2023届高考数学一轮复习作业椭圆及其性质新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业椭圆及其性质新人教B版（答案有详细解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2019·北京高考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
B [由题意，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，则eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,4)，
∴4a2－4b2＝a2，即3a2＝4b2．故选B．]
2．已知方程eq \f(x2,2－k)＋eq \f(y2,2k－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) B．(1，＋∞) C．(1,2) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－k＞0，,2k－1＞0，,2k－1＞2－k，))
解得1＜k＜2．故选C．]
3．(2021·四川绵阳高三三模)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8eq \r(3)π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,3)＝1
C．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1 D．eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1
B [∵焦点F1，F2在y轴上，∴可设椭圆标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意可得eq \f(4S,π)＝2a×2b＝4ab，∴S＝abπ＝8eq \r(3)π，即ab＝8eq \r(3)，
∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32，则a＝8，∴b＝eq \r(3)，故椭圆方程为eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,3)＝1．]
4．(2021·安徽安庆一中高三三模)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以F1F2为直径的圆过点P，且∠PF2F1＝2∠PF1F2，则C的离心率为( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3)－1
C．eq \f(\r(3)－1,2) D．2－eq \r(3)
B [在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，
设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝eq \r(3)m，
又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)m，
则离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2m,\r(3)＋1m)＝eq \r(3)－1，故选B．]
5．点P在焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为( )
A．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,20)＝1
C．eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1 D．eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1
C [由题意，2c＝8，即c＝4，
∵△ PF1F2面积的最大值为16，∴eq \f(1,2)×2c×b＝16，
即4b＝16，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝16＋16＝32．
则椭圆的标准方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1．故选C．]
6．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为( )
①轨道Ⅱ的焦距为R－r；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为R＋r；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
C [由椭圆的性质知，a＋c＝R，a－c＝r，解得2c＝R－r，故①正确；
由①知a＝eq \f(R＋r,2)，c＝eq \f(R－r,2)，所以2b＝2eq \r(a2－c2)＝2eq \r(\f(R＋r2,4)－\f(R－r2,4))＝2eq \r(Rr)，
若R不变，r越大，2b越大，轨道Ⅱ的短轴长越小错误；故②错误；
由①知2a＝R＋r，故轨道Ⅱ的长轴长为R＋r，故③正确；
因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(R－r,2),\f(R＋r,2))＝eq \f(R－r,R＋r)＝1－eq \f(2r,R＋r)＝1－eq \f(2,\f(R,r)＋1)，若r不变，R越大，则eq \f(2,\f(R,r)＋1)越小，
所以e越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故④正确．]
二、填空题
7．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为 ．
(－5,0) [∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3．又b＝4，∴a＝eq \r(b2＋c2)＝5．∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]
8．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 ．
8 [根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8．]
9．(2021·河南开封高三模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，且∠F1AF2＝60°，则椭圆C的离心率是 ．
eq \f(\r(7),4) [由椭圆的对称性，得|AF2|＝|BF1|．设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m．由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，即m＋3m＝2a，解得m＝eq \f(a,2)，故|AF1|＝eq \f(3a,2)，|AF2|＝eq \f(a,2)．
在△AF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cs ∠F1AF2，即4c2＝eq \f(9a2,4)＋eq \f(a2,4)－2×eq \f(3a,2)×eq \f(a,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(7a2,4)，则e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(7,16)，故e＝eq \f(\r(7),4)．]
三、解答题
10．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．
[解] 由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，
且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为eq \r(3)，
所以点M的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
11．如图所示，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且eq \(AF2,\s\up7(→))＝2eq \(F2B,\s\up7(→))，求椭圆的方程．
[解](1)若∠F1AB＝90°，
则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．
所以a＝eq \r(2)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)．
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
由eq \(AF2,\s\up7(→))＝2eq \(F2B,\s\up7(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1＝1，,2y＝－b，))
解得x＝eq \f(3,2)，y＝－eq \f(b,2)．代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(\f(9,4),a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1．
即eq \f(9,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，解得a2＝3．
所以椭圆方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．
1．(2021·思南中学高三月考)已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的焦点为F1，F2，椭圆上的动点P(x0，y0)在第一象限，且∠F1PF2为锐角，x0的取值范围为 ．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),5)，3)) [由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5)，
所以该圆的方程为：x2＋y2＝5，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,x2＋y2＝5，))消去y得5x2＝9，解得x1＝－eq \f(3\r(5),5)，x2＝eq \f(3\r(5),5)，
又∵P在椭圆上，且由∠F1PF2为锐角，可知P不在x轴上，
由于eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的左、右顶点横坐标分别为－3和3，
∴为使∠F1PF2为锐角，x0的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3\r(5),5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),5)，3))，
又动点P在第一象限，故答案为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),5)，3))．]
2．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq \(PF1,\s\up7(→))·eq \(PF2,\s\up7(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是 ．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) [设P(x，y)，则eq \(PF1,\s\up7(→))·eq \(PF2,\s\up7(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①，
将y2＝b2－eq \f(b2,a2)x2代入①式解得x2＝eq \f(2c2－b2a2,c2)＝eq \f(3c2－a2a2,c2)，
又x2∈[0，a2]，即0≤eq \f(3c2－a2a2,c2)≤a2，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝eq \f(c,a)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))．]
3．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F(3,0)为椭圆C的右焦点，求eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(PF,\s\up7(→))的取值范围．
[解] 因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，
所以2a＋2c＝4b，即a＋c＝2b．
F(3,0)为椭圆C的右焦点，所以c＝3．
在椭圆中，a2＝c2＋b2，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝c2＋b2,a＋c＝2b,c＝3))，解方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5,b＝4,c＝3，))
所以椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1．
设P(m，n)(0＜m＜5)，
则eq \f(m2,25)＋eq \f(n2,16)＝1，则n2＝16－eq \f(16,25)m2．
所以eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(PF,\s\up7(→))＝(m，n)(3－m，－n)＝3m－m2－n2
＝3m－m2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16－\f(16,25)m2))
＝－eq \f(9,25)m2＋3m－16
＝－eq \f(9,25)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(25,6)))eq \s\UP12(2)－eq \f(39,4)．
因为0＜m＜5，所以当m＝eq \f(25,6)时，eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(PF,\s\up7(→))取得最大值为－eq \f(39,4)，
当m趋近于0时，eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(PF,\s\up7(→))的值趋近于－16．
所以eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(PF,\s\up7(→))的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－16，－\f(39,4)))．
1．已知椭圆G：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜eq \r(6))的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|＋|PB2|＝|PF1|＋|PF2|，当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②|OP|的最小值为2；
③存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，
其中，所有正确命题的序号是 ．
①② [椭圆G：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜eq \r(6))的两个焦点分别为F1(eq \r(6－b2)，0)和F2(－eq \r(6－b2)，0)，
短轴的两个端点分别为B1(0，－b)和B2(0，b)，
设P(x，y)，点P在椭圆G上，
且满足|PB1|＋|PB2|＝|PF1|＋|PF2|，
由椭圆定义可得，|PB1|＋|PB2|＝2a＝2eq \r(6)＞2b，
即有P在椭圆eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,6－b2)＝1上，
对于①，将x换为－x方程不变，
则点P的轨迹关于y轴对称，故①正确；
对于②，由图象可得，当P满足x2＝y2，
即有6－b2＝b2，即b＝eq \r(3)时，|OP|取得最小值，
可得x2＝y2＝2时，
即有|OP|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2＋2)＝2取得最小值为2，故②正确；
对于③，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜eq \r(6)，
则椭圆G上满足条件的点P有4个，
不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个，故③不正确．故答案为①②．]
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
[解](1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，故C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1．
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
eq \f(1,2)|y|·2c＝16，eq \f(y,x＋c)·eq \f(y,x－c)＝－1，eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1．③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq \f(b4,c2)．
又由①知y2＝eq \f(162,c2)，故b＝4．
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq \f(a2,c2)(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq \r(2)．
当b＝4，a≥4eq \r(2)时，存在满足条件的点P．
所以b＝4，a的取值范围为[4eq \r(2)，＋∞)．