2023届高考数学一轮复习作业圆的方程新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业圆的方程新人教B版（答案有详细解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2021·浙江绍兴高三期末)圆x2＋y2＋2ax－2eq \r(3)ay＋3a2＝0的圆心坐标和半径长依次为( )
A．(a，－eq \r(3)a)，a B．(－a，eq \r(3)a)，a
C．(a，－eq \r(3)a)，|a| D．(－a，eq \r(3)a)，|a|
D [圆x2＋y2＋2ax－2eq \r(3)ay＋3a2＝0化为标准方程为(x＋a)2＋(y－eq \r(3)a)2＝a2，
所以圆心坐标为(－a，eq \r(3)a)，半径为|a|．]
2．若方程x2＋y2＋4x－6y＋1－2m＝0表示圆，则实数m的取值范围为( )
A．(－6，＋∞) B．(6，＋∞)
C．(－7，＋∞) D．(7，＋∞)
A [由42＋62－4(1－2m)>0，得m>－6．]
3．(2021·广西梧州高三期末)曲线x2＋y2－2x＋4y－20＝0上的点到直线3x－4y＋19＝0的最大距离为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
B [曲线为圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
圆心(1，－2)到直线3x－4y＋19＝0的距离为d＝eq \f(|3＋8＋19|,\r(32＋42))＝6，
即直线与圆相离，故圆上的点到直线3x－4y＋19＝0的最大距离为6＋5＝11，故选B．]
4．与直线x＝2相切于点(2,0)且半径为1的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x＋1)2＋y2＝1
D．(x－1)2＋y2＝1或(x－3)2＋y2＝1
D [如图所示，
由图形知，与直线x＝2相切于点(2,0)且半径为1的圆的圆心为(1,0)或(3,0)，
所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1或(x－3)2＋y2＝1．]
5．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))eq \s\UP12(2)＋y2＝eq \f(1,2)
C [设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)．∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1．故选C．]
6．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2eq \r(6) B．8 C．4eq \r(6) D．10
C [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．
令x＝0，得y＝－2＋2eq \r(6)或y＝－2－2eq \r(6)，
∴M(0，－2＋2eq \r(6))，N(0，－2－2eq \r(6))或M(0，－2－2eq \r(6))，N(0，－2＋2eq \r(6))，
∴|MN|＝4eq \r(6)，故选C．]
二、填空题
7．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为 ．
(x－2)2＋(y－1)2＝1 [设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．]
8．(2021·江苏南京高三期中)已知直线x＋2y－4＝0和坐标轴交于A、B两点，O为原点，则经过O，A，B三点的圆的方程为 ．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 [直线x＋2y－4＝0和坐标轴交于A、B两点，则A(4,0)，B(0,2)，设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4D＋F＋16＝0，,2E＋F＋4＝0，,F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－4，,E＝－2，,F＝0，))圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5．]
9．(2021·武汉高三模拟)已知两点A(－3,0)，B(0,3)，点C是圆x2＋y2－4x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是 ．
eq \f(15－6\r(2),2) [由题意可得，直线AB的方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,3)＝1，即x－y＋3＝0，
由x2＋y2－4x＝0得(x－2)2＋y2＝4，则圆心坐标为(2,0)，半径为r＝2；
圆心(2,0)到直线AB的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－0＋3)),\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)，
根据圆的性质可得，圆上任意一点C到直线AB的最小距离为eq \f(5\r(2),2)－r＝eq \f(5\r(2),2)－2；
此时S△ABC＝eq \f(1,2)×AB×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(2),2)－2))＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(2),2)－2))＝eq \f(15－6\r(2),2)．]
三、解答题
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
[解](1)由已知得直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．
所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0．
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0．①
又直径|CD|＝4eq \r(10)，
所以|PA|＝2eq \r(10)．
所以(a＋1)2＋b2＝40．②
由①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2，))
所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．
11．如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2eq \r(6)，高为3．
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．
[解](1)由已知可知A(－3,0)，B(3,0)，C(eq \r(6)，3)，D(－eq \r(6)，3)，
设圆心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知
(0－3)2＋(b－0)2＝(0－eq \r(6))2＋(b－3)2，解得b＝1．
所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10．
所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10．
(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x－5,2y－2)．
将M点代入圆的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\UP12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\UP12(2)＝eq \f(5,2)．
1．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．1 B．5 C．4eq \r(2) D．3＋2eq \r(2)
D [由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)
≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)，即b＝2－eq \r(2)，a＝eq \r(2)－1时，等号成立．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为3＋2eq \r(2)．]
2．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为eq \f(\r(5),5)，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为 ．
(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2 [设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r2＝2b2，,r2＝a2＋1，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－1，,r2＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，,r2＝2.))
故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2．]
3．动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根．
(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；
(2)证明：当动圆C过点M(0,1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．
[解](1)∵x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根，
∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝－4．
∵动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且线段AB是动圆C的直径，
∴动圆C的圆心C的坐标为(－m,0)，半径为
eq \f(|AB|,2)＝eq \f(|x2－x1|,2)＝eq \f(\r(x1＋x22－4x1x2),2)＝eq \r(m2＋4)．
∴动圆C的方程为(x＋m)2＋y2＝m2＋4．
(2)证明：设动圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵动圆C与y轴交于M(0,1)，N(0，y1)，令y＝0，
则x2＋Dx＋F＝0，由题意可知D＝2m，F＝－4，
又动圆C过点M(0,1)，∴1＋E－4＝0，解得E＝3．
令x＝0，则y2＋3y－4＝0，解得y＝1或y＝－4，
∴y1＝－4．∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1－1|＝5．
故动圆C在y轴上截得弦长为定值．
1．如图A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，eq \(CD,\s\UP10(︵))是以OD为直径的圆上一段圆弧，eq \(CB,\s\UP10(︵))是以BC为直径的圆上一段圆弧，eq \(BA,\s\UP10(︵))是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W．给出以下4个结论：
①曲线W与x轴围成的面积等于2π；
②曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)；
③eq \(CB,\s\UP10(︵))所在圆的方程为：x2＋(y－1)2＝1；
④eq \(CB,\s\UP10(︵))与eq \(BA,\s\UP10(︵))的公切线方程为：x＋y＝eq \r(2)＋1．
则上述结论正确的是( )
A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．②③
B [曲线W与x轴的图形为以(0,1)圆心，1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上以(－1,0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为eq \f(1,2)π＋2×eq \f(1,4)π＋2＝2＋π≠2π，故①错误；
曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共5个整点，故②正确；eq \(CB,\s\UP10(︵))是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故③正确；设eq \(CB,\s\UP10(︵))与eq \(BA,\s\UP10(︵))的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直线和圆相切的条件可得eq \f(|t－1|,\r(1＋k2))＝1＝eq \f(|k＋t|,\r(1＋k2))，解得k＝－1，t＝1＋eq \r(2)(t＝1－eq \r(2)舍去)，
则其公切线方程为y＝－x＋1＋eq \r(2)，即x＋y＝1＋eq \r(2)，故④正确．故选B．]
2．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
[解] 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．设A(x1,0)，B(x2,0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m．令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－eq \f(1,2)．
此时C(0，－1)，AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))即圆心，
半径r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，
故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))eq \s\UP12(2)＋y2＝eq \f(17,16)．
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0．
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0．
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5)，))
故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5)))．