2021学年1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课堂检测

第一章 空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系

知识梳理

1.空间中向量的坐标

一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量.

2.空间向量的运算与坐标的关系

空间向量a，b，其坐标形式为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).

特别地，（1）如果μ，v是两个实数，那么μa+vb=(μx1+vx2，μy1+vy2，μz1+vz2).

（2）|a|=.

（3）cos<a，b>=(a≠0，b≠0).

3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直

设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有a∥b⇔(其中x1y1z1≠0)；

a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.

4.空间直角坐标系

为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直.

轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy，yOz，zOx叫做坐标平面，三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限，如图所示.

5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则

=(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)，所以=(x2，y2，z2)-(x1，y1，z1)=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，

AB=||=.

设线段AB的中点为M(x，y，z)，则=(x，y，z)，

)=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)

=，所以点M的坐标为.

常见考点

考点一 空间向量的坐标表示

典例1．已知向量是空间向量的一组基底，向量，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（       ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

变式1-1．设是空间中的一个单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是（       ）

A． B． C． D．

变式1-2．已知i，j，k是空间的标准正交基底，且=-i+j-k，则的坐标为

A．(-1，1，-1) B．(-i，j，-k)

C．(1，-1，-1) D．不确定

变式1-3．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于

A． B． C． D．

考点二 空间向量的坐标运算

典例2．若，则=（       ）

A． B． C． D．

变式2-1．已知，，则等于（       ）

A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23

变式2-2．已知，且，则的值是（       ）

A．5 B．6 C．3 D．4

变式2-3．已知点，，为线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

考点三 空间向量模长的坐标表示

典例3．已知，则（       ）

A．2 B．

C． D．4

变式3-1．若向量，，则（       ）

A． B． C． D．

变式3-2．在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（       ）

A．1 B． C． D．3

变式3-3．已知向量，，则在的方向上的数量投影为（       ）

A． B． C． D．

考点四 空间向量平行与垂直的坐标表示

典例4．已知，，且，则（       ）

A． B． C． D．

变式4-1．已知，，，若，则（       ）

A． B． C．11 D．4

变式4-2．已知向量，若，则实数x的值为（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

变式4-3．已知向量，，且与互相垂直，则（       ）

A． B． C． D．

考点五 空间向量夹角余弦的坐标表示

典例5．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（       ）

A．0 B．－ C．0或－ D．0或

变式5-1．已知，，O为原点，则与的夹角是（       ）

A．0 B．π C． D．

变式5-2．已知，，且，则向量与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

变式5-3．已知，，且，则向量与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

巩固练习

练习一 空间向量的坐标表示

1．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ）

A． B． C． D．

2．在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（       ）

A． B． C． D．

3．已知是空间直角坐标系中，轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标（       ）

A．是      B．是      C．是     D．不确定

4．已知，，是空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且，则点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

练习二 空间向量的坐标运算

5．已知向量，则（       ）

A． B． C． D．

6．已知点，，且满足，则点Q的坐标为（       ）．

A． B．

C． D．

7．若，则（　　）

A． B． C． D．

8．已知，则等于（       ）

A． B． C． D．

练习三 空间向量模长的坐标表示

9．已知向量，则（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

10．若向量则（       ）

A． B．3 C． D．

11．若空间向量，，则（       ）

A． B． C． D．

12．已知，，则的最小值是（       ）

A．1 B． C． D．

练习四 空间向量平行与垂直的坐标表示

13．已知，，若，则m的值为（       ）

A．－2 B．2 C． D．

14．已知向量，，若与平行，则实数k=（       ）

A．1 B．2 C． D．

15．已知，若，则x=（       ）

A．-1 B．1 C．0 D．2

16．已知向量且，则（       ）

A． B． C． D．

练习五 空间向量夹角余弦的坐标表示

17．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

18．已知，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

19．已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（       ）

A．2 B． C．4 D．

20．已知，，O是坐标原点，与的夹角为，则的值为（　　）

A． B． C． D．