人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体同步测试题

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《9.2.4总体离散程度的估计》练案

1.已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为(　　)

A.1   B.   C.   D.2

【答案】B

【解析】∵样本容量n＝5，∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，

∴s＝

＝.

2.（多选题）已知一组数据为-1，1，5，5，0，则该组数据的（    ）

A．众数是5 B．平均数是2

C．中位数是5 D．方差是

【答案】ABD

【解析】数据为-1，1，5，5，0，的众数为5，A正确；

数据的平均数为，B正确；

数据的中位数为1，C错误；

数据的方差为，D正确.故选ABD.

3.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示，9个分数分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91.则7个剩余分数的方差为(　　)

A.   B.   C.36   D.

【答案】B

【解析】由题意知去掉的两个数是87，99，

所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.

故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.

4.如果数据，，，的平均数为，方差为，则，，，的平均数和方差分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【解析】∵，，，的平均数为，∴，

∴，，的平均数是：

.

∵，，，的方差为，∴

∴，，的方差是：

.故选 C.

5.已知一组数据，，…，的方差是2，且，则这组数据的平均数___________.

【答案】-3或9

【解析】由题意可知，，

因为，即，所以，

因为，

所以，解得或.

6.（2021·江西新余市第一中学高二月考）已知样本的平均数是10，方差是4，则_____;

【答案】91

【解析】因为样本的平均数是10，方差是4，所以，

 ，则 ，

解得 或 ，所以.

7.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________________(用“>”连接).

【答案】s1>s2>s3

【解析】根据频率分布直方图知，甲的数据绝大部分都处在两端，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大，乙的数据分布均匀，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲的小；丙的数据大部分数都在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小，故s1>s2>s3.

8.为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：）的数据如下：

估计甲、乙两运动员的最大速度的均值和方差，并判断谁参加比赛更合适．

【解】甲的平均数为=33，

乙的平均数为（28+29+33+34+36+38）=33，

甲的方差为，

乙的方差为，

甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适．

9.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数录错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是(　　)

A.70，75    B.70，50

C.75，1.04    D.65，2.35

【答案】B

【解析】 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，

而更正前有75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，

化简整理得s2＝50.

10.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________.

【答案】200

【解析】设男、女员工的权重分别为ω男，ω女，由题意可知

s2＝ω男[s＋(男－)2]＋ω女[s＋(女－)2]，即

ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝，ω女＝，

因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.

11. 我国棉花产量居世界首位，产棉省市区有个新疆是长绒棉的主产区，新疆棉区日照充足，气候干旱，雨量稀少，属灌溉棉区，所产的新疆长绒棉因质地光亮､有弹性，绒长质优，原棉色泽好，备受消费者的青睐.某科技公司欲进一步改良优质棉品质，对甲乙两块试验田种植的两种棉花新品种的棉绒长度进行测量，分别记录抽查数据如下（单位：）：甲：；乙：.试从统计的角度分析说明哪个棉花新品种比较稳定.

【解】品种甲的平均数，

甲的方差为.

乙的平均数，

乙的方差为.

因为，，

所以甲块试验田种植的棉花新品种的棉绒长度比较稳定.

12.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；

(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.

解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.

所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为

(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.

所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20.

(3)设分数的第15百分位数为x，

分数小于50的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，

所以x∈[50，60)，则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15，

解得x＝55，则本次考试的及格分数线为55分.

13.（多选题）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数

C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数

D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

【答案】BCD

【解析】由图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，A项错误，B项正确；

甲的成绩的第80百分位数＝7.5，乙的成绩的第80百分位数＝7.5，所以二者相等，所以C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确.

14.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；

（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这人中35~45岁所有人的年龄的方差.

解：（1）设这人的平均年龄为，则

.

设第80百分位数为，由，解得.

（2）由频率分布直方图得各组人数之比为，

故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，

设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，

则，，，，

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.

则，

，

因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，

据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.