人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步测试题

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6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (精讲）一、必备知识分层透析知识点1：平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．知识点2：两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量，（1）．（2）知识点3：向量模的坐标表示（1）向量模的坐标表示若向量，由于，所以．其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．（2）两点间的距离公式已知原点，点，则，于是．其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．（3）向量的单位向量的坐标表示设，表示方向上的单位向量知识点4：两向量夹角余弦的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则．二、重点题型分类研究题型1: 平面向量数量积的坐标表示1．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，求，，．【答案】，，【详解】由题意，故，，2．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高一期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，、.（1）求的坐标及；（2）求．【答案】（1），；（2）.【详解】（1）由已知条件可得，故；（2）由已知可得，，因此，.3．（2022·云南·昆明八中高一阶段练习）已知中是直角，，点是的中点，为上一点.（1）设，，当，请用，来表示，.（2）当时，求证：.【答案】（1），（2）证明见解析（1）∵，，点是的中点，∴，∴，∵.（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，设，∴点坐标为，另设点坐标为，∵点是的中点，∴点坐标为，又∵，∴，∴，，所以，，所以，∴.4．（2022·广东·卓雅外国语学校高一阶段练习）在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且．（1）求的值；【答案】（1）；【详解】（1）因为，所以以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系如下图：因为，所以．又因为对角线交于点，所以由得，即，因此，而，所以，解得，因此．又因为点在上，所以设，因此，而，所以，解得，即，因此，而，所以，即的值为；题型2：向量的垂直及应用1．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知向量，，，则实数k的值为（       ）A． B． C．6 D．【答案】C【详解】解：因为，，，所以，即，解得，故选：C.2．（2022·河北·高三阶段练习）若，，，则（       ）A．1 B． C．0 D．2【答案】A【详解】解：因为，，所以， 因为，所以，即，解得.故选：A3．（2022·广西来宾·模拟预测（文））已知向量，，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，有，得.故选：C4．（2022·云南·罗平县第二中学高二阶段练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC．若，则的值为（       ）A． B．C． D．【答案】D【详解】构建以B为原点，分别为x、y轴正方向的直角坐标系，∴，，，，则，，又BE⊥AC，∴，可得.故选：D5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、、，，，，所以，，，，则，因此，.故选：A. 题型3：向量的模1．（2022·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知向量，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，则，所以，故选：A.2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知向量，，若，则（       ）A．5 B． C． D．10【答案】B【详解】依题意，，即，解得，则，，故.故选：B3．（2022·宁夏·贺兰县景博中学高三期中（文））已知向量，满足，，，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为向量，满足，，，所以，所以，所以，故选：A．4．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知向量，若，则（       ）A． B． C． D．5【答案】D【详解】由题意可得，解得，所以，因此．故选：D5．（2022·全国·高一课前预习）已知向量则（       ）A． B． C． D．5【答案】B【详解】∵向量∴，∴.故选：B.6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知向量， ，若，则实数m=（       ）A．1 B．-1 C． D．5【答案】B【详解】因为，所以，又因为， ，则，则，故选：B.题型4：向量的夹角1．（2022·广西柳州·一模（理））已知平面向量，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，所以，因为，所以，故选：C.2．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知向量，.则与的夹角的余弦值为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵，，∴，则，，设与的夹角为，则.故选：A.3．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若向量，则与的夹角余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，，则，，，设与的夹角余弦值为，所以.故选：C4．（2022·黑龙江·牡丹江一中高三期中（理））在矩形中，，，若，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图：以为原点，建立如图的平面直角坐标系，因为四边形是矩形，，，，则，，，，则，，故，因为，所以，故选：B.5．（2022·广东·江门市新会陈瑞祺中学高三阶段练习）已知向量，，若，则向量与的夹角等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为向量，，，所以，解得.所以，，所以设向量与的夹角，则.又因，所以故选：A.题型5：与向量夹角有关的参数问题1．（2022·河北巨鹿中学高一阶段练习）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（      ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为与的夹角为锐角，所以且与不平行，即且，解得且，所以实数的取值范围是，故选：D.2．（2022·重庆一中高一阶段练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，解得，若与平行，则，解得，则实数的取值范围是，故选：B.3．（2022·江苏省运河中学高一期中）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】向量，若与的夹角是钝角，则与不平行，且它们的夹角的余弦值小于零．，且，求得且，则实数的取值范围为，， 故选：B题型6：向量数量积的最值1．（2022·安徽·寿县第一中学高一阶段练习）在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（    ）A．1 B． C．－1 D．-2【答案】C【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值．故选：C．2．（2022·云南·曲靖一中模拟预测（理））已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，，即，，，，，（当且仅当，即时取等号），.故选：D.3．（2022·安徽舒城·高一期末）如图，在正方形中，，为的中点，点是以为直径的圆弧上任一点．则的最大值为（    ）A．4 B．5 C． D．【答案】D【详解】则，，设，，，其中，，故选：D.4．（2022·重庆八中高一阶段练习）在梯形中，已知，且，设点为边上的任一点，则的最小值为（    ）A． B． C．3 D．【答案】B【详解】设 则 由，则，所以 过点作交于点，以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.在直角中，由，可得，则 所以 设 所以所以当时，有最小值故选：B5．（2022·广东·珠海市第二中学高三阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图)，后人称其为“赵爽弦图”.在直角三角形中，已知，，在线段上任取一点，线段上任取一点，则的最大值为（    ） A．25 B．27 C．29 D．31【答案】C【详解】建立如图所示平面直角坐标系， 设，，，.，所以当时，取得最大值为.故选：C题型7：向量的模的最值1．（2022·北京·北师大实验中学高三阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（       ）A． B．6 C． D．4【答案】B【详解】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，因为，，所以，所以，，所以，所以，所以当，即时，的最小值为.故选：B2．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，，若t是实数，且，则的最小值为（       ）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】∵，，∴，，∴，∴时，取最小值．故选：C．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量，向量，则的最大值和最小值分别是（       ）A．4，2 B．4，0 C．16，2 D．16，0【答案】B【详解】向量，向量，则，，所以，所以的最大值，最小值分别是：16，0；所以的最大值，最小值分别是4，0.故选：B4．（2022·浙江·高一期末）已知向量，，则的最小值为___________.【答案】【详解】已知向量，，则，所以，.当且仅当时，即当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.5．（2022·上海·闵行中学高二期末）已知向量，，则的最大值为___________.【答案】【详解】已知向量，，则，所以，，其中为锐角，且，因此，的最大值为.故答案为：.