数学人教A版 (2019)2.2 直线的方程教学设计

2.2.1直线的点斜式方程

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。以下是本单元的课时安排：

在学生亲身体验直线的点斜式与斜截式这两个方程形成的过程，要通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。

1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程,培养数学抽象的核心素养.

2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系，培养数学抽象的核心素养.

3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题，强化数学运算的核心素养.

重点：掌握直线方程的点斜式并会应用

难点：了解直线方程的点斜式的推导过程．

（一）新知导入

笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。 在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。他站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。

       笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。

（二）直线的点斜式方程

知识点1   点斜式方程

【探究1】我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点和斜率就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标与点坐标和斜率之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？

　【提示】由斜率公式得k＝，即y－y0＝k(x－x0)，该关系式是直线l的方程．　

◆直线的点斜式方程

【点睛】1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.

2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.

3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.

【做一做1】 (教材P62练习2改编)直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　)

A．2　　　　　　 B．－1

C．3  D．－3

答案：C

【做一做2】经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（    ）

A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)

C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)

答案：C

知识点2  斜截式方程

【探究2】1．经过定点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？

【提示】将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b.

2．直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？

【提示】不是直线与y轴交点到原点的距离，是直线y＝kx＋b在y轴上交点的纵坐标，截距b的取值范围是R.

3．一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？

【提示】一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程y＝kx＋b中的k可以为0.

◆直线的斜截式方程

【点睛】 1.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程．

2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.

3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1.

【做一做1】直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于(　　)

A．2,3   B．－3，－3

C．－3,2  D．2，－3

答案：D

【做一做2】直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（    ）

A．，               B．，

C．，               D．，

答案：D

知识点3 两条直线平行、垂直的判断

【探究3】设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，根据上一节判断直线平行、垂直的结论，回答下列问题：

(1)当k1＝k2时，l1与l2一定平行吗？

【提示】不一定平行，当b1＝b2时，l1与l2重合．

(2)l1⊥l2的条件是什么？

【提示】k1k2＝－1.　　　

◆对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，

(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠_b2；(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1.

【做一做1】(教材P61例2改编)已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　　)

A．2  B．1

C．0  D．－1

解析：由a＝2－a，得a＝1.

答案：B

【做一做2】直线的倾斜角为_______，经过点且与直线垂直的直线的斜截式方程为_____

答案：       

（三）典型例题

1.直线的点斜式方程

例1.根据下列条件，求直线的方程：

(1)经过点A(2,5)，斜率是4；

(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；

(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；

(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．

【分析】注意斜率是否存在．若存在，方程为y－y0＝k(x－x0)；若不存在，方程为x＝x0.

【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0.

(2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan  45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，

即x－y＋1＝0.

(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.

(4)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1.

【类题通法】求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以，已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标，均可求出直线的方程．特别注意：斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程x＝x0.

【巩固练习1】求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形．

(1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．

【解析】(1)∵直线经过点P(3,4)，斜率k＝2，∴直线方程为y－4＝2(x－3)．如图①.

(2)∵直线经过点P(3,4)，且与x轴平行，即斜率k＝0，∴直线方程为y＝4.如图②.

(3)∵直线经过点P(3,4)，且与x轴垂直，∴直线方程为x＝3.如图③.

2.直线的斜截式方程

例2.　求满足下列条件的直线方程：

(1)斜率为2，在y轴上的截距为－1；

(2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

【分析】根据条件确定直线的斜率及直线在y轴上的截距，代斜截式即可．

【解析】(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得y＝2x－1.

(2)∵y＝x＋1的斜率为，∴其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°，

∴k＝tan 30°＝，又b＝－2，∴直线方程为y＝x－2.

(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan  60°＝，

∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.

∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.

【类题通法】1.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．

2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．

【巩固练习2】直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________．

解析：由直线l1的方程可知它的斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x＋6.

答案：y＝－2x＋6.

3.直线平行、垂直

例3.(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2，①平行？②垂直？

（2）已知点A(3,3)和直线l的斜率k＝.求：

①过点A且与直线l平行的直线方程l1；

②过点A且与直线l垂直的直线方程l2.

【解析】　(1)①要使l1∥l2，则需满足a2－2＝－1,2a≠2，解得a＝－1.

故当a＝－1时，直线l1与直线l2平行．

②要使l1⊥l2，则需满足(a2－2)×(－1)＝－1，∴a＝±.

故当a＝±时，直线l1与直线l2垂直．

（2）【解】　∵k＝，∴过点A且与直线l平行的直线的斜率为k1＝.过点A且与直线l垂直的直线的斜率为k2＝－.

∴①直线l1的方程为y－3＝(x－3)，即3x－4y＋3＝0.

②直线l2的方程为y－3＝－(x－3)，即4x＋3y－21＝0.

【类题通法】已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2.

(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2.

(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

【巩固练习3】(1)求经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程；

(2)求经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程．

【解】　(1)由y＝2x＋7得其斜率k1＝2，

∵所求直线与已知直线平行，设其斜率为k2，

∴k2＝k1＝2，∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，

即2x－y－1＝0.

(2)由y＝－2x＋7得其斜率k1＝－2，

∵所求直线与已知直线垂直，设其斜率为k2，

∴k1·k2＝－1，∴k2＝，

∴所求直线为y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.

（四）操作演练  素养提升

1.过点M(－3,1)，斜率为2的直线方程是(　　)

A．y＝2x＋7　　　　　　 B．y＝2x－7

C．y＝－2x＋7  D．y＝－2x－7

2.直线y＝2x＋1在x轴上的截距为(　　)

A．－                             B.

C．－1  D．1

3.已知直线l1：y＝x＋a，l2：y＝(a2－3)x＋1，若l1∥l2，则a的值为(　　)

A．4  B．2

C．－2  D．±2

4.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)

A．y＝x＋4  B．y＝2x＋4

C．y＝－2x＋4  D．y＝－x＋4

答案：1.A       2.A     3.C     4.D 

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第61页  练习     第1，2，3,4题

         第67 页   习题2.2  第2,3,4，9题