高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质学案

抛物线的几何性质

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一抛物线y2=2px（p>0）的几何性质

（1）范围

①     0     .除顶点外,抛物线上的其余点都在轴的右侧.

（2）对称性

抛物线关于② 轴对称,称轴是抛物线的对称轴（简称为轴）.

（3）顶点称③ 原点是抛物线的顶点.

（4）离心率抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率,用表示.根据抛物线的定义可知,抛物线的离心率 ④     1     .

要点二抛物线y2=-2px（p>0）,x2=-2py（p>0）,x2=2py（p>0）的几何性质

（1）抛物线中，除顶点外,抛物线上的其余点都在轴的⑤ 左侧 ,抛物线的开口向左（或朝左）,抛物线关于轴对称.

（2）抛物线中, ,除顶点外,抛物线上的其余点都在轴的⑥ 上方 ,抛物线的开口向上（或朝上） ,抛物线关于轴对称

（3）抛物线中, ,除顶点外,抛物线上的其余点都在轴的⑦ 下方 ,抛物线的开口向下（或朝下）,抛物线关于轴对称

自主思考

1抛物线的范围是吗?

答案：提示抛物线的方程不同,其范围就不同,如的范围是故此说法错误.

2.抛物线有几条对称轴?它是中心对称图形吗?

答案：提示抛物线只有一条对称轴,不是中心对称图形.

3.影响抛物线开口大小的量是什么,是如何影响的?

答案：提示参数影响抛物线的开口大小,值越大,抛物线的开口越大;值越小,开口越小

名师点睛

抛物线的特征

（1）抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;

（2）抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;

（4）抛物线的离心率是确定的,为1.

互动探究·关键能力

探究点一由抛物线的性质求抛物线的方程

精讲精练

例（1）已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点（-5,m）到焦点的距离是6,则抛物线的方程是(      )

A. B.

C. D.

（2）已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交于两点, ,求抛物线的方程．

答案：（1）

解析：（1）由题意可设抛物线的方程为 ,其焦点为 ,准线方程为 ,

由抛物线的定义知,（-5,）到焦点的距离是6,即到准线的距离是6,

抛物线的方程为 ,故选B.

答案：（2）由已知得,抛物线的焦点可能在轴正半轴上,也可能在轴负半轴上．

故可设抛物线的方程为．

抛物线与圆都关于轴对称,

点与关于x轴对称,故设

且 ,

代入得

∴或 ,将其代入抛物线方程,得 , .

所求抛物线的方程是或 .

解题感悟

用待定系数法求抛物线方程的步骤：

迁移应用

1.已知边长为1的等边三角形 ,为原点, ,则以为顶点且过两点的抛物线的方程是(     )

A.

B.

C.

D.

答案：

解析：不妨设点A在轴的上方,当抛物线开口向右时,可设抛物线的方程为．

易知即． .

同理,当抛物线开口向左时,抛物线的标准方程为 .综上,抛物线的方程是 .

探究点二由抛物线的方程求其几何性质

精讲精练

例已知抛物线

（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量的范围;

（2）是抛物线上一点,点 ,求的取值范围.

答案：（1）抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量的范围分别为轴, .

（2）设则

,

当且仅当时,的取值范围是

变式本例的抛物线方程不变,以坐标原点为顶点,作抛物线的内接等腰三角形 , ,若焦点是的重心,求的周长．

答案：如图所示,由可知 ,设垂足为点 ,

由焦点是的重心可得

因为 ,所以所以．

故设 ,代入得 .

所以 ,所以 ,则 ,

所以所以的周长为 .

解题感悟

把握三个要点确定抛物线的几何性质：

（1）开口：由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负．

（2）关系：顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴．

（3）定值：焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为 ;离心率恒等于1.

迁移应用

1.若抛物线的焦点为 ,准线为 ,点A是抛物线上一点,且为坐标原点） ,垂足为 ,则的面积是 .

答案：

解析：由抛物线方程知 ,准线l的方程为

如图,设过作轴于在中

由得

所以点的坐标为代入抛物线方程可得

解得或（舍去）,所以点的坐标为故 .

探究点三抛物线的焦点弦问题

精讲精练

例（2020山东邹城一中高二月考）已知抛物线：的焦点为 ,准线方程是 .

（1）求抛物线的方程;

（2）过点且倾斜角为的直线l与抛物线交于两点,求的值;

（3）设点在抛物线上,且求的面积(为坐标原点).

答案：（1）因为抛物线C的准线方程是所以即 ,

故抛物线C的方程为 .

（2）因为直线l过点F,且倾斜角为所以直线的方程是

联立整理得 ,

设 ,则 ,

故 .

（3）设 ,因为 ,所以 ,所以 ,

将代入方程 ,解得 ,

则的面积为 .

解题感悟

1.抛物线的焦半径：

2.过焦点的弦长的求解方法：设过抛物线的焦点的弦的端点为, ,则，然后利用弦所在直线的方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出即可.

迁移应用

1.设抛物线的焦点为是抛物线上的点.

（1）求抛物线的方程;

（2）若过点(0,2)的直线与抛物线交于不同的两点且 ,求直线的方程.

答案：（1）因为 )是抛物线上的点,所以 ,

又 ,所以解得 ,则抛物线的方程为 .

（2）设 ,设直线的方程为

由得，

由抛物线的定义知，

则

解得 ,所以直线的方程为或 .

评价检测·素养提升

1.顶点在坐标原点,对称轴为轴,顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(     )

A. B.

C.  D.

答案：

2.若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为(     )

A. B.

C. D.

答案：

3.(2021山东莘县一中高二月考)已知是抛物线的焦点,为抛物线上两点,且 ,则线段的中点到轴的距离为(      )

A.3B.2C. D.

答案：

4.已知抛物线的准线经过点(-1,4),过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交该抛物线于两点,则等于(     )

A.4B. C.2D.1

答案：