选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质学案

这是一份选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质学案，共10页。学案主要包含了抛物线的简单几何性质，抛物线中的最值问题，与抛物线有关的轨迹方程的求法等内容，欢迎下载使用。

一、抛物线的简单几何性质
问题1 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？
提示 1.范围
当x>0时，抛物线y2 ＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
2．对称性
观察图像，不难发现，抛物线y2 ＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0)．
4．离心率
抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，称为抛物线的离心率．用e表示，e＝1.
知识梳理
注意点：只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
解 椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x
C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
答案 C
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，
则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，
解得a＝±eq \f(\r(3),6)，
所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x.
二、抛物线中的最值问题
例2 已知抛物线C：y＝a2x2的焦点为(0,2)，点P是抛物线C上任意一点，则点P到点A(0,5)距离的最小值为( )
A．2eq \r(6) B．5 C．2eq \r(7) D．6
答案 A
解析 因为抛物线C的焦点为(0,2)，
由题意得eq \f(1,4a2)＝2，则a2＝eq \f(1,8)，
所以x2＝8y，设P(x，y)，
则|PA|＝eq \r(x2＋y－52)＝eq \r(8y＋y2－10y＋25)＝eq \r(y2－2y＋25)＝eq \r(y－12＋24)，
所以当y＝1时，|PA|min＝2eq \r(6).
反思感悟 求两点之间的距离最大或最小值的问题，转化为两点之间的距离，消元后根据二次函数求最值，但要注意自变量的取值范围．
跟踪训练2 已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆(x－6)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \r(21)－1 B．2－eq \f(\r(5),5)
C．2eq \r(5)－1 D．21－4eq \r(5)
答案 C
解析 设圆心为M，P(x，y)，则M(6,0)，
|PM|＝eq \r(x－62＋y2)＝eq \r(x－62＋4x)＝eq \r(x2－8x＋36)＝eq \r(x－42＋20)，
当x＝4时，|PM|min＝2eq \r(5)，|PQ|min＝2eq \r(5)－1.
三、与抛物线有关的轨迹方程的求法
例3 已知点A(1,0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝0.若点P满足eq \(MP,\s\up6(→))＝2eq \(NP,\s\up6(→))，则点P的轨迹方程是________．
答案 y2＝4x
解析 设点M坐标为(a,0)，点N坐标为(0，b)，点P坐标为(x，y)，
则eq \(AN,\s\up6(→))＝(－1，b)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(－a，b)，
∴eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝a＋b2＝0⇒a＝－b2，
而eq \(MP,\s\up6(→))＝(x－a，y)，eq \(NP,\s\up6(→))＝(x，y－b)，
∴eq \(MP,\s\up6(→))＝2eq \(NP,\s\up6(→))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝x－a，,2y－b＝y))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－a，,y＝2b，))
代入a＝－b2可得y2＝4x.
反思感悟 根据题意设出动点的坐标，即“求谁设谁”，建立等式即可．
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))|＝|eq \(PN,\s\up6(→))|，则动点P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x D．x2＝－4y
答案 A
解析 设P(x，y)，M(－1,2)，N(1,0)，
eq \(PM,\s\up6(→))＝(－1－x,2－y)，eq \(ON,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(PN,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，
因为|eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))|＝|eq \(PN,\s\up6(→))|，
所以|1＋x|＝eq \r(1－x2＋y2)，
整理得y2＝4x.
1.知识清单：
(1)抛物线的简单几何性质．
(2)抛物线中的最值问题．
(3)与抛物线有关的轨迹方程的求法．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：在求抛物线的焦点或准线方程时，是否把抛物线转化为标准形式．
1．抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为( )
A．4 B．2 C．1 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设抛物线上的动点P(x0，y0)，
根据抛物线的定义可知，|PF|＝1＋x0，
因为x0∈[0，＋∞)，所以|PF|＝1＋x0≥1，
故抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.
2．已知点A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是( )
A．x2＝－eq \f(1,4)y B．x2＝eq \f(1,4)y
C．x2＝4y D．x2＝－4y
答案 B
解析 设M的坐标为(x，y)，由题意点B与点A(0，－1)所连线段的中点为M，可知B(2x,2y＋1)，
动点B在抛物线y＝2x2＋1上运动，
所以2y＋1＝2(2x)2＋1，
所以x2＝eq \f(1,4)y.
所以点B与点A(0，－1)所连线段的中点M的轨迹方程是x2＝eq \f(1,4)y.
3．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2eq \r(3)，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2eq \r(3)，
则P(3，±2eq \r(3))，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
答案 B
解析 设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，所以x0＝eq \f(1,8)，所以yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,8)，所以y0＝±eq \f(\r(2),4).
课时对点练
1．若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
答案 D
解析 由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，0))，
将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2,0)，
根据题意可得eq \f(m,2)＝2，所以m＝4.
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为( )
A．(7，±eq \r(14)) B．(14，±eq \r(14))
C．(7，±2eq \r(14)) D．(7,2eq \r(14))
答案 C
解析 根据抛物线y2＝8x，知p＝4，
根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离
等于点P到其准线x＝－2的距离，得xP＝7，
把xP代入抛物线方程解得yP＝±2eq \r(14).
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为C上一点，若|MF|＝4，则△MOF(O为坐标原点)的面积为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．4eq \r(3) D．6eq \r(3)
答案 A
解析 因为|OF|＝1，由抛物线的定义可得|MF|＝xM＋1＝4，
解得xM＝3，代入抛物线方程可得yM＝±2eq \r(3)，
所以点M的坐标为(3，±2eq \r(3))，
所以△MOF的面积为eq \f(1,2)|OF|·|yM|＝eq \f(1,2)×1×2eq \r(3)＝eq \r(3).
4．若动圆C过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1(y>2)
C．y2＝8x D．y2＝8x(x≠0)
答案 C
解析 设圆心C的坐标为(x，y)，
过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|ME|＝4，
∴|CA|2＝|CM|2＝|ME|2＋|EC|2，
∴(x－4)2＋y2＝42＋x2，得y2＝8x.
5．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
6．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝16x D．y2＝－16x
答案 AB
解析 设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，由题意知p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________．
答案 －eq \f(3,4)
解析 ∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．
又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝eq \f(0－3,2＋2)＝－eq \f(3,4).
8．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________.
答案 6
解析 如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
∴M到准线距离
d＝|MM′|＋eq \f(p,2)＝3，
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq \r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2))).
因为|AF|＝3，所以y0＋eq \f(p,2)＝3，
因为|AM|＝eq \r(17)，所以xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(p,2)))2＝17，
所以xeq \\al(2,0)＝8，代入方程xeq \\al(2,0)＝2py0得，
8＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．
解 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
则其准线方程为x＝－eq \f(p,2).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝8，即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
∴|QA|＝|QB|，
即eq \r(6－x12＋－y12)＝eq \r(6－x22＋－y22)，
又yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
11．已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝eq \f(π,3)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝2x
C．y2＝x D．y2＝4x
答案 A
解析 过P向x轴作垂线，设垂足为Q，
∵∠PFO＝eq \f(π,3)，|PF|＝2，
∴|PQ|＝eq \r(3)，|QF|＝1，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－1，±\r(3)))，
将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.
12．M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是( )
A．2 B.eq \r(3)－1 C.eq \f(\r(11),2) D.eq \f(\r(11),2)－1
答案 D
解析 设圆心(－1,4)关于直线对称的点为C(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－4,x＋1)＝－1，,\f(x－1,2)－\f(y＋4,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0，))
曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)，
故|MC|＝eq \r(a2－32＋a2)＝eq \r(a4－5a2＋9)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－\f(5,2)))2＋\f(11,4))，
当a2＝eq \f(5,2)时，|MC|有最小值为eq \f(\r(11),2)，
故|MN|的最小值为eq \f(\r(11),2)－1.
13．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为4eq \r(3)，则抛物线方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝eq \f(15,2)x
答案 B
解析 设M(x1，y1)，
则由|MF|＝4|OF|得x1＋eq \f(p,2)＝4×eq \f(p,2)，
即x1＝eq \f(3,2) p，则yeq \\al(2,1)＝3p2，
则|y1|＝eq \r(3)p，则S△OMF＝eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×eq \r(3)p＝4eq \r(3)，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
14．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
答案 6
解析 抛物线的焦点坐标为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线方程为y＝－eq \f(p,2).
将y＝－eq \f(p,2)代入eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1得|x|＝eq \r(3＋\f(p2,4)).要使△ABF为等边三角形，则tan eq \f(π,6)＝eq \f(|x|,p)＝eq \f(\r(3＋\f(p2,4)),p)＝eq \f(\r(3),3)，解得p2＝36，p＝6.
15．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))取得最小值时的点P的坐标是________．
答案 (0,0)
解析 设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－y2,4)，y))，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y2,4)－2，y))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y2,4)－4，y))，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y2,4)－2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y2,4)－4))＋y2＝eq \f(y4,16)＋eq \f(5,2)y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．
16．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解 (1)设抛物线上任一点P(x，y)，则
|PA|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))2＋2x
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))2＋eq \f(1,3)，
x≥0，且在此区间上函数单调递增，
故当x＝0时，|PA|min＝eq \f(2,3)，
故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)．
(2)设点M(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则M到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0)－2y0＋6,2))),\r(2))＝eq \f(|y0－12＋5|,2\r(2))，
当y0＝1时，dmin＝eq \f(5,2\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，
此时点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1