专题03 勾股定理中的翻折和旋转问题-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

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A．1B．C．D．2
【解答】解：由已知可得，△，
，，，
在△中，可得，．
则．
故选：．
2．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为 10 ．
【解答】解：易证，
，
设，则，
在中，，
解之得：，
，
．
故答案为：10．
3．如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，则 6 ．
【解答】解：由折叠的性质知：，；
在中，，，由勾股定理可得：，
若设，则，；
在中，由勾股定理可得：
，解得，
故．
故答案为：6．
4．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将直角边折叠使它落在斜边上，折痕为，则 3 ．
【解答】解：设点落在上的点处，连接，如图所示，
为直角三角形，，，
根据勾股定理得：，
设，由折叠可知：，，
可得：，，
在中，
根据勾股定理得：，
解得：，
则．
故答案为：3．
5．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是
A．1.5B．2C．2.25D．2.5
【解答】解：设，
连接，，
在中，，
在中，，
，
，
即，
解得，
即，
故选：．
6．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是
A．B．C．D．
【解答】解：设，则，由折叠的性质知，
而，在中，由勾股定理可知，即，
整理得，所以．
故选：．
7．如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，，，则边的长度等于
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示：设上两个点分别为、，
点是点对折过去的，
为直角，，
，，
同理，
，
，
点也是点对折过去的，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
8．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，．
．
，
根据勾股定理可知．
解得．
的面积为．故选：．
9．如图，的三边分别为，，，将沿折叠，使落在上．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）求折痕的长．
【解答】解：（1）是直角三角形；（1分）
，（2分）
；
是直角三角形．（1分）
（2）设折叠后点与上的点重合．
设，则，，，；
，
在中，，
解得：，（3分）
．（3分）
10．如图，把矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上．
（1）是等腰三角形吗？试说明理由；
（2）若，，求的长度．
【解答】解：（1）由翻折的性质得：，
四边形为矩形，
．
．
．
．
是等腰三角形；
（2）利用勾股定理可得，
由（1）可得，
所以．
11．如图，在长方形纸片中，，，将它沿着对角线对折，使折到，求：
（1）线段的长度；
（2）求点到直线的距离．
【解答】解：（1），
，
由折叠的性质可知，，
，
，
在中，，即，
解得，；
（2）设点到直线的距离为，
，
由三角形的面积可知，，
则．
12．如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：由折叠可知和关于成轴对称，
故，．
所以，
设，则．
在中，由勾股定理，得．
解得，故．
所以阴影部分的面积为：．
13．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为．
（1）求线段长．
（2）连接，并求的长．
【解答】解：（1）设，则．由翻折的性质可知：．
在中，由勾股定理可知：，，
解得：，即．
（2）如图所示，连接．
在三角形中，．
由翻折的性质可知．
14．如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，，
（1）求长度；
（2）求的长度．
【解答】解：（1）设，，
在中，，
（2）．
在中，，即，
解得．
故的长为．
15．如图，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为
A．B．C．D．
【解答】解：中，，，，
由勾股定理可得，
将边沿翻折，使点落在上的点处，
，，
，
，
，
在中，，
将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
故选：．
16．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：①；②；③五边形的周长是44，其中正确的个数为
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由折叠可知：
，，，
，
在和中，
，
，
，
，故①正确；
，
，
由折叠可得，，
，故②正确；
正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，
五边形的周长是：，故③正确．
故选：．
17．如图的实线部分是由经过两次折叠得到的．首先将沿高折叠，使点落在斜边上的点处，再沿折叠，使点落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为 ．
【解答】解：，，，
，
，
，
，
在中，，
由折叠得，，，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
18．如图所示，为边长为1的正方形，为边的中点，沿折叠使点落在上的处，连接并延长交于点，则的长为
A．B．C．D．
【解答】解：连接．
四边形是正方形，
，，
，
，
由翻折不变性可知：，
，
，，，
，
，设，则，
在中，，
，
，
故选：．
19．矩形中，，，点在线段上．点在线段上
（1）沿折叠，使落在边上的处（如图），若，求的长；求的长；
（2）若按折叠后，点落在矩形的边上，请直接写出的范围．
【解答】解：（1）设，则，
在中，
解得，所以
过作于，设，
则．在中，
，解得，
（2）若沿翻折后，点落在矩形的边上，观察图像可知的最大值为6，
与重合时，最小，，
综上所述：．
20．如图所示，在矩形中，，，
（1）如图①，、分别为、边上的点，将矩形沿翻折，使点与点重合，设，则 （用含的代数式表示），，在△中，利用勾股定理列方程，可求得 ．
（2）如图②，将沿翻折至△，若交于点，求此时的长；
（3）如图③，为边上的一点，将沿翻折至△，、分别交边于、，且，请直接写出此时的长．
【解答】解：（1）如图①中，连接．
根据对称性可知，设，则，
在中，，
，
解得，
，，
故答案为，．
（2）如图②中，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，设，
在中，，
解得，
．
（3）设．
，，，
△，
，，
，
，，，
在中，，
解得，
．
题型二 勾股定理中的旋转问题
21．（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，连接，则 ．
（2）（问题解决）
如图2，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长；
（3）（灵活运用）
如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数．
【解答】解：（1）如图1所示，连接，将绕点按顺时针方向旋转，
，，
，
故答案为：；
（2）是等边三角形，
，
将绕点顺时针旋转得出，如图2，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，则△是 直角三角形；
；
过点作，交的延长线于点，
，，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：．
（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，
与（1）类似：可得：，，，，
，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
，
；
22．定义：如图1，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
（1）已知点，是线段的勾股分割点，若，，求的长．
（2）如图2，在等腰直角中，，，点，为边上两点满足，求证：点，是线段的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．
【解答】（1）解：当最长时，；
当最长时，，
综合以上可得的长为或；
（2）证明：如图，把绕点逆时针旋转，得到，连接，
△，
，，，
，
，
，
△，
，
，，
，
，
，
在△中，，
，
点，是线段的勾股分割点．
23．在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．
（1）求证：；
（2）求线段、、之间的数量关系．
（3）若，，求．
【解答】（1）证明：将绕点逆时针旋转至，可得是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：；
理由：如图，连接，
，是等腰直角三角形，
是的垂直平分线，
，
又，，
，
，
在中，，
；
（3）解：，是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
解得，
．
24．（1）问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ；
（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
【解答】解：（1），
理由如下：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由如下：如图②，连接，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
在中，，
又，
；
（3）如图③，作，使，连接，，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
25．【问题提出】如图1，在等边三角形内部有一点，，，．求的度数．
【数学思考】当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】（1）将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．
，，，
，
为 直角 三角形，
的度数为 ．
【类比探究】（2）如图2，在等边三角形外部有一点，若，求证：．
【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点在直线上方且，，求的长．
【解答】（1）解：如图1，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．
，，，
．
为直角三角形．
的度数为．
故答案为：直角；．
（2）证明：如图2中，将绕点逆时针旋转得到，连接．
，，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知：，
，，
，
，
，，
．
（3）解：过点作于，连接，设交于．
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得或（舍弃），
，
．