北京市密云区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市密云区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共48页。试卷主要包含了计算，已知二次函数，已知，是该函数图象上的一个动点等内容，欢迎下载使用。

北京市密云区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

1．（2022·北京密云·九年级期末）计算：．
2．（2022·北京密云·九年级期末）下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求作：∠BPC，使∠BPC=∠BAC．
作法：① 分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，
连接EF交BD于点O；
② 以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；
③ 在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．所以∠BPC=∠BAC．
根据小玟设计的尺规作图过程．

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD=CD．
∴OA=OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB= ．
∴OB=OA．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC=∠BAC（ ）（填推理的依据）．
3．（2022·北京密云·九年级期末）已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

4．（2022·北京密云·九年级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB．

5．（2022·北京密云·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长．

6．（2022·北京密云·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数的图象经过点A（4，1），点B（x，y）是该函数图象上的一个动点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）当y>1时，结合图象直接写出x的取值范围．
7．（2022·北京密云·九年级期末）在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE=∠A．

(1)求证：△DCF∽△CEB；
(2)若BC=4，CE=，tan∠CDF=，求线段BE的长．
8．（2022·北京密云·九年级期末）从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群．如图，A，B，C分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东30°方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号）

9．（2022·北京密云·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．

(1)求证：AM是⊙O的切线；
(2)连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC = 30°，求CD的长．
10．（2022·北京密云·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=-2ax+b与y轴相交于点（0，-3）．

(1)当抛物线的图象经过点（1，-4）时，求该抛物线的表达式；
(2)求这个二次函数的对称轴（用含a的式子表示）；
(3)若抛物线上存在两点A（，）和B（，），其中-=0，+=0．当<0，>0时，总有+>0，求a的取值范围．
11．（2022·北京密云·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．

(1)依据题意，补全图形；
(2)求∠AEF的度数；
(3)连接AC交EF于点H，若，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．
12．（2022·北京密云·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0）和点B（5，0）．对于线段AB和直线AB外的一点C，给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角∠ACB叫做线段AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段AB的可视点．

(1)在点D（-2，2）、E（1，4）、F（3，-2）中，使得线段AB的可视角为45°的可视点是 ；
(2)⊙P为经过A，B两点的圆，点M是⊙P上线段AB的一个可视点.
① 当AB为⊙P的直径时，线段AB的可视角∠AMB为 度；
② 当⊙P的半径为4时，线段AB的可视角∠AMB为 度；
(3)已知点N为y轴上的一个动点，当线段AB的可视角∠ANB最大时，求点N的坐标．
13．（2020·北京密云·九年级期末）计算： ．
14．（2020·北京密云·九年级期末）已知：在△ABC中，点D、点E分别在边AB、AC上，且DE // BC，BE平分∠ABC．

（1）求证：BD=DE；
（2）若AB=10，AD=4，求BC的长．
15．（2020·北京密云·九年级期末）已知二次函数y = x2 -4x + 3．

（1）用配方法将y = x2 -4x + 3化成y = a(x - h)2 + k的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．
（3）结合函数图象，直接写出y＜0时自变量x的取值范围 ．
16．（2020·北京密云·九年级期末）已知：如图，在⊙O中，弦交于点，．

求证：．
17．（2020·北京密云·九年级期末）已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连结BE，若，AD=，求BE的长．
18．（2020·北京密云·九年级期末）某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图中所建坐标系，求出抛物线的表达式．

19．（2020·北京密云·九年级期末）在平面直角坐标系中，直线 y = x与反比例函数的图象交于点A（2，m）.

（1）求m和k的值；
（2）点P（xP，yP）是函数图象上的任意一点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x于点B.  
①当yP = 4时，求线段BP的长；
②当BP3时，结合函数图象，直接写出点P 的纵坐标yP的取值范围．
20．（2020·北京密云·九年级期末）已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F .

（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）连结BC，若⊙O的半径为2，tan∠BCD=，求线段AD的长．
21．（2020·北京密云·九年级期末）如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的一个动点（点E可以与点A和点C重合），连接BE．已知AB=3cm，BC=4cm．设A、E两点间的距离为xcm，BE的长度为ycm．

某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：

说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=2AE时，AE的长度约为 cm．（结果保留一位小数）
22．（2020·北京密云·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线()．

（1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a的代数式表示)；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，且点A在点B的左侧，AB=4．
①求a的值；
②记二次函数图象在点 A，B之间的部分为W(含 点A和点B)，若直线 ()经过（1，-1），且与 图形W 有公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．
23．（2020·北京密云·九年级期末）已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．
  
（1）如图1，若点M在线段BD上．
① 依据题意补全图1；
② 求∠MCE的度数．
（2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系 ．
24．（2020·北京密云·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足，则称点P为⊙O的“随心点”．

（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，⊙O的“随心点”是 ；
（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；
（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围 ．
25．（2020·北京密云·九年级期末）计算：
26．（2020·北京密云·九年级期末）已知抛物线经过两点A（4，0），B（2，-4）．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）在平面直角坐标系xOy内画出抛物线的示意图；
（3）若直线y=mx+n经过A，B两点，结合图象直接写出不等式的解集．
27．（2020·北京密云·九年级期末）如图，，，点D在BC上，，，，．

（1）求证：；
（2）求的度数．
28．（2020·北京密云·九年级期末）如图，四边形ABCD中，，，，，求AD的长．

29．（2020·北京密云·九年级期末）已知双曲线与直线交于，．

（1）求k，m值；
（2）将直线，平移得到：，且与双曲线围成的封闭区域内（不含边界）恰有3个整点（把横纵坐标均为整数的点称为整点）结合图象，直接写出b的取值范围．
30．（2020·北京密云·九年级期末）如图，AB是的直径，C、D是圆上两点，CD=BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F．

（1）求证：EF是的切线；
（2）若AE-3，，求的半径．
31．（2020·北京密云·九年级期末）已知抛物线与y轴交于点P，将点P向右平移4个单位得到点Q，点Q也在抛物线上．

（1）抛物线的对称轴是直线 ；
（2）用含的代数式表示b；
（3）已知点，，抛物线与线段MN恰有一个公共点，求的取值范围．
32．（2020·北京密云·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AD>AB，DE平分∠ADC交BC于点E，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．

（1）①补全图形；
②设∠EAB的度数为，直接写出∠AOE的度数（用含的代数式表示）．
（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之间的数量关系，并证明．
33．（2020·北京密云·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P是图形M上的任意一点，Q是图形N上任意一点，如果P，Q两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N的“最小距离”，记作d（M，N）．已知的半径为1．
（1）如图，P（4，3），则（点，）= ，d（点P，）= ．

（2）已知A、B是上两点，且弧AB的度数为60°．

①若轴且在x轴上方，直线，求d（，AB）的值；
②若点R坐标为（，1），直接写出点d(点R，AB）的取值范围．

参考答案：
1．
【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可．
【详解】解：


=．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质是解题关键．
2．(1)作图见解析
(2)OC，同弧所对的圆周角相等

【分析】（1）按照步骤作图即可
（2）由垂直平分线性质，以及圆周角性质补全证明过程即可．
(1)
如图所示

(2)
证明：连接OA、OC．
∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD=CD．
∴OA=OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB=OC．
∴OB=OA．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC=∠BAC（同弧所对的圆周角相等）．
【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线性质、圆周角性质，线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，圆周角性质推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．
3．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【详解】解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：

故答案为（1）；（2）见解析.
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
4．见解析
【分析】由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD，再结合∠ABC=2∠C可得∠ABD=∠C，再结合∠A=∠A即可证明结论．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠C
∵∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键．
5．AD= 2
【分析】先判定△BDC是等腰直角三角形，求得BC，解直角三角形ABC，求得AB，AC的长，计算即可．
【详解】在△BDC中，∠C = 90°  ，
∵∠BDC = 45°，
∴△BDC是等腰直角三角形   ，                     
∴CD=BC=6 ，
在Rt△ABC中，，
∴ ，
∴ AB=10，
∴ AC=8，                          
∴ AD=AC-CD=8-6=2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练进行解直角三角形是解题的关键．
6．（1）（2）0＜x＜4
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）由函数图象即可直接求解．
【详解】（1）解：设反比例函数表达式为
∵其图象经过点A（4，1）
∴k=4
∴反比例函数表达式为
（2）当y>1时，结合图象可知x的取值为：0＜x＜4．
【点睛】此题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
7．(1)证明见解析
(2)BE=

【分析】（1）由平行四边形的性质有AB//CD，AD//BC，可得∠DFE=∠A，∠DFC=∠B，故△DCF∽△CEB．
（2）过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H，由题意可设EH=x，CH=2x，由勾股定理即可得EH=3，CH=6，再由勾股定理即可求得BE=．
(1)
证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC
∴∠DCE=∠BEC，∠A+∠B=180°
∵∠DFE+∠DFC=180°
又∵∠DFE=∠A
∴∠DFC=∠B
∴△DCF∽△CEB

(2)
∵△DCF∽△CEB
∴∠CDF=∠ECB
∴tan∠CDF= tan∠ECB=
过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H

在Rt△CEH中

∴设EH=x，CH=2x
∴CE=
∵CE=
∴x=3，则有EH=3，CH=6
∵BC=4
∴BH=6-4=2
在Rt△EBH中有BE=
则BE=
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键．
8．此时独象距离象群公里
【分析】连接BC，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中求出BD，在Rt△ADC中求出DC，根据BC=BD+DC即可．
【详解】连接BC，过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD中
∵AB=12，∠BAD=45°                               
∴ sin45°=  
即
∴BD=
∴BD=AD=
在Rt△ACD中，∠DAC=30°
∴tan30°=
即，
∴DC=，
∴BC=BD+DC=,         
∴此时独象距离象群公里
【点睛】本题考查了解直三角形应用，方位角，构造直角三角形是解决本题的关键．
9．(1)见解析
(2)CD=2

【分析】（1）由题意易得BC=BD，∠DAM=∠DAF，则有∠CAB=∠DAB，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求证；
（2）由题意易得CD//AM，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，CE=，进而问题可求解．
(1)
证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴BC=BD
∴∠CAB=∠DAB
∵AM是∠DAF的平分线
∴∠DAM=∠DAF
∵∠CAD+∠DAF=180°
∴∠DAB+∠DAM=90°
即∠BAM=90°，AB⊥AM
∴AM是⊙O的切线
(2)
解：∵AB⊥CD，AB⊥AM
∴CD//AM
∴∠ANC=∠OCE=30°
在Rt△OCE中，OC=2
∴OE=1，CE=
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴CD=2CE=2．
【点睛】本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
10．(1)y=-2x-3
(2)
(3)a>0

【分析】（1）把（0，-3）和（1，-4）分别代入解析式，解答即可；
（2）根据对称轴为直线x=计算即可；
（3）把坐标代入解析式，后进行代换，保留，，后进行作差，因式分解，解不等式求解．
(1)
解：y=-2ax+b与y轴相交于点（0，-3），
∴y=-2ax-3，
∵抛物线的图象经过点（1，-4），
∴1-2a-3=-4，
∴  a=1 ，
∴ y=-2x-3 ．
(2)
解：．
(3)
∵A（，）和B（，）是二次函数y=-2ax+b图像上的两点，
∴，，
∵-=0，+=0，
∴，，
∴①，②，
①-②得，
∴，
∴，
∵<0，>0时，+>0，
∴-<0
∴，
∴，
∵+>0，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，对称轴，性质，不等式的性质，熟练掌握待定系数法，对称轴的计算公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质是解题的关键．
11．(1)补全图形见解析
(2)∠AEF=45°
(3)数量关系为CF=aCE，理由见解析

【分析】（1）根据垂直的定义，画图即可；
（2）证明△ABF≌△ADE即可；
（3）过点E作EM//CF交AC于点M，证明△MEH∽△CFH，利用等腰直角三角形的性质，等量代换即可．
(1)
补全图形

(2)
解：在正方形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠D =90°，AD=AB.
∵AF⊥AE，
∴∠FAE =90°，
∴∠FAE =∠DAB，
∴∠FAE-∠BAE =∠DAB-∠BAE，
即∠FAB =∠DAE，
∵∠ABF =∠D=90°，
∴△ABF≌△ADE，                
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°．
(3)
解：数量关系为CF=aCE．
过点E作EM//CF交AC于点M

∴∠MEH=∠EFC，∠MEC=∠D=90°，
∵∠MHE=∠CHF，   
∴△MEH∽△CFH，
∴     
∵∠ACD=45°
∴△MEC是等腰直角三角形
∴ME=EC
∴
即CF=aCE．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形相似的判定是解题的关键．
12．(1)点E
(2)① 90；② 30或150
(3)N（0，）或（0，- ）

【分析】（1）AE、BE、AB满足勾股定理，且AE=AB，可知为等腰直角三角形，则∠AEB=45°，故E点可使线段AB的可视角为45°．
（2）①由半径所对的圆周角为90°即可得出∠AMB为90°．
②连接AP、BP，即可得出为等边三角形，由圆周角定理即可求得∠AMB为30°或150°．
（3）以AB为弦作圆M且过点N，由圆周角定理可得出当圆心角AMB最大时，圆周角ANB最大，由直线与圆的位置关系得出当y轴与圆M相切时圆心角AMB最大，进而可求得N点坐标．
(1)
连接AE，BE
∵AE=4，AB=4，AE⊥AB
∴为等腰直角三角形
∴∠AEB=45°．
故使得线段AB的可视角为45°的可视点是点E．
(2)
①有题意可知，此时AB为⊙P直径
由半径所对的圆周角为90°可知∠AMB为90°
②当⊙P的半径为4时，AB为⊙P一条弦，连接AP，BP
∵BP=AP=4，AB=4
∴为等边三角形
∴∠APB=60°
当点M在圆心一侧由圆周角定理知∠AMB=
当点M不在圆心一侧由内切四边形性质可知∠AMB=180°-30°=150°

(3)
（3）解： ∵过不在同一条直线上的三点确定一个圆，
∴A、B、N三点共圆，且过A、B两点的圆有无数个，圆心在直线x=3上.
即：点N的位置为过A、B两点的圆与y轴的交点.
设过A、B两点的圆为⊙M，半径为r.
当r<3时，y轴与⊙M无交点，不符题意舍去.
如图所示：
当r=3时，y轴与⊙M交于一点，此时y轴与⊙M相切，切点即为点N.
当r>3时，y轴与⊙M1交于两点，此时y轴与⊙M1相交，交点设为N1、N2.
连接AM、BM、AN、BN、AM1、BM1、AN1、BN1．

此时，∠ANB、∠AMB分别为⊙M中弧AB所对的圆周角和圆心角；
∠AN1B、∠AM1B分别为⊙M1中弧AB所对的圆周角和圆心角.
∵∠1=∠M1AM+∠AM1M，
∠2=∠M1BM+∠BM1M，
∴∠1+∠2=∠M1AM+∠AM1M+∠BM1M+∠M1BM，
即∠AMB=∠M1AM+∠AM1B+∠M1BM
∴∠AMB>∠AM1B
∴∠ANB>∠AN1B
∵∠AN1B=∠AN2B
∴∠ANB>∠AN2B
∴当y轴与⊙M相切于点N时，∠ANB的值最大.
在Rt△AMC中，AM=r=3，AC=2
∴MC=
∵MN⊥y轴，MC⊥AB，            
∴四边形OCMN为矩形.
∴ON=MC=
∴N（0，）
同理，当点N在y轴负半轴时，坐标为（0，-   ）
综述所述，N（0，）或（0，-）.
【点睛】本题考查了圆周角定理，将可视角的定义转化为圆内弦AB的圆周角是解题的关键，再结合图象计算即可．
13．5
【分析】求算术平方根、负指数幂、零指数幂，再代入特殊角的三角函数值即可．
【详解】原式＝
=5-1+1
=5
【点睛】熟练掌握实数的运算及熟记特殊三角函数值是解答此题的关键.
14．（1）见解析；（2）15
【分析】（1）利用平行线性质及角平分线线定理得到∠DEB=∠DBE，再利用等腰三角形判定得到BD=DE ，即得到答案.
（2）利用相似的判定得到△ADE∽△ABC，再利用相似的性质得到，代入值即可得到答案.
【详解】（1）证明： ∵DE // BC，
∴∠DEB=∠EBC
∵ BE平分∠ABC  
∴∠DBE=∠EBC
∴∠DEB=∠DBE
∴BD=DE

(2) 解：∵AB=10，AD=4
∴BD=DE=6
∵DE // BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴   
∴BC=15
【点睛】本题考查平行线性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定、性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．(1) ；（2）见解析；（3） 1 < x < 3
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；
（3）运用数形结合思想解答即可．
【详解】(1)
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象如下：

（3）y＜0即在x轴下方的点，由图形可以看出自变量x的取值范围为： 1 < x < 3
【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
16．证明见解析
【分析】由圆周角定理可得∠ADE=∠CBE，从而利用AAS可证明△ADE≌△CBE，继而可得出结论．
【详解】证明:∵同弧所对的圆周角相等，

在和中
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出∠ADE=∠CBE．
17．（1）见解析；（2）
【分析】（1）先根据已知条件证四边形ADCE是平行四边形，再加上∠ADC=90°，证平行四边形ADCE是矩形；
（2）根据，得到BD与AB的关系，通过解直角三角形，求AD长，则可求EC的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE.
【详解】（1）证明：∵AE // BC，CE // AD
∴ 四边形ADCE是平行四边形
∵AD ⊥BC，AB=AC
∴∠ADC=90°，  
∴ 平行四边形ADCE是矩形
（2）解：连接DE,如图：

在Rt△ABD中，∠ADB =90°
∵
∴
∴设BD=x，AB=2x
∴AD=
∵AD=
∴x=2
∴BD=2
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BC=2BD=4
∵矩形ADCE中，EC=AD=, BC=4
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE===
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、等腰三角形性质的应用，熟练掌握相关性质和定理是解决问题的关键．
18．y= -0.4x2+4
【分析】根据题意设抛物线的表达式为y=ax2+4  ()，代入（-2,2.4），即可求出a．
【详解】解：设y=ax2+4  ()
∵ 图象经过（-2,2.4）
∴ 4a+4=2.4
a= -0.4
∴ 表达式为y= -0.4x2+4
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型.
19．（1）m=2，k=4 ；（2）①BP=3 ； ② yP≥4或0 【分析】（1）将A点坐标代入直线y = x中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值；
（2）①由题可知点P 和点B的纵坐标都为4，将纵坐标分别代入两个函数解析式得相应横坐标，即可得到点的坐标,求出BP.②根据函数与不等式的关系，即可得到答案.
【详解】（1）解：将A（2，m）代入直线 y = x，得m=2,所以A(2,2),
将A（2,2）代入反比例函数，得：，则k=4
综上所述，m=2，k=4.
（2）①解：作图：

当yP = 4时
点P 和点B的纵坐标都为4
当将y=4，代入 得x=1,即P点坐标（1,4）
当将y=4，代入y=x得x=4,即B点坐标（4,4）
∴BP=3
②由图可知BP3时，纵坐标yP的范围： yP≥4或0 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数参数的求法，以及函数与不等式的关系，掌握解题方法是解答此题的关键.
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由垂径定理可证AB⊥CD，由CD∥BF，得AB⊥BF，则BF是⊙O的切线；
（2）连接BD，根据同弧所对圆周角相等得到∠BCD =∠BAD，再利用圆的性质得到∠ADB=90°， tan∠BCD= tan∠BAD= ，得到BD与AD的关系，再利用解直角三角形可以得到BD、AD与半径的关系，进一步求解即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵  ⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点
∴ AB ⊥CD, ∠AED =90°  
∵ CD // BF
∴ ∠ABF =∠AED =90°  
∴  AB⊥BF
∵ AB是⊙O的直径
∴ BF是⊙O的切线   
（2）解：连接BD

∵∠BCD、∠BAD是同弧所对圆周角
∴∠BCD =∠BAD
∵ AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵ tan∠BCD= tan∠BAD=
∴
∴设BD=3x，AD=4x
∴AB=5x
∵ ⊙O的半径为2，AB=4
∴5x=4，x=
∴AD=4x=
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是利用圆周角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．
21．解：（1）2.5；（2）图象见解析；（3）1.2（1.1—1.3均可）
【分析】（1）根据画图测量即可；
（2）按照（1）中数据描点画图即可；
（3）当BE=2AE时，即y=2x时，画出图形观察图像即可得到值.
【详解】解：（1）根据测量可得：2.5；
（2）根据数据描点画图，即可画图象
  
（3）当BE=2AE时，即y=2x时，如图，y=2x与原函数图像的交点M的横坐标即为所求，可得AE≈1.2（1.1—1.3均可）.

【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时用到了数形结合和转化的数学思想．
22．（1）4a+8；（2）①a=-1；②或或
【分析】（1）将原表达式变为顶点式，即可得到答案；
（2）①根据顶点式可得抛物线的对称轴是x=1  ，再根据已知条件得到A、B两点的坐标，将坐标代入，即可得到a的值；②分情况讨论，当 ()经过（1，-1）和A（-1,0）时，以及当 ()经过（1，-1）和B（3，0）时，代入解析式即可求出答案.
【详解】（1）==
所以顶点坐标为（1,4a+8）,则纵坐标为4a+8.
（2）①解：∵原解析式变形为：y=
∴抛物线的对称轴是x=1  
又∵ 抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，AB=4
∴ 点A和点B各距离对称轴2个单位
∵ 点A在点B的左侧
∴A（-1,0），B（3，0）
∴将B（3，0）代入
∴9a-6a+5a+8=0
a=-1
②当 ()经过（1，-1）和A（-1,0）时
，
当 ()经过（1，-1）和B（3，0）时
，
∴或或

【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的综合性题目，数形结合是解答此题的关键.
23．（1）①见解析；②∠MCE=∠F=45°；（2）
【分析】（1） ① 依据题意补全图即可；② 过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F  ，利用同角的余角相等，得到∠FMA= ∠CME，再通过等腰三角形的判定得到FM=MC，再通过判断，得到∠MCE的度数.
（2）通过证明，得到  AF=EC，将转化为，再在Rt△FMC中，利用边角关系求出FC=，即可得到.
【详解】（1） ① 补全图1：

② 解：过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F  
       
∵FM⊥BC
∴ ∠FMC =90°
∴ ∠FMA+∠AMC=90°
∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME
∴∠AME=90° ，AM=ME
∴ ∠CME+∠AMC=90°
∴∠FMA= ∠CME
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠FCM=45°
∴∠F=∠FCM=45°
∴FM=MC
在△FMA和△CME中

∴
∴ ∠MCE=∠F=45°
（2）解：过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F  
       
∵FM⊥BC
∴ ∠FMC =90°
∴ ∠FME+∠EMC=90°
∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME
∴∠AME=90° ，AM=ME
∴∠FME +∠AMF=90°
∴∠EMC = ∠AMF
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠FCM=45°
∴∠MFC=90°-∠FCM=45°
∴FM=MC
在△FMA和△CME中

∴
∴ AF=EC
∴
∵∠FCM=45°，∠FMC=90°
∴FC=
∴
综上所述，
【点睛】本题是旋转图形考查，掌握旋转前后不变的量是解答此题的关键，涉及到的知识点相似的判定及性质、等腰三角形的性质等.
24．(1) A,C ；（2）；(3)  1≤b≤或-≤b≤-1．
【分析】（1）根据已知条件求出d的范围：1≤d≤3，再将各点距离O点的距离，进行判断是否在此范围内即可，满足条件的即为随心点；
（2）根据点E（4，3）是⊙O的“随心点”，可根据，求出d=5，再求出r的范围即可；
（3）如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r=2，求出随心点范围，再分情况点N在y轴正半轴时，当点N在y轴负半轴时，分情况讨论即可.
【详解】(1) ∵⊙O的半径r=2，
∴=3，=1
∴1≤d≤3
∵A（3，0），
∴OA=3，在范围内
∴点A是⊙O的“随心点”
∵B（0，4）
∴OB=4，而4＞3，不在范围内
∴B是不是⊙O的“随心点”，
∵C（，2），
∴OC=，在范围内
∴点C是⊙O的“随心点”，
∵D（，），
∴OD=＜1，不在范围内
∴点D不是⊙O的“随心点”，
故答案为：A,C
（2）∵点E（4，3）是⊙O的“随心点”
∴OE=5，即d=5
若， ∴r=10
若 ，
∴
(3)  

∵如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r=2，随心点范围
∴
∵直线MN的解析式为y=x+b，
∴OM=ON，
①点N在y轴正半轴时，
当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（-1，0），
将M（-1，0）代入直线MN的解析式y=x+b中，解得，b=1，
即：b的最小值为1，
过点O作OG⊥M'N'于G，
当点G是⊙O的“随心点”时，此时OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，
∴GO=3
∴在Rt△GNN’中，===，
b的最大值为，
∴1≤b≤，
②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出-≤b≤-1．
综上所述，b的取值范围是：1≤b≤或-≤b≤-1．
【点睛】此题考查了一次函数的综合题，主要考查了新定义，点到原点的距离的确定，解（3）的关键是找出线段MN上的点是圆O的“随心点”的分界点，是一道中等难度的题目．
25．
【分析】先进行二次根式化简、求三角函数值、绝对值化简，再计算．
【详解】解：原式


【点睛】本题考查了包含二次根式、三角函数值、绝对值的实数运算，解题关键是准确的进行二次根式化简，知道特殊角三角函数值．
26．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据待定系数法将点A、B坐标代入解析式即可求解；
（2）根据二次函数解析式画出函数图象即可；
（3）根据已求的图象即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过两点
∴
解得：
∴该抛物线的表达式为；
（2）画出函数图象，如图所示：

（3）由图象可知：即抛物线图象在直线y=mx＋n图象的上方，即点A、B之间的部分符合题意，
∴不等式的解集：．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式、二次函数的图象和性质，正确画出二次函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证两边成比例，再用两边成比例夹角相等证相似即可；
（2）根据相似三角形的性质，得出，可证90度．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∵，，，
∴，
∴
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理证明，用性质定理求角．
28．
【分析】首先在中利用求出AC的长度，然后在中再利用即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
29．（1），；（2）或
【分析】（1）由A点坐标可求出反比例函数解析式，从而求出B点的坐标，即可得出结论；
（2）作图并观察，若直线在直线的下方时，则有整点（1，1），（0，0），（-1，-1），若直线在直线的上方时，则有整点（-2，0），（-1，1），（0，2），据此解答即可．
【详解】解：（1）∵点在双曲线上，
∴，
∴，
∴双曲线的表达式为，
∵点在双曲线上，
∴，
∴，；
（2）如图所示，

当直线在直线的下方时，，
当直线在直线的上方时，，
∴b的取值范围是：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查待定系数法求解析式，数形结合的思想是解题关键．
30．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，AD，由等腰三角形的性质得出∠CAD=∠DAB，∠ADO=∠DAB，由直角三角形的性质可得出EF⊥OD，则可得出结论；
（2）设EF=4k，AF=5k（k＞0），则AE=3k，求出k=1，证明△FOD∽△FAE，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，AD

∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴是的切线
（2）在中，
∴
∵
∴设，（），解得
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
解得：
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握切线的判定．
31．（1）2；（2）；（3）或
【分析】（1）先求得点P的坐标，再根据平移的性质得到点Q的坐标；由于点P、点Q的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；
（2）根据对称轴公式即可求得；
（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3a与y轴交于点P，
∴P（0，3a），
∵将点P向右平移4个单位得到点Q，
∴Q（4，3a）；
∵P与Q关于对称轴x=2对称，
∴抛物线对称轴直线x=2，
故答案为2；
（2）∵抛物线的对称轴是直线
∴
∴；
（3）解：由（2）知，抛物线的表达式为
令，解得：
∴抛物线经过和
设点，在抛物线上，则，，故此点M在R上方
①当时，若抛物线与线段恰有一个公共点，需满足点N与点S重合（如图1）或点N在点S下方（如图2），即，解得：，即

②当时，，故此点N在点S下方，此时抛物线与线段恰有一个公共点（如图3）

综上所述：的取值范围是：或
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键．
32．（1）①见解析；②；（2），证明见解析
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②首先根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质得出，然后通过等量代换得出，最后利用即可求解；
（2）延长DE，AB交于点G，首先利用矩形的性质和角平分线的定义得出，则，进而得出，根据勾股定理有，然后再通过等量代换即可得出．
【详解】（1）①如图，

②∵将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
，
．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
，
，
；
（2），

证明：延长DE，AB交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握这些性质及定理是解题的关键．
33．（1）1，4；（2）①1；②≤d(点R，AB）≤
【分析】（1）根据定义可知，（点，）=r，d（点P，）=PO-r，求解即可；
（2）①假设设点B在点A右侧，AB与轴交于点P，连接OA、OB，可求得∴，直线与轴交于点C，与轴交于点D，则点，，继而求出，可知点B到CD的距离就是AB与直线的“最小距离”，然后过点O作，垂足为E，即可求得；
②d(点R，AB）最短为：OR-r，最长为：OR+r，求出OR即可求解．
【详解】解：（1）（点，）=r=1，
d（点P，）=PO-r=，
故答案为：1，4；
（2）①如图，不妨设点B在点A右侧，AB与轴交于点P，连接OA、OB，

∵AB的度数为，
∴，
∴，
∴，
设直线与轴交于点C，与轴交于点D，则点，，
∴，
∴，
∴，
观察图形可知，点B到CD的距离就是AB与直线的“最小距离”，
过点O作，垂足为E，
∵，
∴，
∴，
∴；
②d(点R，AB）最短为：OR-r，最长为：OR+r，
∵，
∴≤d(点R，AB）≤．
【点睛】本题考查点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，解题的关键是综合运用相关知识解决问题．