广西贵港市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份广西贵港市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共42页。试卷主要包含了0﹣+6cs30°；，计算，，与x轴的正半轴相交于点B，两点等内容，欢迎下载使用。
广西贵港市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2020•贵港）（1）计算：|﹣2|+（3﹣π）0﹣+6cos30°；
（2）先化简再求值÷，其中m＝﹣5．
二．解分式方程（共1小题）
2．（2021•贵港）（1）计算：﹣2cos45°；
（2）解分式方程：．
三．分式方程的应用（共2小题）
3．（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
4．（2020•贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
5．（2021•贵港）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
6．（2022•贵港）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A和点C（3，2），与x轴的正半轴相交于点B．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积．

7．（2021•贵港）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．

8．（2020•贵港）如图，双曲线y1＝（k为常数，且k≠0）与直线y2＝2x+b交于A（1，m）和B（n，n+2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）当x＞0时，试比较函数值y1与y2的大小．

六．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．

10．（2021•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

11．（2020•贵港）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠PAC＝45°时，求m的值．

七．三角形综合题（共1小题）
12．（2022•贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD＝2AC，AD与BC相交于点O．
（1）如图1，若连接CD，则△BCD的形状为 　 　，的值为 　 　；
（2）若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC＝，求OE的长；
②如图3，当∠ACB＝60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：OF⊥AB．


八．四边形综合题（共1小题）
13．（2020•贵港）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．
（1）如图1，当点P与点C重合时，则线段EB＝　 　，EF＝　 　；
（2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA．
①求证：四边形MEPF是平行四边形；
②当tan∠MAD＝时，求四边形MEPF的面积．

九．切线的判定与性质（共2小题）
14．（2021•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．

15．（2020•贵港）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，AD＝3，求直径AE的长．

一十．作图—基本作图（共1小题）
16．（2022•贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．

一十一．作图-旋转变换（共1小题）
17．（2020•贵港）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（4，1），C（4，3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2．

一十二．几何变换综合题（共1小题）
18．（2021•贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 　 　；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2022•贵港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长．

一十四．作图-相似变换（共1小题）
20．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．

一十五．特殊角的三角函数值（共1小题）
21．（2022•贵港）（1）计算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；
（2）解不等式组：
一十六．条形统计图（共2小题）
22．（2022•贵港）在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有 　 　人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是 　 　；
（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．
23．（2020•贵港）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并绘制以下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）B（良好）等级人数所占百分比是　 　；
（2）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是　 　；
（3）请补充完整条形统计图；
（4）若该校九年级学生共1000名，请根据以上调查结果估算：评价结果为A（优秀）等级或B（良好）等级的学生共有多少名？

一十七．列表法与树状图法（共1小题）
24．（2021•贵港）某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
组别
锻炼时间（分）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤20
12
20%
B
20＜x≤40
a
35%
C
40＜x≤60
18
b
D
60＜x≤80
6
10%
E
80＜x≤100
3
5%
（1）本次调查的样本容量是 　 　；表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 　 　；
（4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人？


参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2020•贵港）（1）计算：|﹣2|+（3﹣π）0﹣+6cos30°；
（2）先化简再求值÷，其中m＝﹣5．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+1﹣2+6×
＝2﹣+1﹣2+3
＝3；

（2）÷
＝•
＝，
当m＝﹣5时，原式＝＝．
二．解分式方程（共1小题）
2．（2021•贵港）（1）计算：﹣2cos45°；
（2）解分式方程：．
【解答】解：（1）原式＝2+1﹣1﹣2×
＝2+1﹣1﹣
＝；
（2）整理，得：，
方程两边同时乘以（x﹣2），得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
三．分式方程的应用（共2小题）
3．（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
【解答】解：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，
根据题意，得，
解得x＝7，
经检验可知x＝7是所列分式方程的解，且满足实际意义，
∴x+23＝30，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，
根据题意，得7×3m+30m＝510，
解得m＝10，
∴3m＝30，
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
4．（2020•贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【解答】解：（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，
根据题意，得：＝．
解方程，得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的根，且符合题意．
所以x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；

（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：2.5×2m+4m≤3800．
解不等式，得：m≤422．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为422．
答：增加购买A型口罩的数量最多是422个．
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
5．（2021•贵港）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
【解答】解：（1）设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货车每辆可装载y箱材料，
依题意得：，
解得：．
答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．
（2）设租用m辆甲型货车，则租用（70﹣m）辆乙型货车，
依题意得：，
解得：≤m≤．
又∵m为整数，
∴m可以取18，19，
∴该公司共有2种租车方案，
方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；
方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
6．（2022•贵港）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A和点C（3，2），与x轴的正半轴相交于点B．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积．

【解答】解：（1）∵点C（3，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴＝2，
解得：k＝6；
（2）∵点C（3，2）是线段AB的中点，
∴点A的纵坐标为4，
∴点A的横坐标为：＝，
∴点A的坐标为（，4），
设直线AC的解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+6，
当y＝0时，x＝，
∴OB＝，
∵点C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝S△AOB＝×××4＝．
7．（2021•贵港）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．

【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+2＝3，
∴交点的坐标为（1，3），
将（1，3）代入y＝，
解得：k＝1×3＝3；

（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2，
由，
解得：或，
∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），
∴AB＝＝4．
8．（2020•贵港）如图，双曲线y1＝（k为常数，且k≠0）与直线y2＝2x+b交于A（1，m）和B（n，n+2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）当x＞0时，试比较函数值y1与y2的大小．

【解答】解：（1）∵点B（n，n+2）在直线y2＝2x+b上，
∴n+2＝2×n+b，
∴b＝2，
∴直线y2＝2x+2，
∵点A（1，m）在直线y2＝2x+2上，
∴m＝2+2＝4，
∴A（1，4），
∵双曲线y1＝（k为常数，且k≠0）与直线y2＝2x+b交于A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
（2）由图象可知，当0＜x＜1时，y1＞y2；
当x＝1时，y1＝y2＝4；
当x＞1时，y1＜y2．
六．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．

【解答】解：（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝2，
∴C点坐标为（2，0），
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴∠ACO＝∠DEP，
∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
∴，
∴PE＝PD，
∴PD+PE＝PD，
设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，﹣a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+，
∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当a＝时，PD+PE有最大值为；
（3）①当△AOC∽△APD时，
∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，
∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；
②当△AOC∽△DAP时，

此时∠APG＝∠ACO，
过点A作AG⊥PD于点G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），
则，
解得：m＝，
∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），
综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．
10．（2021•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵点C的坐标为（0，2），
∴c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，
∵点A（﹣3，0）在抛物线上，
∴9a﹣6a+2＝0，
∴a＝﹣，
∴b＝2a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，
记BD与AC的交点为点E，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵直线x＝﹣1垂直平分AB，
∴点E在直线x＝﹣1上，
∵点A（﹣3，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
当x＝﹣1时，y＝，
∴点E（﹣1，），
∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，
即直线l的解析式为y＝﹣x+；

Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴BD∥AC，
由Ⅰ知，直线AC的解析式为y＝x+2，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣，
即直线l的解析式为y＝x﹣；
综上，直线l的解析式为y＝﹣x+或y＝x﹣；

（3）由（2）知，直线BD的解析式为y＝x﹣①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2②，
∴或，
∴D（﹣4，﹣），
∴S△ABD＝AB•|yD|＝×4×＝，
∵S△BDP＝S△ABD，
∴S△BDP＝×＝10，
∵点P在y轴左侧的抛物线上，
∴设P（m，﹣m2﹣m+2）（m＜0），
过P作y轴的平行线交直线BD于F，
∴F（m，m﹣），
∴PF＝|﹣m2﹣m+2﹣（m﹣）|＝|m2+2m﹣|，
∴S△BDP＝PF•（xB﹣xD）＝×|m2+2m﹣|×5＝10，
∴m＝﹣5或m＝2（舍）或m＝﹣1或m＝﹣2，
∴P（﹣5，﹣8）或（﹣1，）或（﹣2，2）．



11．（2020•贵港）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠PAC＝45°时，求m的值．

【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+x﹣3①；

（2）过点D作DE⊥y轴于点E，
而直线l⊥AC，AO⊥y轴，

∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠OCA＝90°，
∴∠CDE＝∠OCA，
∵∠AOC＝∠CED＝90°，
∴△CED∽△AOC，则，
而点A、C的坐标分别为（﹣6，0）、（0，﹣3），则AO＝6，OC＝3，设点D（x，x2+x﹣3），
则DE＝﹣x，CE＝﹣x2﹣x，
则＝，解得x＝0（舍去）或﹣1，
当x＝﹣1时，y＝x2+x﹣3＝﹣5，
故点D的坐标为（﹣1，﹣5）；

（3）①当点P在x轴的上方时，
由点C、D的坐标得，直线l的表达式为y＝2x﹣3，

延长AP交直线l于点M，设点M（t，2t﹣3），
∵∠PAC＝45°，直线l⊥AC，
∴△ACM为等腰直角三角形，则AC＝CM，
则62+32＝（t﹣0）2+（2t﹣3+3）2，解得t＝3，
故点M的坐标为（3，3），
由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为y＝x+2②，
联立①②并解得x＝﹣6（舍去）或，
故点P的横坐标m＝；
②当点P在x轴的下方时，
同理可得x＝﹣6（舍去）或x＝﹣5，
故m＝﹣5，
综上，m＝﹣5或．
七．三角形综合题（共1小题）
12．（2022•贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD＝2AC，AD与BC相交于点O．
（1）如图1，若连接CD，则△BCD的形状为 　等腰三角形　，的值为 　　；
（2）若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC＝，求OE的长；
②如图3，当∠ACB＝60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：OF⊥AB．


【解答】解：（1）如图1，过点C作CH⊥BD于H，

∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB＝∠ABD＝∠CHB＝90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC＝BH，
又∵BD＝2AC，
∴AC＝BH＝DH，且CH⊥BD，
∴△BCD的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
∴，即DO＝2AO，
∴，
故答案为：等腰三角形，；
（2）①如图2，过点E作EH⊥AD于点H，

∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴AC∥BD，
∵△ADE是等边三角形，且AE与AC重合，
∴∠EAD＝60°，
∴∠ADB＝∠EAD＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴在Rt△ADB中，AD＝2BD，AB＝BD，
又∵BD＝2AC，AC＝，
∴AD＝6，AB＝3，
∴AH＝DH＝AD＝3，AO＝AD＝2，
∴OH＝1，
由旋转性质可得EH＝AB＝3，
在Rt△EOH中，OE＝2；
②如图3，连接CD，

∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝60°，
∵△BCD是等腰三角形，
∴△BCD是等边三角形，
又∵△ADE是等边三角形，
∴△ABD绕点D顺时针旋转60°后与△ECD重合，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
又∵∠BCD＝∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠FCB＝∠FBC＝30°，
∴FC＝FB＝2AF，
∴，
又∵∠OAF＝∠DAB，
∴△AOF∽△ADB，
∴∠AFO＝∠ABD＝90°，
∴OF⊥AB．
八．四边形综合题（共1小题）
13．（2020•贵港）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．
（1）如图1，当点P与点C重合时，则线段EB＝　2　，EF＝　4　；
（2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA．
①求证：四边形MEPF是平行四边形；
②当tan∠MAD＝时，求四边形MEPF的面积．

【解答】解：（1）∵将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，
∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，
∵CE2＝BE2+BC2，
∴（6﹣BE）2＝BE2+12，
∴BE＝2，
∴CE＝4，
∵cos∠CEB＝＝，
∴∠CEB＝60°，
∴∠AEF＝∠FEC＝60°，
∵AB∥DC，
∴∠AEF＝∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE＝4，
故答案为：2，4；
（2）①∵将矩形ABCD折叠，
∴FG∥EP，
∴∠MFO＝∠PEO，
∵点O是EF的中点，
∴EO＝FO，
又∵∠EOP＝∠FOM，
∴△EOP≌△FOM（AAS），
∴FM＝PE，
又∵MF∥PE，
∴四边形MEPF是平行四边形；
②如图2，连接AP交EF于H，

∵将矩形ABCD折叠，
∴AE＝EP，∠AEF＝∠PEF，∠G＝∠D＝90°，AD＝PG＝2，
∴EF⊥PA，PH＝AH，
∵四边形MEPF是平行四边形，
∴MO＝OP，
∴MA∥EF，
∴∠MAP＝∠FHP＝90°，
∴∠MAP＝∠DAB＝90°，
∴∠MAD＝∠PAB，
∴tan∠MAD＝tan∠PAB＝＝，
∴PB＝AB＝×6＝2，
∵PE2＝BE2+BP2，
∴（6﹣BE）2＝BE2+4，
∴BE＝，
∴PE＝6﹣BE＝，
∴四边形MEPF的面积＝PE×PG＝＝．
九．切线的判定与性质（共2小题）
14．（2021•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．

【解答】解：（1）连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝2，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝2×＝，
∴AC＝＝＝，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．

15．（2020•贵港）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，AD＝3，求直径AE的长．

【解答】（1）证明：连接DE，如图1，

∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴∠E＝∠BAD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
即∠BAE＝90°，
∴AE⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：如图2，作AH⊥BC，垂足为点H，

∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
∵∠B＝∠C＝∠BAD，
∴△ABC∽△DBA，
∴，
即AB2＝BD•BC，
又AB＝2，BD＝AD＝3，
∴BC＝8，
在Rt△ABH中，BH＝CH＝4，
∴AH＝＝＝2，
∵∠E＝∠B，∠ADE＝∠AHB，
∴△AED∽△ABH，
∴，
∴＝3．
一十．作图—基本作图（共1小题）
16．（2022•贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．

【解答】解：如图，△ABC为所作．

一十一．作图-旋转变换（共1小题）
17．（2020•贵港）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（4，1），C（4，3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
一十二．几何变换综合题（共1小题）
18．（2021•贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 　AE＝CF　；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【解答】解：（1）结论：AE＝CF．
理由：如图1中，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，
∵∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．

（2）结论成立．
理由：如图2中，

∵∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，
∵∠AOC＝∠EOF，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．

（3）如图3中，

由旋转的性质可知OE＝OA，
∵OA＝OD，
∴OE＝OA＝OD＝5，
∴∠AED＝90°，
∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，
∴＝，
∴△AOE∽△COF，
∴＝，
∵CF＝OA＝5，
∴＝，
∴AE＝，
∴DE＝＝＝．
一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2022•贵港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长．

【解答】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，

∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
又∵∠FAC＝，
∴∠FAC＝∠CAB，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sinB＝，
∴可设AC＝4x，AB＝5x，
∴（5x）2﹣（4x）2＝62，
∴x＝2，
则AC＝8，AB＝10，
设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，
∵Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴，
即，
∴r＝3，
∴AE＝4，
又∵AD＝5，
∴DE＝1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．
一十四．作图-相似变换（共1小题）
20．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．

【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，点E即为所求．

一十五．特殊角的三角函数值（共1小题）
21．（2022•贵港）（1）计算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；
（2）解不等式组：
【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+4﹣
＝4；
（2）解不等式①，得：x＜，
解不等式②，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x．
一十六．条形统计图（共2小题）
22．（2022•贵港）在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有 　90　人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是 　120°　；
（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：18÷20%＝90（人），
故答案为：90；
（2）C社团人数为：90﹣30﹣10﹣10﹣18＝22（人），
补全条形统计图如下：

（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是360°×＝120°，
故答案为：120°；
（4）2700×＝300（人），
答：该校本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数大约有300人．
23．（2020•贵港）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并绘制以下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）B（良好）等级人数所占百分比是　25%　；
（2）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是　72°　；
（3）请补充完整条形统计图；
（4）若该校九年级学生共1000名，请根据以上调查结果估算：评价结果为A（优秀）等级或B（良好）等级的学生共有多少名？

【解答】解：（1）∵被调查的人数为4÷10%＝40（人），
∴B等级人数为40﹣（18+8+4）＝10（人），
则B（良好）等级人数所占百分比是×100%＝25%，
故答案为：25%；
（2）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是360°×＝72°，
故答案为：72°；
（3）补全条形统计图如下：

（4）估计评价结果为A（优秀）等级或B（良好）等级的学生共有1000×＝700（人）．
一十七．列表法与树状图法（共1小题）
24．（2021•贵港）某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
组别
锻炼时间（分）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤20
12
20%
B
20＜x≤40
a
35%
C
40＜x≤60
18
b
D
60＜x≤80
6
10%
E
80＜x≤100
3
5%
（1）本次调查的样本容量是 　60　；表中a＝　21　，b＝　30%　；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 　　；
（4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人？

【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：12÷20%＝60，
则a＝60﹣12﹣18﹣6﹣3＝21，b＝18÷60×100%＝30%，
故答案为：60，21，30%；
（2）将频数分布直方图补充完整如下：

（3）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝，
故答案为：；
（4）2200×（10%+5%）＝330（人），
即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人．