数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步测试题

这是一份数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步测试题，共13页。
空间向量的基本定理以及坐标表示考向一  空间向量的基底1、给出下列命题①已知，则；②、、、为空间四点，若不构成空间的一个基底，则、、、共面；③已知，则与任何向量不构成空间的一个基底；④已知，，是空间的一个基底，则基向量可以与向量构成空间另一个基底．其中所有正确命题的序号为　  　．【答案】①②④2、　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)A．1个 B．2个　　　　C．3个　　　　 D．4个(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．(1)C　[如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.](2)解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使＝x＋y成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3∴此方程组无解．即不存在实数x，y使得＝x＋y，所以，，不共面．所以{，，}能作为空间的一个基底．3、若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．[解]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．∴此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．4、若a＝e1＋e2＋3e3，b＝e1＋e2－2e3，c＝e1－3e2＋2e3，d＝4e1＋6e2＋8e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为(　　)A. B．C. D．【答案】A  考向二  空间向量分解系数求解 1、如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.[解]　连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c.＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.＝＝＝a.2、点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　)A．－，，　　 B.，－，C．－，，－  D．－，－，D　[如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，比较知x＝－，y＝－，z＝，故选D.]3、如图，在平行六面体中，，，且，，，试用，，表示向量．【答案】解：根据向量的三角形法则得，连接，4、在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则　　A． B． C． D．【答案】 正方体中，，，，，，，，四点共面，，，，四点共面，，解得，；5、如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM ：MC＝2 ：1，N为PD中点，求满足＝x＋y＋z的实数x、y、z的值．【答案】在PD上取一点F，使PFFD＝21，连结MF，则＝＋，而＝－＝－＝＝(－)，＝＝＝－.∴＝－－＋，∴x＝－，y＝－，z＝.6、在平行六面体中，设，，分别是，的中点．（1）用向量表示，；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）. 考向三  空间向量的坐标表示1、已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)．求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．[解]　(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)．(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)∵2a＝(4，－2，－4)，∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.2、已知向量，，，，，，求，及．【答案】解：，，，，，，由模长公式可得，，由向量的坐标运算可得，，，，，，，，，，，，4，3、已知，，，，0，，，的夹角为，则　　．【答案】4、(1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标；①＝(－)；②＝(－)．(1)2　[c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.](2)解：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)．①＝(－)＝(6，3，－4)＝，则点P的坐标为.②设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．∵＝(－)＝，∴解得x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.5、已知向量＝(2,－2,3)，向量＝(x,1－y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，，－)，则(x，y，z)＝(　　)A．(－2，－4，－1) B．(－2，－4，1)C．(－2，4，－1) D．(2，－4，－1)【答案】A【解析】由已知＝＋＝(2＋x，－1－y,3＋4z)＝2(0，，－)，∴，∴x＝－2，y＝－4，z＝－1.故选A.6、已知，，，若，则的坐标是         .【答案】7、已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝.(1)若|c|＝3，c∥，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. [解]　(1)∵＝(－2，－1，2)且c∥，∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．∴|c|＝＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．(2)∵a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，∴ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－.8、已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．(1)若a∥b，分别求λ与m的值；(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.[解]　(1)由a∥b，得(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，∴解得∴实数λ＝，m＝3.(2)∵|a|＝，且a⊥c，∴化简，得解得λ＝－1.因此，a＝(0，1，－2)．9、已知，，，，4，，，5，，若，，三向量共面，则　　．【答案】解：，，，，4，，，5，，，，三向量共面三向量共面，存在，，使得，，5，，，，解得，，．故答案为： 10、空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为(　　)A．共线 B.共面C．不共面 D．无法确定解析：选C　＝(2,0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使＝λ成立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设＝x＋y (x，y为实数)，即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面，故选C. 11、在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　A． B． C． D．【答案】日期：2019/7/5 13:03点在直线上运动，存在实数使得，，，，．，当且仅当时，上式取得最小值， 12、在空间直角坐标系中，，，为坐标原点，满足，，则下列结论中不正确的是　　A．的最小值为 B．的最大值为10 C．最大值为 D．最小值为1【解答】B在空间直角坐标系中，，，为坐标原点，满足，，设，，，，在中，，当，，的最小值为，故正确；在中，，，时，的最大值为8，故错误；在中，，，，，，，时，的最大值为，故正确；在中，，令，则，当时取等号，故取最小值1．故正确