】
设等差数列，的公差分别为、，则
，
则有，① 又由于，②
观察①、②，可在①中取，则，故.
4.2.2.2等差数列前n项和公式的应用
知识点一 等差数列前n项和公式的函数特点
等差数列的前n项和Sn＝na1＋d可以改写成：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn是关于n的一元二次函数，所以可借助一元二次函数的有关性质来处理等差数列前n项和Sn的有关问题．
要点二 等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
【重点总结】等差数列的前n项和的最值
解决等差数列的前n项和的最值的基本思想是利用前n项和公式与函数的关系来解决问题，即：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是：n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值．
(3)通项法：当a1>0，d<0时，n为使an≥0成立的最大的自然数时，Sn最大．
类似地，当a1<0，d>0，则n为使an≤0成立的最大自然数时，Sn最小．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．( )
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则为等差数列．( )
(3)等差数列{an}的公差为－2，首项为8，则仅当n＝4时，其前n项和Sn才有最大值．( )
2．若数列{an}中，an＝43－3n，则Sn的最大值n＝( )
A．13 B．14
C．15 D．14或15
【答案】B
【解析】令an＝43－3n≥0，得n≤，又n∈N＋，∴n＝14.故选B.
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a4的值为( )
A．15 B．27
C．37 D．64
【答案】C
【解析】∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴a4＝S4－S3＝43－33＝37.故选C.
4．为了参加运动会的5 000 m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m．李强10天将要跑________m.
【答案】68 000
【解析】由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第1天跑的距离记为a1＝5 000，且公差为d＝400，则李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和．由S10＝10a1＋d＝10×5 000＋×400＝68 000.
所以，李强10天将要跑68 000 m.
题型一 等差数列前n项和的最值
【例1】在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．
【答案】7
【解析】解法一：函数法
由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因为a1>0，所以－<0.
故当n＝7时，Sn最大．
解法二：通项变号法
由解法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．
【变式训练1】将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取最大值时，n的值为________．
【答案】12或13
【解析】∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．
【变式探究2】将本例中“a1>0，S3＝S11”换为“a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0”，求使Sn>0成立的最大自然数n.
【解析】∵a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0，
∴{an}表示首项是正数，公差d为负数的单调递减数列．
∴a2 019>0，a2 020<0.
且|a2 019|>|a2 020|
∴a2 019＋a2 020＝a1＋a4 038>0
∴S4 038＝>0
又∵a1＋a4 039＝2a2 020＜0
∴S4 039＝＜0
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4 038.
【方法归纳】
讨论等差数列前n项和的最值的方法：(一)已知通项时，由an≥0(或an≤0)探索求；(二)已知前n项和时，用配方法探求(注意n∈N*)；(三)已知Sn＝Sm时，借助二次函数性质探求．
题型二 an与Sn关系的应用
【例2】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝an(an＋2)，求数列{an}的通项公式．
【解析】∵4Sn＝an(an＋2)，∴当n＝1时，4a1＝a1(a1＋2)
解得a1＝2或a1＝0(舍去)；
当n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1
＝an(an＋2)－an－1(an－1＋2)
＝a＋2an－a－2an－1
∴a－2an－a－2an－1＝0
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0
又an＋an－1≠0
∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2.
∴数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，∴an＝2n.
【方法归纳】
已知an与Sn的关系时，应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)进行转化，转化后构成新的等差数列，由等差数列的定义求解．
【跟踪训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】(1)∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1，又an＋2SnSn－1＝0，
∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0.
∵Sn≠0，两边同除以SnSn－1，得
－＋2＝0，即－＝2(n≥2)．
∴数列是等差数列．
（2）∵a1＝1，＝＝1，∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
而－＝2≠1，故{an}的通项公式为
an＝
题型三 等差数列前n项和公式的实际应用
【例3】一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，这支车队当天一共行驶了多少路程？
【解析】由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.
(1)因为a15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15＝2 550(min)＝ h，所以这支车队当天一共行驶的路程为×60＝2 550(km)．
【方法归纳】
(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
【跟踪训练2】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
【答案】2 000
【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000米．
【易错辨析】数列中的最值错误
【例4】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大．
【答案】14或15
【解析】(法一)由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0.
构建不等式组
即解得14≤n≤15.
故当n＝14或n＝15时Sn最大．
(法二)由S11＝S18知，a1＝－14d，
所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝2－d.
由于n∈N*，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大．
(法三)由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大．
【易错警示】
1.出错原因
由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15时，前n项和相等且最大．有些同学容易忽视数列中为零的项致错.
2.纠错心得
在解决数列问题时，经常遇到求最值的问题，且解决此类问题常用函数的一些方法，但一定要注意数列中的变量n为正整数，同时还要注意数列中为零的项.
一、单选题
1．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果 (n∈N*)，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合等差数列的前和的性质，得到，即可求解.
【解析】
由等差数列前n项和的性质，且，
可得＝＝＝.
故选：C.
2．已知数列为等差数列，它的前项和为，若，则使成立的正整数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据等差数列前项和的特点得到，，之后解不等式，即可得到整数的最小值.
【解析】
因为是等差数列的前项和，所以，所以.
由，解得（舍去），所以正整数的最小值是.
故选：B.
3．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
【答案】D
【分析】
应用等差数列片段和性质：成等差数列，求即可.
【解析】
由等差数列片段和的性质：成等差数列，
∴，可得，同理可得，
∴，可得.
故选：D
4．若等差数列的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（ ）
A．96 B．72 C．60 D．48
【答案】B
【分析】
解法不唯一，可结合通项公式和前项和公式求出，进而求出；也可结合成等差数列性质求.
【解析】
解法一：由解得
所以；
解法二：，，，所以，，成等差数列，公差为，由等差中项定义得，即，解得．
故选：B
5．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】
利用等差数列的性质计算前项和，得，由此可把和与项联系起来，求得比例．
【解析】
因为为等差数列，
故，即，同理可得：，所以.
故选：B．
6．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】
将等差数列前项和公式，改写成关于的二次函数，根据二次函数图像的对称性列出关于的方程即可求解.
【解析】
，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，
得，解得.
故选：B.
7．在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由等差数列性质可知数列为等差数列，由已知等式可求得其公差，结合等差数列通项公式可求得，进而得到结果.
【解析】
数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，
，.
故选：B.
8．已知数列{an}是等差数列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，则a7+a8+a9=（ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
【答案】A
【分析】
由等差数列的性质可知a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列，根据等差中项求解即可.
【解析】
由数列{an}是等差数列可知，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列，
所以a7+a8+a9= ，
故选：A
二、多选题
9．记为等差数列的前项和，则（ ）
A．，，成等差数列 B．，，成等差数列
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据等差数列前n项和可得、，，结合各项的描述判断正误.
【解析】
A：由，，，故，，成等差数列，正确；
B：由，，，易知，，成等差数列，正确；
C：，错误；
D：，正确.
故选：ABD
10．等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A． B．当时，
C． D．，
【答案】AB
【分析】
由题设关系式，应用等差数列前n项和公式有、，即可判断A、C的正误；利用等差数列通项公式与前n项和的关系即可判断B的正误；令即可否定D的结论.
【解析】
由，知：，即，故A正确.
同理可得：，故C错误.
当，有，则，易得，故B正确.
当，有，则，则不存在，使，故D错误.
故选：AB
11．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．的最小值是 D．使得取得最小正数的
【答案】AC
【分析】
根据题意，结合等差数列的性质以及前项和的公式与性质，一一判断即可.
【解析】
因为，，所以，可得公差，的最小值是，故AC正确；
因为，单调递减，，单调递增，所以B项错误；
因为，所以，
同理，所以取得最小正数的，D项错误.
故选AC项．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______．
【答案】
【分析】
利用等差数列前项和公式可设，，再结合等差数列的性质即得.
【解析】
因为等差数列，的前项和分别为，，且，
所以，，又，，
所以，，
所以．
故答案为：
13．已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为____．
【答案】14
【分析】
由，得出，所以公差小于零，再结合等差数列的求和公式，即可求出满足的正整数的最大值.
【解析】
解：由，得，所以公差小于零，
又，
则满足的正整数的最大值为14.
故答案为：14．
14．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.
【答案】
【分析】
由已知求的通项公式，进而可得的通项公式，再求的通项公式并判断数列的性质，应用等差数列前n项和公式求前n项和.
【解析】
由题意，，由等比数列的性质可得，解得，
∴，解得，
，则，则数列为等差数列，
，故，
，
故答案为：
四、解答题
15．（1）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，求数列的前3m项的和S3m；
（2）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由成等差数列，列出方程，即可求解；
（2）由等差数列的前项和的性质，得到，代入即可求解.
【解析】
（1）在等差数列的性质，可得成等差数列，
即成等差数列，所以，解得.
（2）由等差数列的前项和的性质，且，
可得.
16．已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求．
【答案】.
【分析】
将变形为，进一步变形为，再结合等差数列前n项和公式即可得到答案.
【解析】
.
17．（1）已知等差数列的前n项和为，则成等差数列吗？证明你的结论；
（2）已知等比数列的前n项的和为，则成等比数列吗？证明你的结论．
【答案】（1）等差数列的前n项和为，则成等差数列，证明见解析；
（2）等比数列的前n项的和为，则不一定成等比数列，证明见解析.
【分析】
（1）设等差数列的首项为，公差为，根据数列求和的公式和等差数列通项公式，分别化简得出，，，再利用等差中项法证明等差数列，判断即可得出结论；
（2）设等比数列的首项为，公比为，分类讨论，当，且，三种情况，根据等比数列的求和公式，分别化简得出，，，最后利用等比中项法证明等比数列，即可判断即可得出结论.
【解析】
解：（1）等差数列的前n项和为，则成等差数列，
设等差数列的首项为，公差为，
则，
，
同理，
，
即，
，
成等差数列.
（2）等比数列的前n项的和为，则不一定成等比数列，
设等比数列的首项为，公比为，
当时，
，
，
，
则，
所以成等比数列；
当且时，
，
，
，
则，
所以成等比数列.
当时，，
当为偶数时，则有，，，
则此时不构成等比数列.
综上得：等比数列的前n项的和为，则不一定成等比数列.
18．有两个等差数列，，满足，求；
【答案】
【分析】
用基本量，表示两个数列的前n项和，化简可得
，令，即得解
【解析】
设等差数列，的公差分别为、，则
，
则有，① 又由于，②
观察①、②，可在①中取，则，故.
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