高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示教学设计及反思

《1.3空间向量及其运算的坐标表示》

教学设计

本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第一章《空间向量与立体几何》的第二节《空间向量基本定理》、第三节《空间向量及其运算的坐标表示》。以下是本节的课时安排：

运用类比学习法，通过对平面向量坐标运算的复习，来学习空间向量坐标运算。

1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的核心素养；

2.掌握空间向量运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养；

3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用，培养逻辑推理的核心素养；

4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题，强化数学运算和逻辑推理的核心素养。

重点：理解空间向量的坐标表示及其运算

难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题

（一）新知导入

我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”

     吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.

（二）空间向量及其运算的坐标表示

知识点1  空间直角坐标系

【思考】根据平面直角坐标系的建立，我们怎样建立空间直角坐标系呢？

【提示】　在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样我们就建立了空间直角坐标系．

◆　(1)空间直角坐标系的定义：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O­xyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

(2)画法：画空间直角坐标系O­xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.

(3)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标轴为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．

(4)空间点的坐标表示：在空间直角坐标系O­xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

(5)空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O­xyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为a＝(x，y，z)．

【探究1】与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？

【提示】xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0，y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0，z)．

【探究2】在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点P的坐标有何关系?

【提示】相同。

【做一做1】若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为　　　　. 

【答案】(3,2,-1)

知识点2  空间向量及其运算的坐标表示

【复习回顾】已知=(,)，=(,)，平面向量的运算是如何利用坐标表示的？

【提示】+=(+，+) ；-=(-，-)；=(，)；=

//=0；⊥=0

 cos =（）

◆若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．

(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．

(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)．

(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

（5）若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．

（6）若a⊥b，则有a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

（7）|a|＝＝ .

（8）cosa，b＝＝.

【思考1】如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？

【提示】空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．

【思考2】若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝对吗？

【提示】不一定正确，因为b1，b2，b3可能为0，只有b1≠0，b2≠0，b3≠0时才有＝＝成立．

【做一做1】(教材P21练习1改编)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　)

A．a＋b＝(10，－5，－6)     B．a－b＝(2，－1，－6)

C．a·b＝10                  D．|a|＝6

【答案】D

【解析】易验证A，B，C均不正确．由|a|＝＝6，可知D正确．

【做一做2】已知，，若，则等于（    ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】B

【解析】，，即，解得：.故选：B

【做一做3】已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________.

【答案】4

【解析】∵a∥b，∴b＝λa.

∴∴∴x－y＝4.

知识点3  空间两点之间的距离公式

【探究】在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，思考的坐标是什么？对应的模的表达式是什么？

【提示】　＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．

||＝.　　　

◆ 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则

(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．

(2)||＝.

【做一做】已知，，则的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以，

则，当时，的最小值是，故选：B

（三）典型例题

1.空间点、向量的坐标表示

例1.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.

(1)写出B，C1，B1，M，N五点的坐标；

(2)写出向量，，的坐标．

【解析】(1)点B在y轴上，且CB＝1，所以＝0i＋j＋0k，所以点B的坐标是(0,1,0)．同理，点C1的坐标为(0,0,2)．

点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为C，B，C1，它们在坐标轴上的坐标分别为0,1,2，所以点B1的坐标是(0,1,2)．

同理，点M的坐标为(，，2)，点N的坐标为(1,0,1)．

(2)＝－＝＋－＝i－j＋k＝(1，－1，1)，

＝－＝－＋＝i－j＋2k＝(1，－1,2)．

＝－＝(－1,1，－2)．

【类题通法】求空间点、向量的坐标一般步骤

(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；

(2)运算：找出点在x轴、y轴、z轴上的射影的坐标；综合利用向量的加减及数乘运算表示向量；

(3)定结果：根据射影坐标写出点的坐标；将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标.

【巩固练习1】已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．

(1)写出各顶点的坐标；

(2)写出向量，，的坐标．

【解析】(1)设x轴，y轴，z轴的单位向量分别为i，j，k.

因为正方体的棱长为2，所以＝2i，＝2j，＝2k.因为D(0,0,0)，所以A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)．又因为＝＋＝2i＋2j，所以B(2,2,0)．

同理可得，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)．

(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，

所以＝－＝－(＋＋)＝－2i－j－k＝(－2，－1，－1)，

＝－＝－(＋＋)＝ －2i－j－2k＝(－2，－1，－2)，

＝＋＝－＝2j－k＝(0,2，－1)．

所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)．

2.空间向量的坐标运算

例2.　已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值：

(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)；(4)cos〈p，q〉．

【分析】先由点的坐标计算得到向量p，q的坐标，然后再进行各种运算．

【解析】由于A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)．

(1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)．

(2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)．

(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26.

(4)cos〈p，q〉＝＝＝＝－.

【类题通法】1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．

2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

【巩固练习2】1.已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（    ）

A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)

C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)

【答案】A

【解析】．故选：A

2..若向量，，，，，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为　　

A． B．11 C．3 D．或11

【答案】A

【解析】向量，，，，，，

，

，，

且与的夹角余弦值为，

，整理得，

解得或（不合题意，舍去），

的值为．

3.空间向量坐标运算解决平行与垂直问题

例3.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标．

【分析】先求相应点的坐标，再根据PQ⊥AE⇔·＝0求解．

【解析】由题图可知：A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，

由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，

因为3＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，

所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为.

由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQ⊥AE，所以·＝0，

所以·＝0，即－－＝0，解得b＝，

所以点Q的坐标为.

【变式探究1】本例中若G是A1D的中点，点H在平面xDy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．

【解析】因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为(，0，)，

因为点H在平面xDy上，设点H的坐标为(m，n,0)，

因为＝(m，n,0)－(，0，)＝(m－，n，－)，

＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)且∥，

所以＝＝，解得m＝1，n＝.

所以点H的坐标为(1，，0)，所以H为线段AB的中点．

【类题通法】向量平行与垂直问题的两种类型

(1)平行与垂直的判断.

①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线；

②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.

(2)平行与垂直的应用．

①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；

②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．

【巩固练习3】如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．

【解析】设M(x，y，z)，由题图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．

∵BM⊥AC1，∴·＝0，∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①

又∵∥，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②

由①②得x＝，y＝，z＝.∴M.

4.利用向量的坐标运算解决夹角、  距离问题

例4.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．

(1)求FH的长；

(2)求EF与C1G所成角的余弦值．

【分析】建立空间直角坐标系，确定点的坐标，然后利用向量的坐标运算来解决．

【解析】如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．

(1)∵H是C1G的中点，∴H.   又F，

∴FH＝||＝＝.

(2)∵＝，则||＝.   又||＝，且·＝，

∴cos〈，〉＝＝， 即EF与C1G所成角的余弦值为.

【类题通法】运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤

(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；

(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；

(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；

(4)转化：转化为几何结论．

【巩固练习4】如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．

(1)求BN的长；

(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．

【解析】如图，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系C­xyz.

(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴||＝＝，

∴线段BN的长为.

(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，

∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.

又||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.

故A1B与B1C所成角的余弦值为.

（四）操作演练  素养提升

1.已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则点C的坐标是(　　)

A.　 B.

C.  D.

【答案】A

【解析】∵＝(－3，－2，－4)，∴＝(－，－，－)．

设C点坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)＝＝(－，－，－)．故选A.

2.（多选题）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）

A． B．

C． D．与夹角的余弦值为

【答案】BCD

【解析】因为，，而，故A不正确；

因为，，所以，故B正确；

因为，故C正确；

又，故D正确.故选BCD.

3.已知为单位正交基底，且，，则向量的坐标为___________，的值为___________.

【答案】，-11

【解析】∵，，

∴，

∴，

∴=-2-3-6=-11．

4.在正方体中，分别为的中点，则___________；___________.

【答案】；

【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴､y轴､z轴建立直角坐标系

设正方体棱长为1，则

.

答案：1.A  2.BCD  3.，-11  4.；

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第18页  练习     第1，2，3,4题

         第21页  练习     第1，2，3,4,5题

第22 页   习题1.3 第1,2,3,4,5,6,7,8,9题