哈尔滨齐齐哈尔市建华区3年（2020-2022）九年级上学期期末试题汇编 3解答题

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哈尔滨齐齐哈尔市建华区3年（2020-2022）九年级上学期期末试题汇编-03 解答题
三、解答题
52．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）（1）计算：
（2）解方程：
53．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）已知一次函数y＝x＋2与反比例函数y＝，其中一次函数y＝x＋2的图像经过点P(k，5)．
(1)试确定反比例函数的表达式；
(2)若点Q是上述一次函数与反比例函数图像在第三象限的交点，求点Q的坐标．
54．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）一只不透明的袋子中装有三个质地、大小都相同的小球，球面上分别标有数字-1、2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回)，记下数字作为点M的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．
（1）用树状图或列表等方法，列出所有可能出现的结果；
（2）求事件A“点M落在第二象限”的概率P(A)．
55．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长．

56．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点M交⊙O于点D，CB⊥AB于点B交AD的延长线于C．
（1）求证：AD=DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=2，CE=1，请你直接写出：AC=___，⊙O的半径=____．

57．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）等边ABC中，点D为BC边上一动点，∠PDQ=60°，且DP，DQ分别与边AB，AC交于点E、点F．
（1）如图1，当点D运动到满足条件：BD=2DC，且PD⊥AB时，可证明BED≌_______，若连接EF，则可以判断EDF的形状为________；
（2）如图2，当点D运动到满足条件：BE=DC时，可以判断EPF的形状为____，请证明你的结论；
（3）若等边ABC的边长为6，小聪发现点D运动到某个位置时能够使CF=AE=2，请你画出符合条件的图形，井直接写出DE的长．

58．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）抛物线经过A、B(1，0)、C(0，-3)三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PB+PC最小，求出P点坐标；
（3）在线段AC上找一点M，使AOM∽ABC，请你直接写出点M的坐标；
（4）在y轴上是否存在一点E，使ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

59．（2020·黑龙江·齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）（1）解方程
（2）计算：
60．（2020·黑龙江·齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图，点在轴上，四边形中，∥，与不平行，，过点作于点，和反比例函数的图象交于点，当四边形的面积为18时，________，的值为____________．

61．（2020·黑龙江·齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）如图，长方形绿地长32m、宽20m，要在这块绿地上修建宽度相同且与长方形各边垂直的三条道路，使六块绿地面积共，问道路宽应为多少？

62．（2020·黑龙江·齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）如图，中，是边上的高，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

63．（2020·黑龙江·齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸取出一张纸牌，（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；
（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．
64．（2020·黑龙江·齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）如图，在中，，是边上的一点，为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
65．（2020·黑龙江·齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．

（1）求的值；
（2）求点的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点（其中，），使，求点的坐标；
（4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
66．（2020·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）（1）解方程．
（2）计算：．
67．（2020·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）直线与双曲线只有一个交点，且与轴、轴分别交于、两点，AD垂直平分，交轴于点．
（1）求直线、双曲线的解析式；
（2）过点作轴的垂线交双曲线于点，求 的面积．

68．（2020·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，某中学有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路（阴影部分），余下的四块矩形小场地建成草坪．
（1）请分别写出每条道路的面积（用含或的代数式表示）；
（2）若，并且四块草坪的面积之和为144平方米，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？

69．（2020·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在中，点在边上，点在边上，且，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．

70．（2020·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．

71．（2020·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，是圆的直径，平分，交圆于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）若，，求的长．

72．（2020·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，平面直角坐标系中，点、点在轴上（点在点的左侧），点在第一象限，满足为直角，且恰使∽△，抛物线经过、、三点．
（1）求线段、的长；
（2）求点的坐标及该抛物线的函数关系式；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．


【答案】
52．（1）；（2），
【分析】（1）根据特殊角的数据函数值，二次根式的性质化简，进行实数的混合运算即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可
【详解】（1）原式=
=
（2）

，
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质，解一元二次方程，牢记特殊角的三角函数值并正确的计算是解题的关键．
53．（1）反比例函数的表达式为y＝；（2）点Q的坐标为(－3，－1)．
【分析】（1）把点P(k，5)，代入y＝x＋2可求k;
（2）由方程组 求得函数图象交点.
【详解】解：(1)∵一次函数y＝x＋2的图像经过点P(k，5)，
∴5＝k＋2，解得k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)联立两个函数表达式得方程组,
解得, 或
经检验，它们都是原方程组的解．
因为点Q在第三象限，故点Q的坐标为(－3，－1)．
【点睛】本题考核知识点：一次函数与反比例函数图象的交点.解题关键点：解方程组求函数图象交点.
54．（1）树状图见解析，(－1，2)、(－1，3)、(2，－1)、(2，3)、(3，－1)、(3，2)；（2）
【分析】（1）根据题意画出树状图，并列出所有可能出现的结果；
（2）根据（1）的树状图求事件A“点M落在第二象限”的概率P(A)
【详解】解：（1）可画树状图如下：

由此可知点M的坐标有以下六种等可能性：(－1，2)、(－1，3)、(2，－1)、(2，3)、(3，－1)、(3，2)．
（2）上面六种等可能性中第二象限的点M为(－1，2)、(－1，3)两种，
∴事件A“点M落在第二象限”的概率为P(A)=
【点睛】本题考查了树状图法求概率，第二象限点的坐标特征，掌握树状图法求概率是解题的关键．
55．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到∠B=∠D，AB=CD，再由∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°即可得到∠BAE=∠DAF；
（2）由tan∠BAE，AE=4，得到BE=3，可求出，证明△ABE∽△ADF 得到，求出DF的长，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=90°，∠AFD=90°
∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°
∴∠BAE=∠DAF；

（2）解：∵tan∠BAE，AE=4，
∴BE=3，
∴在△ABE中，，
∴
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF，
∴△ABE∽△ADF
∴，
∴，
∴FC==．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，熟记相关知识是解题的关键．
56．（1）见解析；（2），
【分析】（1）由垂径定理可推出，然后证明△AMD∽△ABC，得到，即可推出AD=DC；
（2）连接OB，先证明四边形MDEB为矩形，得到EC=BE=MD=1，DE=MB=2，则AB=AM+BM=4，BC=BE+EC=2在Rt△BOM中，OB2=OM2+MB2=（OB-MD）2+MB2，即OB2=（OB-1）2+22，在Rt△ABC中，．
【详解】证明（1）证明：∵⊙O中，OD⊥弦AB于M，
∴AM=MB，∠OMB=90°
∴，
∵CB⊥AB于B，
∴∠ABC=90°，
∴∠OMB=∠ABC，
∴OD∥BC，
∴△AMD∽△ABC，
∴，
∴AC=2AD，
∴AD=DC；
（2）连接OB，如图所示：

∵⊙O的切线交BC于E，
∴OD⊥DE，
又∵OD⊥AB，
∴AB∥DE，
∵OD∥BC，OD⊥DE
∴四边形MDEB为矩形，
∵AD=DC，EC=1，DE=2，
∴EC=BE=MD=1，DE=MB=2，
∴AB=AM+BM=4，BC=BE+EC=2
∴在Rt△BOM中，OB2=OM2+MB2=（OB-MD）2+MB2，即OB2=（OB-1）2+22，
在Rt△ABC中，．
∴OB=，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
57．（1），等边三角形；（2）等边三角形，见解析；（3）见解析，4或
【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，可得出∠BDE＝30°，即可得出BD＝2BE，2DC，可得△BED≌△CDF（ASA），得DE＝DF，由等边三角形性质可判断结论；
（2）由等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，等量代换得出∠CDF＝∠BED，证得△BED≌△CDF（ASA）可得出DE＝DF即可得出结论；
（3）∠B＝∠C和∠BED＝∠CDF，可证得△BDE∽△CFD，设BD＝x，则CD＝6－x，由相似三角形的性质可列出等式，求出BD的值，进而求出DE的值．
【详解】（1）∵连接EF，

ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵PD⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE，
∵BD=2DC，
∴BE＝DC，
∵∠PDQ＝60°，
∴∠CDF＝180°－∠BDE－∠PDQ＝180°－30°－60°＝90°，
∴∠CDF＝∠BED，
在△BED和△CDF中，

∴△BED≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，
∵∠PDQ＝60°，
∴△EDF是等边三角形
故答案为：，等边三角形
（2）等边三角形，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°
∵∠EDF=60°
∴∠BDE+∠FDC＝180°－60°＝120°
在△BDE中，∠BDE+∠BED＝180°－∠B＝120°
∴∠BDE+∠FDC＝∠BDE+∠BED
∴∠BDE＝∠FDC
又∵BE＝DC，∠B＝∠C
∴△BDE≌△CFD(AAS)
∴DE＝FD
∴△DEF为等边三角形，
故答案为：等边三角形
(3)∵在等边△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BED+∠BDE＝120°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠CDF+∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
设BD＝x，则CD＝6－x，
∵CF=AE=2，
∴BE＝4，
∴，
解得：x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，在△BED中，∠B＝60°，BE＝4，BD＝2，
可得出∠BED＝30°，∠BDE＝90°，
∴DE＝，
当x＝4时，在△BED中，∠B＝60°，BE＝4，BD＝4，
∴△BED为等边三角形，
∴DE＝4
故DE＝4或．
作图如下：

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握各性质和判定是解题的关键．
58．（1）；（2）P(－1，－2)；（3）(，)；（4）存在，E1(0，－3)或E2(0，－1)或E3(0，)或E4(0，)
【分析】（1）把B、C坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（2）连接AP，先求出A点坐标，然后根据抛物线的对称性得到AP=BP，则PB+PC的最小值，即为PA+PC的最小值，故当P、A、C三点共线时，PA+PC最小，即P在P1所在的位置，求出直线AC的解析式，即可求出P点坐标；
（3）由△AOM∽△ABC，得到∠AOM=∠ABC，则OM∥BC，求出直线BC的解析式为，直线OM的解析式为，联立，即可求出点M的坐标为（，）；
（4）先求出D点坐标为（-1，4），设E点坐标为（0，m），由两点距离公式得到，，，然后分三种情况进行讨论：当∠ADE=90°，当∠AED=90°，当∠DAE=90°．
【详解】解：（1）∵抛物线经过B（1，0），C（0，-3），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，连接AP，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵A是抛物线与x轴的另一个交点，B（1，0），
∴A（-3，0），
∵A、B关于抛物线对称轴对称，
∴AP=BP，
∴PB+PC的最小值，即为PA+PC的最小值，
∴当P、A、C三点共线时，PA+PC最小，即P在P1所在的位置，
设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为，
∴当时，，
∴P点坐标为（-1，-2）；

（3）∵△AOM∽△ABC，
∴∠AOM=∠ABC，
∴OM∥BC，
设直线BC的解析式为，直线OM的解析式为，
∴，
∴
∴直线BC的解析式为，直线OM的解析式为，
联立，
解得，
∴点M的坐标为（，）；

（4）∵抛物线解析式为，
∴D点坐标为（-1，4），
设E点坐标为（0，m），
∴，，
，
如图4-1所示，当∠EAD=90°，
∴，
∴，
解得，
∴此时E点坐标为（0，）；

如图4-2，当∠ADE=90°时，
∴，
∴，
解得，
∴此时E点坐标为（0，）；

同理当∠AED=90°时，
∴，
∴，
解得或
∴此时E点坐标为（0，-1）或（0，-3）；
∴综上所述，E点坐标为（0，-3）或（0，-1）或（0，）或（0，）时，△ADE是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，两点距离公式，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，二次函数最短路径问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
59．（1），；（2）1
【分析】（1）先将方程变形为一元二次方程的一般形式，然后利用配方法解方程；
（2）含特殊角三角函数，负整数指数幂和零指数幂的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减．
【详解】解：（1）




∴，
（2）



【点睛】本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数值，负整数指数幂及零指数幂的计算，掌握相关计算法则正确计算是解题关键．
60．（1），；（2）4，1：2
【分析】（1）利用待定系数法求解两函数解析式即可；
（2）设点P（m，n），易得OD=m+2，CE=3，BC=m﹣2，根据梯形的面积公式列方程，可求得m值，进而求得n值，利用坐标与图形性质求得PE、PC的值即可解答．
【详解】解：（1）将点代入，得，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，解得，∴，
把、代入，
可列，解得，
直线解析式为
（2）∵四边形中，∥，与不平行，，
∴四边形OBCD是等腰梯形，
由题意，设P(m，n)，则C（m，3），E(m，0)，D(m+2，0)，
∴OD=m+2，CE=3，BC=m﹣2，
∵四边形的面积为18，
∴，
解得：m=6，又mn=6，
∴n=1，BC=m﹣2=4，
∴PE=1，PC=3﹣1=2，
∴=1：2，
故答案为：4，1：2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、梯形的面积公式、线段的比，解答的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，利用梯形面积公式求得相关线段的长度，进而确定关键点的坐标，属于中档题型，难易适中．
61．道路宽为1m
【分析】设道路宽为m，则六块绿地可合成长为，宽为的长方形，根据六块绿地面积共，即可得出关于的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【详解】解：设道路宽为m，
依题意得，
整理得：
解得：，（不符合题意，舍去），
答：道路宽为1m
【点睛】本题考察了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
62．（1）见解析；（2）3.2
【分析】（1）由题意易得，则有，进而可得，问题可求证；
（2）由题意易得，则有，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵是边上的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）∵，，
∴，
在，，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
63．（1）；（2）这个游戏公平，理由见解析
【分析】（1）先列表展示所有可能的结果数为16，再找出两次摸取纸牌上数字之和为5的结果数，然后根据概率的概念计算即可；
（2）从表中找出两次摸出纸牌上数字之和为奇数的结果数和两次摸出纸牌上数字之和为偶数的结果数，分别计算这两个事件的概率，然后判断游戏的公平性．
【详解】解：根据题意，列表如下：
甲
乙
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
.3
4
5
6
7
4
5
6
7
8


由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．
（1）两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）=；
（2）这个游戏公平，理由如下：
∵两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P（B）=，
两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P（C）=，
∴两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平．
64．（1）证明见解析；（2）8
【分析】（1）连接，由切线的性质可证明，再结合 ，可证明，可证得；（2）证明Rt△ABC∽Rt△AOE，得出 ，设 的半径是r，则有，解得 ，则可得出答案．
【详解】（1）证明：连结，

∵与边相切于点，为的半径，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴．
（2）在和中，是公共角，
，
∴，∴，
设的半径是，则有，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的性质及相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
65．（1）；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为（2，3）；（4）存在，，
【分析】（1）直接将A的坐标代入二次函数解析式可求出m，从而得到二次函数的解析式；
（2）令y=0，解方程得B点坐标；
（3）由，同底等高的两个三角形面积相等，所以只要△ABD的AB边上的高与OC相等即可，则由抛物线的对称性可得D的坐标；
（4）分AB是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可．
【详解】解：（1）将（3,0）代入二次函数解析式，
得．
解得，．
（2）二次函数解析式为，
令，得．
解得或．∴点的坐标为．
（3）∵，点在第一象限，
∴点、关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为（0,3），
∴点的坐标为（2，3）．
（4）在中，令x=0，得y=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为：，则，，解得，
∴直线AC的解析式为：，
如图，

若AB为矩形的对角线，
∵，
∴，，矩形是正方形
由，及，PQ平分AB， 得，，
若AB为矩形的边，
同理可得，矩形是正方形，
由，，得，，
综上所述，存在，，使能构成矩形．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，其中第（4）问要注意分类求解，避免遗漏．
66．（1），；（2）．
【分析】（1）根据题意直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据题意运用幂的运算以及特殊锐角三角函数进行计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知，
，.
（2）

．
【点睛】本题考查解一元二次方程以及实数的运算，熟练掌握实数运算法则以及解一元二次方程的解法是解本题的关键．
67．（1）；；（2）．
【分析】（1）由题意利用待定系数法求一次函数以及反比例函数解析式即可；
（2）根据题意求出BE和BD的值，运用三角形面积公式即可得解.
【详解】解：（1）由已知得，，
∴.
将点、点坐标代入，
得，解得，
直线解析式为；
将点坐标代入得，
∴反比例函数的解析式为.
（2）∵E和B同横轴坐标，
∴当时，即 ，
∵，，D（1，0）
∴BD=1，即为以BE为底的高，
∴.
【点睛】本题考查反比例函数和几何图形的综合问题，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式以及运用数形结合思维分析是解题的关键.
68．（1）这两条道路的面积分别是平方米和平方米；（2）原来矩形的长为20米，宽为10米．
【分析】（1）由题意矩形场地的长为米，宽为米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积；
（2）根据题意四块草坪的面积之和为144平方米这一等量关系建立方程进行分析计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知这两条道路的面积分别是平方米和平方米.
（2），
∴，
根据题意得：
解得：，（舍去），
∴（米）
答：原来矩形的长为20米，宽为10米.
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键.
69．（1）证明见解析；（2）AB=2．
【分析】（1）由题意根据相似三角形的判定定理即可证明∽；
（2）根据题意利用相似三角形的相似比，即可分析求解.
【详解】解：（1）证明：∵，.
∴.
∵
∴ ，
∵为公共角，
∴∽.
（2）∵∽
∴
∴
∴（-2舍去）
∴.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，能够证得∽是解答此题的关键．
70．(1) ；（2）公平，理由见解析
【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【详解】解：（1）方法一画树状图：

由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种．
∴P（和为奇数）= ．
方法二列表如下：

由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．
∴P（和为奇数）= ；
（2）∵P（和为奇数）= ，
∴P（和为偶数）= ，
∴这个游戏规则对双方是公平的．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
71．（1）证明见解析；（2）AE=．
【分析】（1）由题意连接OE，由角平分线的性质并结合平行线的性质进行分析故可得CD是⊙O的切线；
（2）根据题意设r是⊙O的半径，在Rt△CEO中，，进而有OE∥AD可得△CEO∽△CDA，可得比例关系式，代入进行求解即可．
【详解】解：（1）证明：连结，

∵平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是圆的切线.
（2）设是圆的半径，在中，
即.解得.
∵，
∴∽
∴
即，解得，
∴=.
【点睛】本题考查圆相关，熟练掌握并利用圆的切线定理以及相似三角形的性质进行分析是解题的关键.
72．（1）OB=6，=；（2）的坐标为；；（3）存在，，，，
【分析】（1）根据题意先确定OA，OB的长，再根据△OCA∽△OBC，可得出关于OC、OA、OB的比例关系式即可求出线段、的长；
（2）由题意利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理来求C点的坐标，并将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式；
（3）根据题意运用等腰三角形的性质，对所有符合条件的点的坐标进行讨论可知有四个符合条件的点，分别进行分析求解即可．
【详解】解：（1）由（）
得，，即：，
∵∽
∴
∴（舍去）
∴线段的长为.
（2）∵∽
∴，
设，
则，
由
得，
解得（-2舍去），
∴，，
过点作于点，

由面积得，∴的坐标为
将点的坐标代入抛物线的解析式得
∴.
（3）存在，，，

①当P1与O重合时，△BCP1为等腰三角形
∴P1的坐标为（0，0）；
②当P2B=BC时（P2在B点的左侧），△BCP2为等腰三角形
∴P2的坐标为（6-2，0）；
③当P3为AB的中点时，P3B=P3C，△BCP3为等腰三角形
∴P3的坐标为（4，0）；
④当BP4=BC时（P4在B点的右侧），△BCP4为等腰三角形
∴P4的坐标为（6+2，0）；
∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：
，，，.
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，掌握由抛物线求二次函数的解析式以及用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识运用数形结合思维分析是解题的关键.