人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式教案

2.3.2两点之间的距离

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第三节《直线的交点坐标与距离公式》。以下是本单元的课时安排：

在学生亲身体验两点之间的距离的求法，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。

1.掌握平面上两点间的距离公式，提升数学运算的核心素养.

2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题，培养逻辑推理的核心素养.

重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用

难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题

（一）新知导入

在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小?

（二）两点之间的距离

【探究1】1．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，那么向量的坐标是什么？

【提示】＝(x2－x1，y2－y1)．

2．根据向量的模的计算公式，你能得到||的公式吗？

【提示】||＝.　

◆ (1)平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.

文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．

(2)两点间距离的特殊情况

①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.

②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.

③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.

注意：公式中两点的位置没有先后之分

【做一做1】 (教材P74练习1改编)已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　)

A．5   B.

C.  D．4

解析：|MN|＝ ＝5.

答案：A

（三）典型例题

1.两点之间距离公式的应用

例1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.

【解析】法一：∵|AB|＝＝，

|AC|＝＝，

又|BC|＝＝，

∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，

则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.

又|AC|＝＝，

|AB|＝＝，

∴AC＝AB.∴△ABC是等腰直角三角形．

例2.在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．

【分析】解答本题有两种思路：(1)设出P点坐标(x，y)，由点P在直线上和|PA|＝|PB|，根据两点间距离公式建立x，y的方程，解方程组得P点坐标．(2)由|PA|＝|PB|知P在A、B所连线段的中垂线上，再解中垂线方程和l组成的方程组求交点P的坐标．

【解析】法一：设P点坐标为(x，y)，

由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组

解得∴P点坐标为(0,1)．

法二：设P(x，y)，两点A(1，－1)，B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0，①

又3x－y＋1＝0，②

解由①②组成的方程组

得所以所求的点为P(0,1)．

【类题通法】两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.

【巩固练习1】 已知点A(4,12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______．

解析：设点P的坐标为(x,0)，

由|PA|＝13，得＝13，解得x＝－1或x＝9.

所以点P的坐标为(－1,0)或(9,0)．

答案：(－1,0)或(9,0)

2.坐标法的应用

例3.  如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点,

求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.

【证明】如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.

设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).

则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,

|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,

|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,

∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,

∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.

【类题通法】 坐标法及其应用

1.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;

(2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.

2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:

(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;

(2)用坐标表示有关的量;

(3)将几何关系转化为坐标运算;

(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.

【巩固练习2】已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.

【解析】以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.

∵正三角形ABC的边长为a,

∴B-,0,C,0,A0,a.设P(x,y),由两点间的距离公式,得

|PA|2+|PB|2+|PC|2

=x2+y-a2+x+2+y2+x-2+y2

=3x2+3y2-ay+

=3x2+3y-a2+a2≥a2,

当且仅当x=0,y=a时,等号成立,

故所求最小值为a2,此时点P的坐标为0,a.

（四）操作演练  素养提升

1.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=(　　)

A.2 B.4 C.5 D.2

2.已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是(　　)

A．2  B．3＋2

C．6＋3  D．6＋

3.已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)，B(a,0)和C，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形  B．等边三角形

C．直角三角形  D．斜三角形

4.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)

A．2  B．4

C．5  D.

答案：1.A     2.C     3.C    4.D

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第74页  练习     第1，2，3题

         第79页   习题2.3  第5,12题