人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量课后作业题

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第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量在立体几何中的应用
1.2.2 空间中的平面与空间向量
知识梳理
1.平面的法向量
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}.

2.空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系
向量表示
线线
平行
设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1=λμ2.
线面
平行
设μ是直线l方向向量，n是平面α的法向量，
l⊄α，则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n=0
面面
平行
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2.
3.用空间向量处理平行或垂直关系
(1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α；n⊥v⇔l∥α，或l⊂α.
(2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2；n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合.
4.三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
常见考点
考点一 求平面的法向量
典例1．若向量，，则平面的一个法向量可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案.
【详解】
解：设平面的法向量为，因为向量，，
所以，取，得，
故选：C.
变式1-1．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设平面的法向量为，进而得，再根据为单位向量即可得答案.
【详解】
设平面的法向量为，
则有取，则.
所以．因为，
所以平面的一个单位法向量可以是.
故选：B
【点睛】
本题考查平面的法向量的求法，考查运算求解能力，解题得关键在于掌握单位向量的表示形式,是中档题.
变式1-2．已知平面上三点，，，则平面的一个法向量为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设平面的一个法向量为，由题意得出，可得出关于、、的等式，对赋值可得出平面的一个法向量的坐标.
【详解】
由已知，，
设平面的一个法向量为，由，可得，
取，可得，，
所以，平面的一个法向量为.
故选：B.
变式1-3．在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设平面的一个法向量为，利用，求出、的值，可得出向量的坐标，然后选出与共线的向量坐标即可.
【详解】
，，设平面的一个法向量为，
由则，解得，．
又，因此，平面的一个法向量为.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.


考点二 空间位置关系的向量证明
典例2．如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（       ）

A．平面 B．平面
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对A：由平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断；
对B：若平面，则，这与和不垂直相矛盾，从而即可判断；
对C、D：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由与不是共线向量，且，从而即可判断.
【详解】
解：对A：由长方体的性质有平面平面，又平面，所以平面，故选项A正确；
对B：因为为棱的中点，且，所以与不垂直，
所以若平面，则，这与和不垂直相矛盾，故选项B错误；
对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，
所以，，
因为与不是共线向量，且，
所以与不平行，且与不垂直，故选项C、D错误.
故选：A.
变式2-1．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（       ）

A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间的平行和垂直关系进行判定.
【详解】
连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；

以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；

直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
变式2-2．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（       ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A
【解析】
【分析】
取、、的中点分别记为、、，画出图形根据线面平行的判定定理及空间向量法证明即可；
【详解】
解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，
根据正方体的性质可得面即为平面，

对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；

对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；

对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；
其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面；

故选：A
变式2-3．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．// B．
C．//平面 D．平面
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
典例3．如图，正方体中，、分别为、的中点．

(1)用向量法证明平面平面；
(2)用向量法证明平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用向量法可得两平面的法向量，再根据法向量互相平行证明面面平行；
（2）利用向量法证明平面的法向量与平行，即可得证.
(1)
如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，，，
故，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
所以，即，
故平面平面；
(2)
由，是线段，中点，
则，，
所以，
则，
所以平面.

变式3-1．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：

(1)；
(2)平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证得结论成立.
（2）利用向量的方法证得结论成立.
(1)
建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，
，
所以.
(2)
，
，
设平面的法向量为，
则，故可令，
，所以平面.

变式3-2．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

(1)证明：B1D⊥平面ABD；
(2)证明：平面EGF∥平面ABD.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.
（2）利用向量法证得平面平面.
(1)
以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
(2)
由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，
·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.
又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.     结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.

变式3-3．如图所示，在四棱锥中，底面，，∥，，.点E为棱的中点，求证：

(1)；
(2)∥平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可，
（2）求出平面的法向量，利用向量法证明即可
(1)
因为平面，平面，平面，
所以，
因为 ，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
所以，所以，
所以，
(2)
平面的一个法向量为，
因为，所以，
因为平面，所以∥平面；


考点三 根据空间位置关系求解决动点问题
典例4．如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点，且．求证：平面平面．

【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由线面垂直性质可证得两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量后，由向量坐标运算得，由此可证得结论.
【详解】
平面，平面，，，
又，两两互相垂直．
以为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
，平面平面．
变式4-1．如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？

【答案】存在；P为的中点时，平面
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法判断出点的位置.
【详解】
以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以
，．
设是平面的法向量，则，，即
，所以，
取，则，．所以，是平面的一个法向量．
由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以．
令，得，解得，这样的点P存在．
所以，当，即P为的中点时，平面．

变式4-2．如图，在长方体中，棱长，，点E是平面上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使平面．

【答案】E的坐标为
【解析】
【分析】
建立如图空间直角坐标系，设，根据线面垂直的性质和空间垂直向量的坐标表示可得，求出y、z即可.
【详解】
分别以AB、AD、为x、y、z轴，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，

则，
设，则，
若平面，由平面，得，，
有，解得，
即E的坐标为时，平面，
综上，当点E为时，平面，
变式4-3．如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的点，若平面，试确定点的位置，并说明理由．

【答案】点是线段的中点；理由见解析．
【解析】
【分析】
设，由线面平行，由平面向量基本定理，得，由空间向量基本定理得，两者比较可得．
【详解】
设，因为平面，所以存在实数，，使得．①
又
，②
比较①②，可知，即，
即点是线段的中点．


巩固练习
练习一 求平面的法向量
1．若两个向量,则平面的一个法向量为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设平面ABC的法向量为，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解.
【详解】
设平面ABC的法向量为，
则，即，令，则，
即平面ABC的一个法向量为，故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2．过空间三点，，的平面的一个法向量是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出平面的法向量为，利用垂直关系，布列方程组，即可得到结果.
【详解】
，．
设平面的法向量为．
由题意知，，
所以，解得，
令，得平面的一个法向量是．
故选：A
3．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设正方体的棱长为1，平面的法向量为，求出，令，即可得答案.
【详解】
设正方体的棱长为1，平面的法向量为.
则，，，
所以，，
则，即不妨取，则，，
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查空间中平面法向量的求解，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.
4．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.
【详解】
是正方形，且，
，
，
，，，，
，，
又，
，，
平面的法向量为，
则，得，，
结合选项，可得，
故选：C.

练习二 空间位置关系的向量证明
5．已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（       ）
A． B． C． D．以上选项都不对
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到，得到，即直线与平面的位置关系是或，得到答案.
【详解】
，，则，故，
故直线与平面的位置关系是或.
故选：D.
6．已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的法向量为，，，则（       ）.
A．平面平面ABC B．平面平面ABC
C．平面､平面ABC相交但不垂直 D．以上均不可能
【答案】A
【解析】
【分析】
求出平面的法向量，利用向量关系即可判断.
【详解】
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
所以，
因为，所以平面平面.
故选：A.
7．如图，正方体的棱长为a、M、N分别为A1B和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（　　）

A．相交但不平行 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量法，计算出与平面的法向量垂直，由此判断出与平面平行.
【详解】
∵正方体棱长为a，
∴，
∴

=
又∵是平面的法向量，
且
∴，
∴MN //平面
故选：B
8．如图，已知正方形的边长为2，长方形中，，平面与平面互相垂直，G是的中点，则下列说法正确的是（       ）

A．与异面但不互相垂直 B．与异面且互相垂直
C．与相交但不互相垂直 D．与相交且互相垂直
【答案】A
【解析】
【分析】
可用反证法证明它们异面，然后建立如图的空间直角坐标系，用空间向量法证明它们不垂直．
【详解】
由已知，
平面，平面，所以平面，
若共面，设此面为，则平面，，所以，过点有两条直线与平行，这是不可能的，假设错误．
所以与异面.
以D为原点，为x，y，z轴建立坐标系，
则，
所以，
所以，所以与不互相垂直.
故选：A．

9．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．

（1）求证：；
（2）求证：平面.
【答案】(1)证明见解析   (2) 证明见解析
【解析】
【分析】
根据直三棱柱特点和，则以为原点可建立空间直角坐标系，由已知长度关系得到各点坐标；
（1）利用，可证得结论；
（2）为平面的一个法向量，由可知，由此证得结论.
【详解】
三棱柱为直三棱柱       平面       ，
又，则两两互相垂直，可建立如下图所示的空间直角坐标系

则，，，，，
（1），
       
（2）由题意知：是平面的一个法向量
，
       
平面       平面
【点睛】
本题考查利用空间向量法证明立体几何中的线线垂直和线面平行的问题；关键是明确两向量垂直等价于两向量数量积等于零；证明直线与平面平行的向量求法为证明直线与平面的法向量垂直.
10．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点．

（1）求证：；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标，利用数量积为零即可证明；
（2）求出平面的法向量及向量的坐标，利用，即可证明.
【详解】
（1）证明   由题意可得平面，以为坐标原点，
，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，.
，
，
，
，故.
（2）证明   由题意得，，
设平面的一个法向量为，
则，得，
取，则是平面的一个法向量，
又，且，故，
又不在平面内，
故平面.
【点睛】
本题考查的知识点是用空间向量证明空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力及运算能力.
11．如图，在直三棱柱ADE−BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：
(1)OM∥平面BCF；
(2)平面MDF⊥平面EFCD．

【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，进行证明，取中点,证明;（2）根据面面垂直的判定定理进行证明，先证明平面,可证,,再根据，证明面面垂直．
试题解析：（1）（1）由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方形边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），F（1，0，1），M（，0，0），O（，，）
（0，，），（﹣1，0，0），∴，OM⊥AB
∵三棱柱ADE﹣BCF是直三棱柱，
∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，
∴OM∥平面BCF．
解：（2）设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别是n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）．
∴（1，﹣1，1），（1，0，0），（，﹣1，0）
由得（2，1，1）．同理可得（0，1，1），
∴∵•0
∴平面MDF⊥平面EFCD．

考点：1．线面垂直的判定定理；2．面面垂直的判定定理．
12．已知空间四边形中，，且，M，N分别是的中点，G是的中点，用向量方法证明．

【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
设,以为基底表示出，通过向量数量积的运算性质即可求出两向量的数量积，从而可判断.
【详解】
证明：设，由题意得，，
因为，所以，又，
所以，
所以．
【点睛】
本题考查了运用向量解决空间几何问题，考查了平面向量基本定理，考查了向量的数量积运算，属于基础题.本题的关键是用基底表示出.

练习三 根据空间位置关系求解决动点问题
13．如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.

(1)求证：，，，四点共面；
(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）连接，，取的中点为M，连接，ME，根据E为的中点， F为的中点，分别得到，，从而有，再由平面的基本性质证明；
（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，分别求得平面BEF的一个法向量和平面GEF的一个法向量，根据平面平面BEF，由求解.
(1)
证明：如图所示：

连接，，取的中点为M，连接，ME，
因为E为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为F为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
所以B，E，，F四点共面；
(2)
以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

假设存在满足题意的点G，设，由已知，，，
则，，，
设平面BEF的一个法向量为，
则，即，
取，则；
设平面GEF的一个法向量为，
则，即，
取，则；
因为平面平面BEF，
所以，
所以，
所以.
所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，DG的长度为.
14．如图所示，在正四棱锥中，O为底面正方形的中心，E为侧棱PB上的动点.侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角为60°.

(1)求侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值；
(2)若，问在棱AD上是否存在一点F，使侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，，可得，设正四棱锥底面边长为2，可求得，，由平面，可得侧棱与底面所成的角为，从而可求得；
（2）假设存在，设，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，若侧面PBC，则，则有，若方程组有解则存在，若方程组无解则不存在.
(1)
解：取的中点，连接，，
可得，，
所以即为侧面与底面所成的二面角的平面角，
所以，
设正四棱锥底面边长为2，则，所以，，
由平面，可得侧棱与底面所成的角为，
所以，
即侧棱与底面所成的角的正切值为；
(2)
解：假设存在，设，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设正四棱锥底面边长为2，则，
则，
则，
，则，
因为，所以，
所以，
若侧面PBC，则，即，
则有，即，无解，
所以与假设矛盾，
故棱AD上是不存在一点F，使侧面PBC.

15．如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点Q，它就是点；
【解析】
【分析】
（1）由、、分别是，，的中点．利用平行四边形、三角形中位线定理即可得出，，再利用线面面面平行的判定定理即可得出结论．
（2）假设在线段上存在一点使平面．四边形是正方形，因此点为点．不妨取．判断是否成立即可得出结论．
(1)
（1）证明：、、分别是，，的中点．
，四边形为平行四边形，可得，
因为平面；平面；
平面；
同理可得平面；
又，平面，
平面平面．
(2)
假设在线段上存在一点使平面．
四边形是正方形，因此点为点．
不妨取，如图建立空间直角坐标系，则，，，，
，，
，．
所以，，又，平面，所以平面，
在线段上存在一点，使平面，其中点为点．

16．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，平面，，，.

(1)求证：.
(2)设点E在棱PC上，若平面，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可得证；
（2）求出平面的一个法向量，再利用即可求解.
(1)
在底面内过作直线，交于F，
在直角中，，,可知，
，，
面，面，，
又，面，
又面，.
(2)
以D为坐标原点，分别为轴，建立如图空间坐标系，
则，，，
设，则，
则，DP=0,0,a，，PC=-3,3,-a
因为，所以PE=-3λ,3λ,-aλ，
则DE=DP+PE=0,0,a+-3λ,3λ,-aλ=-3λ,3λ,a-aλ
设平面PAB的一个法向量为，
则，即，令，则，
因为平面，所以，所以，
因为，所以，故的值为.