高中数学高考课后限时集训52 椭圆及其性质 作业

椭圆及其性质

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一、选择题

1．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D．4

A　[由题意知F1(－，0)，把x＝－，代入方程＋y2＝1得＋y2＝1，解得y＝±，则|PF1|＝，所以|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝，故选A.]

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)

A.    B.  C.   D.

C　[不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.]

3．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)

A．4   B．8  C．4或8   D．12

C　[由题意知，即2＜m＜10.

又2c＝4，即c＝2，则(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，

解得m＝4或m＝8，故选C.]

4．(2019·呼和浩特模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点．若∠A1PA2的最大值可以取到120°，则椭圆C的离心率为(　　)

A.      B.  C.   D.

D　[由题意知，当点P在椭圆的短轴端点处时，∠A1PA2有最大值，则tan 60°＝，即＝.

所以e2＝1－＝1－＝，

即e＝，故选D.]

5．△ABC的周长是8，B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(　　)

A.＋＝1(x≠±3)   B.＋＝1(x≠0)

C.＋＝1(y≠0)   D.＋＝1(y≠0)

A　[由题意知|BC|＝2，|AB|＋|AC|＝6，

∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆且2a＝6，c＝1，则b2＝8.

所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．]

二、填空题

6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为        ．

＋＝1　[由题意知解得

因此所求椭圆方程为＋＝1.]

7．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是        ．

　[由题意知解得

又|F1F2|＝2，则|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，

即PF2⊥F1F2.

∴S△PF1F2＝×|F1F2|×|PF2|＝×2×1＝.]

8．椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是        ．

(－3,0)或(3,0)　[记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.

则m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．]

三、解答题

9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．

[解]　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．

∵F1A⊥F2A，∴·＝0，

而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，

∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，

∴c2＝25，即c＝5.

∴F1(－5,0)，F2(5,0)．

∴2a＝|AF1|＋|AF2|

＝＋

＝＋＝4，

∴a＝2，

∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

[解]　椭圆方程可化为＋＝1，m＞0.

∵m－＝＞0，

∴m＞，∴a2＝m，b2＝，

c＝＝.

由e＝，得＝，∴m＝1.

∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，

∴a＝1，b＝，c＝.

∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.

1．(2019·哈尔滨模拟)设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　　)

A．2　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．4

C　[设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2.(图略)因为|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|＝|AF2|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.故选C.]

2．(2019·衡水模拟)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为(　　)

A.   B.  C.   D.

B　[由题意知|F1F2|＝2c，根据正弦定理可得

2R＝＝＝c，即R＝.

由余弦定理得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4a2－3|PF1||PF2|，

∴|PF1||PF2|＝(a2－c2)．

∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin＝.

又S△F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝(a＋c)r，

∴＝(a＋c)r，

∴r＝.

由R＝4r得＝，

∴＝，故选B.]

3．(2019·揭阳模拟)已知椭圆的焦点在y轴上，中心在坐标原点，其在x轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则该椭圆的标准方程为        ．

＋＝1　[设椭圆上、下两个焦点分别为F1，F2，右顶点为A.

由题意知|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2，c＝b＝

则所求椭圆方程为＋＝1.]

4．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

[解]　(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．

故C的离心率为.

(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，

所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.　　①

由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则

即

把点N(x1，y1)代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得＋＝1.

解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.

1．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)

A.　　　　　　 B.

C.   D.

A　[由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整理得解得＜e＜.]

2．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由题意得解得c＝.

所以b2＝a2－c2＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．

由题设知m≠±2，且n≠0.

直线AM的斜率kAM＝，

故直线DE的斜率kDE＝－.

所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．

直线BN的方程为y＝(x－2)．

联立

解得点E的纵坐标yE＝－.

由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，

所以yE＝－n.

又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，

S△BDN＝|BD|·|n|，

所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.