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2023届高考数学一轮复习作业函数性质的综合问题新人教B版（答案有详细解析）
展开这是一份2023届高考数学一轮复习作业函数性质的综合问题新人教B版（答案有详细解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2021·山西临汾市二模)已知函数f(x)在定义域R上为偶函数，当x2>x1≥0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，则满足f(2x－1)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))
A [当x2>x1≥0时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，
∴f(x2)－f(x1)>0恒成立，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，
若要满足f(2x－1)
A．y＝lg2(eq \r(x2＋1)－x) B．y＝sin x
C．y＝2x－2－x D．y＝|x－1|
C [对于A, x∈R，
f(x)＝lg2eq \f(\r(x2＋1)＋x\r(x2＋1)－x,\r(x2＋1)＋x)
＝lg2eq \f(1,\r(x2＋1)＋x)，
因为y＝eq \f(1,\r(x2＋1)＋x)是减函数，y＝lg2x是增函数，根据复合函数的单调性的判断方法(同增异减)，所以f(x)是减函数，故A错误；
对于B，x∈R，由y＝sin x的性质可得y＝sin x在x∈R上不具备单调性，故B错误；
对于C，x∈R，因为y＝2x与y＝－2－x都是增函数，所以y＝2x－2－x是增函数，
f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故C正确；
对于D，x∈R，f(－x)＝|－x－1|≠f(x)，故D错误．]
3．(2021·河南焦作市高三二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x＋1)，当0
C．eq \f(256,257) D．－eq \f(256,257)
D [∵f(x＋3)＝f(x＋1)，∴f(x)是周期函数，周期为T＝2，
又f(x)是奇函数，lg2eq \f(1,257)＝－lg2257∈(－9，－8)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,257)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,257)＋8))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(256,257)))
＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－lg2\f(256,257)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(257,256)))＝－2－lg2eq \s\up12(eq \f(257,256))
＝－eq \f(256,257)．]
4．已知函数f(x)在(－∞，2]上为增函数，且函数f(x＋2)是R上的偶函数，若f(a)≤f(3)，则实数a的取值范围可以是( )
A．2≤a≤5 B．a≤1或a≥3
C．1≤a≤3 D．a≤1
B [∵函数f(x)在(－∞，2]上为增函数，且函数f(x＋2)是R上的偶函数，
∴f(x)关于x＝2对称，且在[2，＋∞)单调递减，
当a>2时，由f(a)≤f(3)可得a≥3，∴a≥3；
当a≤2时，则f(a)≤f(3)等价于f(a)≤f(1)，可解得a≤1，∴a≤1，
综上，a≤1或a≥3．]
5．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))单调递增
B．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))单调递减
C．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递增
D．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递减
D [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1≠0，,2x－1≠0，))得函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，其关于原点对称，因为f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C．当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B．当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝lneq \f(2x＋1,2x－1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,2x－1)))，易知函数f(x)单调递减，故选D．]
6．(2020·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)，则( )
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线x＝π对称
D．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
D [由题意得sin x∈[－1,0)∪(0,1]．对于A，当sin x∈(0,1]时，f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)≥2eq \r(sin x·\f(1,sin x))＝2，当且仅当sin x＝1时取等号；当sin x∈[－1,0)时，f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－sin x＋\f(1,－sin x)))≤－2eq \r(－sin x·\f(1,－sin x))＝－2，当且仅当sin x＝－1时取等号，所以A错误．对于B，f(－x)＝sin(－x)＋eq \f(1,sin－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,sin x)))＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误．对于C，f(x＋π)＝sin(x＋π)＋eq \f(1,sinx＋π)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,sin x)))，f(π－x)＝sin(π－x)＋eq \f(1,sinπ－x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)，则f(x＋π)≠f(π－x)，f(x)的图象不关于直线x＝π对称，所以C错误．对于D，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋eq \f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＋eq \f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))，f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，所以D正确．故选D．]
二、填空题
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
6 [∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6．]
8．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：
①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
①②③ [∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．]
9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(－x)＝f(3＋x)，f(2 020)＝2，则f(1)＝________．
－2 [由f(－x)＝f(3＋x)得f(3＋x)＝－f(x)，从而f(6＋x)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2 020)＝f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝2．
所以f(1)＝－2．]
三、解答题
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
[解](1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2．
故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x∈[－1，0]，,x，x∈0，1，,－x＋2，x∈[1，2].))
11．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
[解](1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4．
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4．
1．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图象关于y轴对称．则下列结论正确的是( )
A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)
B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)
C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)
D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)
D [由①知函数f(x)的周期为4，由③知f(x＋2)是偶函数，则有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函数f(x)图象的一条对称轴是x＝2，由②知函数f(x)在[0,2]上单调递增，则在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)＜f(3)＜f(2.5)，即f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．故选D．]
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤1，,x－12＋1，x>1，))则不等式f(1－|x|)＋f(2)>0的解集为________．
(－3,3) [由函数解析式知f(x)在R上单调递增，且－f(2)＝－2＝f(－2)，
则f(1－|x|)＋f(2)>0⇒f(1－|x|)>－f(2)＝f(－2)，
由单调性知1－|x|>－2，解得x∈(－3,3)．]
3．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
[解](1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
因为f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，
所以f(x1)＋f(x2)＞0．
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0．
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上得证，对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1,1]上是减函数，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤1－a2≤1，,－1≤a－1≤1，,1－a2＞a－1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤a2≤2，,0≤a≤2，,a2＋a－2＜0，))
解得0≤a＜1．
故所求实数a的取值范围是[0,1)．
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意的x都有f(x＋6)－f(x)＝f(3)，且f(－4)＝－2，当x1，x2∈[0,3)(x1≠x2)时，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，则f(2 020)＝________，当x∈(0,9)时，不等式－2
从而f(x＋6)－f(x)＝0，f(x＋6)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且周期为6．
所以f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4)＝－2．
因为当x1，x2∈[0,3)(x1≠x2)时，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以f(x)在[0,3)上是增函数，则f(x)在(－3,0]上是减函数，在[3,6]上是减函数，
f(2)＝f(－2)＝f(4)＝－2，
x∈(0,3]时，由－2
2．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
[解](1)因为对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0．
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
f(x)定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝eq \f(1,2)f(1)＝0．
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2等价于f(|x－1|)＜f(16)．
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1，
所以x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．
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