高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质精品教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质精品教学设计，共14页。教案主要包含了典例解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。




本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习抛物线的简单几何性质


《抛物线的简单几何性质》是人教A版选修2-1第二章第四节的内容。本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。


坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.








重点：抛物线几何性质的简单应用


难点：直线与抛物线中的焦点弦、弦中点等问题





多媒体





























学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，进一步学习抛物线的有关知识，培养类比思维，提升方程思想和数形结合的思想方法。教学中有分组讨论、合作交流的习惯。在教师的指导下能够主动与同学探究、发现、归纳数学知识。





课程目标
学科素养
A.掌握抛物线的简单几何性质.


B.了解抛物线几何性质的简单应用.


C.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.
1.数学抽象：抛物线的几何性质


2.逻辑推理：直线与抛物线的位置关系


3.数学运算：运用方程解决直线与抛物线有关弦的问题


4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用
教学过程
教学设计意图


核心素养目标
创设问题情境


抛物线四种形式的标准方程及其性质





标准方程
y2=2px


(p>0)
y2=-2px


(p>0)
x2=2py


(p>0)
x2=-2py


(p>0)

图形





范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R

对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴




标准方程
y2=2px


(p>0)
y2=-2px


(p>0)
x2=2py


(p>0)
x2=-2py


(p>0)

焦点坐标





准线方程





顶点坐标
O(0,0)

离心率
e=1




1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,


其共同点:(1)顶点都为原点;


(2)对称轴为坐标轴;


(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 14;


(4)焦点到准线的距离均为p.


其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.


2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.


二、典例解析


例1(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是( )


A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2


(2)如图所示,F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-3=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是( )


A.(4,6) B.[4,6] C.(2,4) D.[2,4]





解析:(1)因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.


由方程组y=x,y2=2px,得x=0,y=0或x=2p,y=2p,


所以A,B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p,-2p).


所以|AB|=4p,所以S△AOB=12×4p×2p=4p2.


(2)由题意知抛物线y2=4x的准线为x=-1,


由y2=4x,x2+y2-2x-3=0,消去y整理得x2+2x-3=0,解得x=1,


设A,B两点的坐标分别为A(x1,y0),B(x2,y0),则|AF|=x1+1.


∵B在图中圆(x-1)2+y2=4的实线部分上运动,


∴1

答案:(1)B (2)A


(3)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2 3


,求抛物线方程.


解:由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.


故可设抛物线方程为y2=ax(a≠0).


设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).


∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,


∴A与B关于x轴对称,


∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=23,


∴|y1|=|y2|=3,代入圆x2+y2=4,


得x2+3=4,∴x=±1,


∴A(±1,3)或A(±1,-3),代入抛物线方程,


得a=±3.∴所求抛物线方程是y2=3x或y2=-3x.








研究抛物线的几何性质要从三个方面入手


(1)开口:由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.


(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.


(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.


跟踪训练1 已知抛物线y2=8x.


(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;


(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,


若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.


解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.


(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,


又焦点F是△OAB的重心,








则|OF|=23|OM|. 因为F(2,0),


所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0).故设A(3,m),


代入y2=8x得m2=24,


所以m=26或m=-26,


所以A(3,26),B(3,-26),


所以|OA|=|OB|=33,


所以△OAB的周长为233+46.


例2 (1)对于抛物线C:y2=4x,我们称满足 y02<4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部.若点M(x0,y0)在抛物线内部,则直线l:y0y=2(x+x0)与曲线C( )


A.恰有一个公共点 B.恰有2个公共点


C.可能有一个公共点,也可能有两个公共点


D.没有公共点


解析:由y2=4x与y0y=2(x+x0)联立,消去x,得y2-2y0y+4x0=0,


∴Δ=4y02-4×4x0=4(y02-4x0).


∵y02<4x0,∴Δ<0,直线和抛物线无公共点.


答案:D


(2)已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=52p,求直线AB的方程.


解:由题意知焦点Fp2,0,设A(x1,y1),B(x2,y2),若AB⊥x轴,则|AB|=2p≠52p,不满足题意.所以直线AB的斜率存在,设为k,


则直线AB的方程为y=kx-p2,k≠0.由y=kx-p2,y2=2px消去x,


整理得ky2-2py-kp2=0.由根与系数的关系得y1+y2=2pk,y1y2=-p2.


所以|AB|=1+1k2·(y1-y2)2=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2=2p1+1k2=52p,解得k=±2.所以直线AB的方程为2x-y-p=0或2x+y-p=0.


变式 若例2(2)条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.








解:如图,过A,B,M分别作准线x=-p2的垂线交准线于C,D,E点.


由定义知|AC|+|BD|=52p,则梯形ABDC的中位线|ME|=54p,∴M点到y轴的距离为54p-p2=34p.


1.直线与抛物线位置关系的判断方法


设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.


(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.


(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;


当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;


当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.


2.求抛物线弦长问题的方法


(1)一般弦长公式


(2)焦点弦长


设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.


(3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.


|AB|=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|.


跟踪训练2 (1)过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时, y1+y2y0的值为( )


A. 12 B.-2 C.2 D.无法确定


解析:由y12=2px1,y02=2px0,得kPA=y1-y0x1-x0=2py1+y0,


kPB=y2-y0x2-x0=2py2+y0(x1≠x0,x2≠x0),由PA,PB倾斜角互补知kPA=-kPB,


即2py1+y0+2py2+y0=0,可得y1+y2=-2y0,故y1+y2y0=-2.


答案:B


(2)已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x.当k为何值时,l与C只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.


解:联立y=kx+1,y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0.①


当k=0时,①式只有一个解x=14,∴y=1,


∴直线l与C只有一个公共点14,1,


此时直线l平行于x轴.


当k≠0时,①式是一个一元二次方程,


Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).


(ⅰ)当Δ>0,即k<1,且k≠0时,


l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;


(ⅱ)当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;


(ⅲ)当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.


综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;


当k<1且k≠0时,l与C有两个公共点;


当k>1时,l与C没有公共点.












温习抛物线的几何性质，强化记忆。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。




























































































通过抛物线几何性质的应用，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。



















































































通过典型例题，掌握直线与抛物线的有关问题，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。



三、达标检测


1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,8)


【答案】A [线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).]


2．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．


【答案】eq \f(15,8) [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝eq \f(1,4)，


∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－eq \f(1,4)＝eq \f(15,4)，


故AB的中点的纵坐标是eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(15,8).]


3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.


【答案】(4,2) [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2,y2＝4x))得x2－8x＋4＝0，


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，


故线段AB的中点坐标为(4,2)．]


4．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3eq \r(5)，求b的值．


【答案】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋b，,y2＝4x，))


消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.


由Δ＞0，得b＜eq \f(1,2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)．


则x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq \f(b2,4).


∴|x1－x2|＝eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \r(1－2b).


∴|AB|＝eq \r(1＋22)|x1－x2|＝eq \r(5)·eq \r(1－2b)＝3eq \r(5)，∴1－2b＝9，即b＝－4.


5.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点.


(1)若|AB|=10,求实数m的值;


(2)若OA⊥OB,求实数m的值.


解:由y=x+m,y2=8x,得x2+(2m-8)x+m2=0.


由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,得m<2.


设A(x1,y1),B(x2,y2),


则x1+x2=8-2m,x1x2=m2,y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.


(1)因为|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2


=2×64-32m=10,


所以m=716,经检验符合题意.


(2)因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0,


解得m=-8或m=0(舍去).


所以m=-8,经检验符合题意.



通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。



四、小结





五、课时练



通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。