专题13 一次函数中的规律问题-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

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专题13  一次函数中的规律问题题型一  一次函数中与坐标有关的规律1．如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到△的位置，再到△的位置依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为　　A． B． C． D．【解答】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点，，，在第一象限，点，，，在轴上．，，，，，点的横坐标为，同理，可得出：点的横坐标为，点的横坐标为，，点的横坐标为为正整数），点的横坐标为，点的坐标为．故选：．2．如图，过点作轴的垂线，交直线于，在轴上取点，使，过点作轴的垂线，交直线于，在轴上取点，使，过点作轴的垂线，交直线于，，这样依次作图，则点的纵坐标为　　A． B． C． D．【解答】解：，，点的横坐标为1，，、、、在直线的图象上，纵坐标为2，，，，点的纵坐标为，于是得到的纵坐标为的纵坐标为故选：．3．如图放置的，△，△，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，都在直线上，则点的坐标是 　，　．【解答】解：由题意知，设，则，解得，，，，，故答案为，．4．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：当时，有，解得：，点的坐标为．四边形为正方形，点的坐标为．同理，可得出：，，，，，，，，，，，为正整数），点的坐标为，．故选：．5．如图，在平面直角坐标系中，点是直线上一点，过作轴，交直线于点，过作轴，交直线于点，过作轴交直线于点，依次作下去，若点的纵坐标是1，则的纵坐标是　　A． B． C． D．【解答】解：点的纵坐标是1，，，，过作轴，交直线于点，过作轴交直线于点，依次作下去，，，，，，，，，可得的纵坐标为的纵坐标是，故选：．6．正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的横坐标是：，纵坐标是：．则的坐标是，．故选：．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形以此类推，则正方形的顶点的坐标是　，　．【解答】解：观察，发现：，，，，，，，，，，，为自然数）．，的纵横坐标符号与点的相同，点的坐标为，．故答案为：，．8．如图，直线与轴所夹的锐角为，的长为2，△、△、△△均为等边三角形，点、、在轴正半轴上依次排列，点、、在直线上依次排列，那么点的坐标为　，　，点的坐标为　　．【解答】解：△为等边三角形，，，，可求得，同理可求得，，，，即△的边长为，则可求得其高为，点的横坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，．故答案为：，；，．9．如图，已知直线的解析式为，且与轴交于点于轴交于点，过点作作直线的垂线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，再过点作直线的垂线交轴于点，按此作法继续下去，则点的坐标为　　，的坐标　　．【解答】解：直线的解析式为，直线与轴的夹角为，，，，过点作作直线的垂线交轴于点，，，，过点作轴的平行线交于点，把代入得，，解得，，，，，把代入得，，解得，，，坐标为，．故答案为，，．10．如图，已知直线，在直线上取点，过分别向轴，轴作垂线，交轴于，交轴于，使四边形为正方形；在直线上取点，过分别向轴，作垂线，交轴于，交于，使四边形为正方形；按此方法在直线上顺次取点，，，，依次作正方形，，，，则的坐标为　，　，的坐标为　　．【解答】解：当，，当时，，，，是等腰直角三角形，△是等腰直角三角形，，四边形为正方形，，，，同理可得：是的中点，，，，，，，，，，，，．故答案为：，，，． 题型二  一次函数中与面积有关的规律11．如图，在平面直角坐标系中，点、、在轴上，、、在直线上，若，且△、△△都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、．则可表示为　　A． B． C． D．【解答】解：△、△△都是等边三角形，，，直线与轴的成角，，，，，，同理，，，，，，，易得，，，，，，，，，，；故选：．12．如图，在平面直角坐标系中，△，△，△，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，均在直线上．设△，△，△，的面积分别为，，，，根据图形所反映的规律，　　A． B． C． D．【解答】解：如图，分别过点、、作轴的垂线段，垂足分别为点、、，，且△是等腰直角三角形，，设，则，，点坐标为，将点坐标代入，得：，解得：，，，同理求得、，、、、．故选：．13．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交11于点，依次进行下去，则点的坐标是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为．以此类推，可以发现以4个点为一周期．则，可以发现与的符号相同，（第一圈），，，（第二圈），，，圈，，得，得出，．故选：．14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形，，，，点，，，在直线上，点，，，，在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，，，，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：令一次函数中，则，点的坐标为，．四边形为正整数）均为正方形，，，，．令一次函数中，则，即，，．轴，．，，，．，，，，为正整数），．故选：．15．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在直线上，，且△，△，△，△分别是以，，，为直角顶点的等腰直角三角形，则△的面积是　　A． B． C． D．【解答】解：，点的坐标为，△是等腰直角三角形，，，△是等腰直角三角形，，，△为等腰直角三角形，，，同理可得，，，，，，，点的坐标是，．△的面积．故选：．16．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，作正方形．作正方形；作正方形按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为　　A． B． C． D．【解答】解：设正方形的面积分别为，，，直线为：，，，正方形中，直线，是等腰直角三角形，，，．，△，是等腰直角三角形，，，，，，，由正方形的面积公式，得：，，，由此，可得．故选：．17．如图，在平面直角坐标系中，△，△，△都是等腰△，直角顶点，，，均在直线上，设△，△，△的面积分别为，，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：如图，分别过点、、作轴的垂线段，垂足分别为点、、，，且△是等腰直角三角形，，设，则，，点坐标为，将点坐标代入，得：，解得：，，，同理求得、，、、、．故选：．18．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的沿轴向右滚动到△的位置，再到△的位置依次进行下去，发现，，那么点的坐标为　　A． B． C． D．【解答】解：，点，，根据勾股定理得，根据旋转可知：，所以点，；继续旋转得，；发现规律：，，，，点的坐标为，故选：．19．如图，点、、在直线上，点，，在直线上，以它们为顶点依次构造第一个正方形，第二个正方形，若的横坐标是1，则的坐标是　　，第个正方形的面积是　 　．【解答】解：点、、在直线上，的横坐标是1，，点，，在直线上，，，，，，，第1个正方形的面积为：；，，，，第2个正方形的面积为：；，，，第3个正方形的面积为：；，第个正方形的面积为：．故答案为，．20．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上，从左到右第4个正方形中的一个顶点的坐标为，阴影三角形部分的面积从左到右依次记为、、、、，则的值为　　（用含的代数式表示，为正整数）【解答】解：点，，，      在等腰直角三角形中，，，，      同理，从左到右正方形的边长依次是1，2，4，8，，，        的面积梯形的面积的面积，          从左到右，阴影部分面积依次为2，，，，，本题答案是．21．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点的坐标为，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为、、、、，则第4个正方形的边长是　6　，的值为　 　．【解答】解：易知：直线与正方形的边围成的三角形直角边底是高的2倍，后一个正方形的边长是前一个正方形边长的倍，，第三个正方形的边长为4，第四个正方形的边长为6； 易知，一系列的阴影三角形均为相似三角形，相似比为，，．故答案为：6、． 题型三  一次函数中有关线段长的规律22．在平面直角坐标系中，解析式为的直线，解析式为的直线如图所示，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为　　A． B． C．4038 D．4040【解答】解：延长交轴于，交轴于，如图，、△、△均为等边三角形，，，，直线的解析式为，，由直线可知，，，，把代入得，，，，，，，把代入得，，，同理得到，，按照此规律得到第2020个等边三角形的边长为，故选：．23．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，在轴正半轴上，点，，，在直线上，若，且△，△，△，均为等边三角形，则线段的长度为　　A． B． C． D．【解答】解：设△的边长为，点，，，是直线上的第一象限内的点，，又△为等边三角形，，，，，点的坐标为，，，，，，．，故选：．24．如图，在平面直角坐标系中，△、△、△、、△均为等腰直角三角形，且，点、、、、和点、、、、分别在正比例函数和的图象上，且点、、、、的横坐标分别为1，2，，线段、、、、均与轴平行．按照图中所反映的规律，则△的顶点的坐标是　，　；线段的长是　　．（其中为正整数）【解答】解：时，，，，，，△为等腰直角三角形，的横坐标是，的纵坐标是，的坐标是，；时，，，，，，△为等腰直角三角形，的横坐标是，的纵坐标是，的坐标是，；同理，可得的坐标是，；的坐标是；△的顶点的坐标是，；，，，．故答案为，；．25．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形（记为第1个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点在轴上，点在第一象限内，以为顶点作等边△，使得点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第2个正方形），点在轴上，以为顶点作等边△，使得点落在轴上，轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2022个正方形的边长为　　．【解答】解：正方形（称为第1个正方形）的边长为1，，为等边三角形，，轴，，，同理得，，由上可知第个正方形的边长为：，第2022个正方形的边长为：．故答案为：．26．如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线与直线的内部作等腰，使，边轴，轴，点在直线上，点在直线上：的延长线交直线于点，作等腰△，使，轴，轴，点在直线上按此规律，则等腰△的腰长为　　．【解答】解：设，直线与直线的内部作等腰，是，边轴，轴，点在直线上，，，，点在直线上，，解得，等腰的腰长为，，，的坐标为，，设，则，，点在直线上，解得，等腰△的腰长为，，，，设，则，，点在直线上，，解得，等腰△的腰长为，以此类推，，即等腰△的腰长为，，即等腰△的腰长为，，等腰△的腰长为，故答案为：．27．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，，顶点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，，按这样的规律进行下去，第2022个正方形的周长为　　A． B． C． D．【解答】解：设正方形的周长分别为，，根据题意，得：，（两直线平行，同位角相等）．，△，顶点的坐标为，，顶点的坐标为，，，在直角中，根据勾股定理，得：，，，，，，同理，得：，由正方形的周长公式，得：，，由此，可得，．故选：．28．如图所示，把多块大小不同的角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板的一条直角边与轴重合且点的坐标为，，第二块三角板的斜边与第一块三角板的斜边垂直且交轴于点，第三块三角板的斜边与第二块三角板的斜边垂直且交轴于点，第四块三角板斜边与第三块三角板的斜边垂直且交轴于点．按此规律继续下去，则线段的长为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，，，，，，，，，，，，线段的长为．故选：．