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    八年级上册 数学 专题3.5 《位置与坐标》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)

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    北师大版八年级上册第三章 位置与坐标综合与测试巩固练习

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    这是一份北师大版八年级上册第三章 位置与坐标综合与测试巩固练习,共30页。
    专题3.5 《位置与坐标》挑战综合(压轴)题分类专题
    (专项练习)
    【类型一】平面直角坐标系➼➻作图题
    【类型①】作图题➼➻点的坐标★✭面积
    1.(2022·浙江·舟山市定海区第五中学一模)在平面直角坐标系中,画出点,点,点与点关于轴对称.
    (1)连结、、,并画出的边上的中线.
    (2)求出的面积.


    2.(2022·福建省诏安县第三实验中学一模)如图,在平面直角坐标系中,,,.
    (1)的面积为___________ ;
    (2)在图中作出关于轴的对称图形;
    (3)写出点的坐标:(_____,___), (______,____),(_____,_______)


    【类型②】作图题➼➻点的坐标★✭最短路径(将军饮马)问题
    3.(2022·安徽滁州·二模)如图,在平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为,,.
    (1)若点P是x轴上的一动点,则的最小值是________.
    (2)在图中作,使与关于y轴对称;
    (3)请分别写出点,,的坐标.



    4.(2017·四川眉山·中考真题)在如图的正方形网格中,每一个小正方形的边长为1,格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三
    角形)的顶点A、C的坐标分别是(-5,5),(-2,3).
    (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系;
    (2)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
    (3)请在x轴上求作一点P,使△PB1C的周长最小,并直接写出点P的坐标.


    【类型二】平面直角坐标系➼➻几何图形
    【类型①】几何图形➼➻点的坐标★✭折叠问题
    5.(2012·山东菏泽·中考真题)如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=10,OC=8.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标.


    6.(2018·湖南邵阳·中考模拟)如图,平面直角坐标系中,四边形OABC是长方形,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上且A(10,0),C(0,6),点D在AB边上,将△CBD沿CD翻折,点B恰好落在OA边上点E处.   
    (1)求点E的坐标;       
    (2)求折痕CD所在直线的函数表达式;       
    (3)请你延长直线CD交x轴于点F.   ①求△COF的面积;
    ②在x轴上是否存在点P,使S△OCP=S△COF?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.


    【类型②】几何图形➼➻点的坐标★✭存在性问题
    7.(2017·湖北鄂州·中考模拟)如图,在下面的直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C(b,4)三点,其中a,b满足关系式.
    (1)求a,b的值;
    (2)如果在第二象限内有一点P(m,),请用含m的式子表示四边形ABOP的面积;
    (3)在(2)的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.


    8.(2018·天津河西·一模)在平面直角坐标系中,点A(0,2),在x轴上任取一点M,连接AM,作AM的垂直平分线l1.过点M作x轴的垂线l2,l1与l2交于点P.设P点的坐标为(x,y).
    (Ⅰ)当M的坐标取(3,0)时,点P的坐标为   ;
    (Ⅱ)求x,y满足的关系式;
    (Ⅲ)是否存在点M,使得△MPA恰为等边三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.


    【类型③】几何图形➼➻点的坐标★✭动点问题
    9.(2018·福建厦门·中考模拟)在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(0,4),BC平分∠ABO交x轴于点C(2,0).点P是线段AB上一个动点(点P不与点A,B重合),过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D,与y轴交于点E,DF平分∠PDO交y轴于点F.设点D的横坐标为t.
    (1)如图1,当0<t<2时,求证:DF∥CB;
    (2)当t<0时,在图2中补全图形,判断直线DF与CB的位置关系,并证明你的结论;
    (3)若点M的坐标为(4,-1),在点P运动的过程中,当△MCE的面积等于△BCO面积的倍时,直接写出此时点E的坐标.


    10.(2018·天津河西·中考模拟)如图1,在平面直角坐标系中,点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上一点,C(0,a),D(b,a),其中a,b满足关系式:|a+3|+(b-a+1)2=0.
    (1)a=___,b=___,△BCD的面积为______;
    (2)如图2,若AC⊥BC,点P线段OC上一点,连接BP,延长BP交AC于点Q,当∠CPQ=∠CQP时,求证:BP平分∠ABC;
    (3)如图3,若AC⊥BC,点E是点A与点B之间一动点,连接CE,CB始终平分∠ECF,当点E在点A与点B之间运动时,的值是否变化?若不变,求出其值;若变化,请说明理由.


    【类型三】平面直角坐标系➼➻几何图形➼➻建系
    【类型①】几何图形➼➻建立平面直角坐标系★✭初步探究
    11.(2021·湖南张家界·一模)问题情境:
    在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x1,y1)和点B(x2,y2),小明在学习中发现,若x1=x2,则AB∥y轴,且线段AB的长度为|y1﹣y2|;若y1=y2,则AB∥x轴,且线段AB的长度为|x1﹣x2|;
    【应用】:
    (1)若点A(﹣1,1)、B(2,1),则AB∥x轴,AB的长度为   .
    (2)若点C(1,0),且CD∥y轴,且CD=2,则点D的坐标为   .
    【拓展】:
    我们规定:平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1,y1),N(x2,y2)之间的折线距离为d(M,N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|;例如:图1中,点M(﹣1,1)与点N(1,﹣2)之间的折线距离为d(M,N)=|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|=2+3=5.

    解决下列问题:
    (1)如图1,已知E(2,0),若F(﹣1,﹣2),则d(E,F)   ;
    (2)如图2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,则t=   .
    (3)如图3,已知P(3,3),点Q在x轴上,且三角形OPQ的面积为3,则d(P,Q)=   .





    12.(2022·全国·八年级课时练习)【初步探究】
    (1)如图1,在四边形中,,E是边上一点,,连接.请判断的形状,并说明理由.
    【问题解决】
    (2)若设,试利用图1验证勾股定理.
    【拓展应用】
    (3)如图2,在平面直角坐标系中,已知点,点,点C在第一象限内,若为等腰直角三角形,求点C的坐标.



    【类型②】几何图形➼➻建立平面直角坐标系★✭综合探究与实践
    13.(2020·四川成都·九年级期中)几何探究题

    (1)发现:在平面内,若,,其中.
    当点A在线段BC上时,线段AC的长取得最小值,最小值为 ;
    当点A在线段CB延长线上时,线段AC的长取得最大值,最大值为 .
    (2)应用:点A为线段BC外一动点,如图2,分别以AB、AC为边,作等边△ABD和等边△ACE,连接CD、BE.
    ①证明:;
    ②若,,则线段BE长度的最大值为 .
    (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为,点B的坐标为,点P为线AB外一动点,且,,.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.






    14.(2020·山西吕梁·八年级期中)综合与实践.
    积累经验
    我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定,在一些探究题中经常用以上知识转化角和边,进而解决问题.例如:我们在解决:“如图1,在中,,,线段经过点,且于点,于点.求证:,”这个问题时,只要证明,即可得到解决,
    (1)请写出证明过程;

    类比应用
    (2)如图2,在平面直角坐标系中,中,,,点的坐标为,点的坐标为,求点的坐标.

    拓展提升
    (3)如图3,在平面直角坐标系中,,,点的坐标为,点的坐标为,则点的坐标为____________.


    【类型四】平面直角坐标系➼➻几何图形➼➻拓展与提升
    15.(2021·河南省淮滨县第一中学模拟预测)如图所示,在平面直角坐标系中,点在一三象限角平分线上,点在x轴上,且m=++4,点A在y轴的正半轴上;四边形的面积为6
    (1)求点A的坐标;
    (2)P为延长线上一点,,交延长线于Q,探究、、的数量关系并说明理由;
    (3)作平行交延长线于D,平分,反向延长线交延长线于,若设,,试求的值.




    16.(2022·湖北武汉·八年级期末)已知:,.
    (1)当a,b满足时,连接AB,如图1.
    ①求:的值.
    ②点M为线段AB上的一点(点M不与A,B重合,其中BM>AM),以点M为直角顶点,OM为腰作等腰直角△MON,连接BN,求证:.
    (2) 当,,连接AB,若点,过点D作于点E,点B与点C关于x轴对称,点F是线段DE上的一点(点F不与点E,D重合)且满足,连接AF,试判断线段AC与AF之间的位置关系和数量关系,并证明你的结论.







    参考答案
    1. (1)见分析;(2)4
    【分析】(1)标出点,点,依据轴对称的性质,即可得到点,依次连结,再利用中点坐标公式得出E点坐标,画出AE即可;
    (2)根据三角形面积计算公式,即可得到的面积S的值.
    解:∵点与点关于轴对称且,

    如下图所示,依次在图中画出点A、点B与点并连接即可,
    又∵ 是边上的中线,

    如图所示,连接AE即可;

    (2)
    【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系基础,解题的关键是学会利用轴对称性质求坐标及面积.
    2.(1)7.5(2)见分析(3)(1,5), (1,0),(4,3).
    【分析】(1)利用三角形的面积公式求解即可;
    (2)先做出A,B,C关于y轴的对称点,然后顺次连接即可;
    (3)根据点的位置直接写出坐标即可.
    (1)解:S△ABC=.
    (2)解:如图即为所求.

    (3)解:(1,5), (1,0),(4,3).
    【点拨】本题主要考查了坐标与图形、轴对称、三角形的面积等知识点,灵活运用相关知识成为解答本题的关键.
    2. (1);(2)见分析;(3)A′(-4,0),B′(1,4),C′(3,1).
    【分析】(1)根据网格特征作点B关于x轴的对称点B1,连接CB1,交x轴于P,则CB1即为的最小值,根据勾股定理求出CB1的长即可得答案;
    (2)分别作出点A、B、C关于y轴对称的对应点,顺次连接即可得答案;
    (3)根据关于y轴对称的点的坐标特征即可得答案.
    解:(1)如图,作点B关于x轴的对称点B1,连接CB1,交x轴于P,则CB1即为的最小值,
    ∴的最小值是=,
    故答案为:

    (2)如图,分别作点A、B、C关于y轴对称的对应点A′、B′、C′,顺次连接A′、B′、C′即为所求;
    (3)∵点A、B、C与A′、B′、C′关于y轴对称,,,,
    ∴A′(-4,0),B′(1,4),C′(3,1).
    【点拨】本题考查轴对称——最短路线问题、网格特征及勾股定理,灵活运用对称性和两点之间线段最短的性质是解题关键.
    4.(1)见分析;(2)见分析;(3) P点坐标(,0)解:分析:(1)根据A点坐标建立平面直角坐标系即可;
    (2)分别作出各点关于轴的对称点,再顺次连接即可;
    (3)作出点B关于轴的对称点B2,连接交轴于点P,则P点即为所求.
    解:(1)如图所示;             
    (2)如图所示;                    
    (3)P点坐标(,0)
           
    【点拨】考查作图-轴对称变换,勾股定理,轴对称-最短路线问题,注意最短路线问题的求法,是高频考点.
    5. E(4,8),D(0,5)
    【分析】先根据勾股定理求出BE的长,从而可得出CE的长,求出E点坐标.在Rt△DCE中,由DE=OD及勾股定理可求出OD的长,从而得出D点坐标.
    解:依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,
    ∴在Rt△ABE中,AE=AO=10,AB=8,

    ∴CE=4,
    ∴E(4,8)
    在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
    又∵DE=OD,
    ∴(8-OD)2+42=OD2
    ∴OD=5
    ∴D(0,5)
    【点拨】本题考查翻折变换(折叠问题),坐标与图形性质,勾股定理等知识点,关键在于找到直角三角形.
    6. (1)E(8,0);(2)y=﹣x+6(3)①54;②点P的坐标为(6,0)或(﹣6,0).
    【点拨】(1)根据折叠的性质知CE=CB=10.在在直角△COE中,由勾股定理求得OE=8;
    (2)根据OC=6知C(0,6),由折叠的性质与勾股定理,求得D(10,),利用待定系数法求CD所在直线的解析式;
    (3)①根据F(18,0),即可求得△COF的面积;②设P(x,0),依S△OCP=S△CDE得×OP×OC=×54,即×|x|×6=18,求得x的值,即可得出点P的坐标.
    解:(1)如图,

    ∵四边形ABCD是长方形,
    ∴BC=OA=10,∠COA=90°,
    由折叠的性质知,CE=CB=10,
    ∵OC=6,
    ∴在直角△COE中,由勾股定理得OE==8,
    ∴E(8,0);
    (2)设CD所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),
    ∵C(0,6),
    ∴b=6,
    设BD=DE=x,
    ∴AD=6-x,AE=OA-OE=2,
    由勾股定理得AD2+AE2=DE2
    即(6-x)2+22=x2,
    解得x=,
    ∴AD=6-=,
    ∴D(10,),
    代入y=kx+6 得,k=-,
    故CD所在直线的解析式为:y=-x+6;
    (3)①在y=-x+6中,令y=0,则x=18,
    ∴F(18,0),
    ∴△COF的面积=×OF×OC=×18×6=54;
    ②在x轴上存在点P,使得S△OCP=S△COF,
    设P(x,0),依题意得
    ×OP×OC=×54,即×|x|×6=18,
    解得x=±6,
    ∴在x轴上存在点P,使得S△OCP=S△COF,点P的坐标为(6,0)或(-6,0).
    点睛:本题属于四边形综合题,主要考查了矩形的性质,折叠的性质,勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用.解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用.
    7.(1)a=2,b=3;(2)S=3-m; (3)P(-3,)【分析】(1)根据二次根式的性质得出b2-9=0,再利用b+3≠0,求出b的值,进而得出a的值;
    (2)因为P在第二象限,将四边形ABOP的面积表示成三角形APO和三角形AOB的面积和,即可求解;
    (3)将A,B,C坐标在直角坐标系中表示出来,求出三角形ABC的面积,当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时,即3-m=6,得m=-3,即可进行求解.
    解:(1)∵a,b满足关系式,
    ∴b2−9=0,b+3≠0,
    ∴b=3,a=2;
    (2)四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和,
    ∵P在第二象限,
    ∴m

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