2022-2023学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）入学数学试卷含答案

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）入学数学试卷含答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）入学数学试卷
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2
2．（3分）一服装店新进某种品牌五种尺码的衬衣，经过试卖一周，各尺码衬衣的销售量列表如下：
尺码
39
40
41
42
43
销售量（件）
6
10
15
13
5
据上表给出的信息，仅就经营该品牌衬衣而言，你认为最能影响服装店经理决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
3．（3分）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线垂直相等的四边形是菱形
D．四边都相等的四边形是正方形
4．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
6．（3分）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+4k＝0的两个实数根，且a2+b2＝12，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1
7．（3分）某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过200元的部分可以享受的优惠是（　　）

A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，则∠ANM＝（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
9．（3分）若直线y＝x+2k+1与直线的交点在第一象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
11．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（　　）

A．6 B．8 C． D．
12．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）小玲家的鱼塘里养了2500条鲢鱼，按经验，鲢鱼的成活率约为80%．现准备打捞出售，为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次进行统计，得到的数据如下表．那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约是　 　千克．

鱼的条数
平均每条鱼的质量
第一次捕捞
20
1.6千克
第二次捕捞
10
2.2千克
第三次捕捞
10
1.8千克
14．（3分）已知（y2+1）2+（y2+1）﹣6＝0，那么y2+1＝　 　．
15．（3分）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是　 　．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由向C运动B，则 　 　秒后四边形ABQP成为一个平行四边形．

17．（3分）若一次函数y＝（1﹣k）x+2k﹣4的图象不过第一象限，则k的取值范围是 　 　．
18．（3分）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　．

三、解答题（共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解一元二次方程：
（1）x2＝x；
（2）x2+10x+9＝0．
20．（10分）某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如条形图所示．
下面是根据5名选手的决赛成绩的条形图绘制的关于平均数、中位数、众数方差的统计表．

平均数/分
中位数/分
众数/分
方差/分2
初中代表队
a
85
b
s2
高中代表队
85
80
100
160
（1）根据条形图计算出a，b的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s2，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．

21．（8分）如图，直线l1：y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（0.5，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E．
（1）求直线l2的函数表达式．
（2）试说明CD＝CE．
（3）若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．

22．（8分）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若BC＝4，∠CAB＝45°，AC＝2，求AB的长．

23．（10分）阅读与理解：
阅读材料：像x+＝3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．
解法如下：移项：＝3﹣x；两边平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．
解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5．
检验所得到的两个根，只有 　 　是原无理方程的根．
理解应用：解无理方程x﹣＝2．
24．（10分）情境阅读：小敏同学期中复习时，再读九年级上册一本辅导书“一元二次方程”的“数学活动”时，重新思考了“活动围长方形”．下面呈现的是“活动内容”及“小敏反思”的部分：
请根据“小敏发现”，应用二次函数解决“能围出面积大于900cm2的长方形吗？”

25．（12分）某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，若该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）的每件生产成本为y元，y与x的对应关系如表（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：
x（天）
1
2
3
…
y（元）
96
100
104
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）统计发现该厂每天生产的件数m＝50x+100，设该厂每天的利润为W元；
①该厂第几天的利润为15600元？
②若该厂每生产一件产品就捐n元给“红十字基金组织”（n＞0），工厂若想在第6天获得最大利润．求n的取值范围．

2022-2023学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2
【分析】根据分式的分母不为零、被开方数是非负数来求x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．本题属于易错题，同学们往往忽略分母x﹣2≠0这一限制性条件而解错．
2．（3分）一服装店新进某种品牌五种尺码的衬衣，经过试卖一周，各尺码衬衣的销售量列表如下：
尺码
39
40
41
42
43
销售量（件）
6
10
15
13
5
据上表给出的信息，仅就经营该品牌衬衣而言，你认为最能影响服装店经理决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
【分析】最能影响服装店经理决策的是五种尺码的衬衣的销售量．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故最能影响服装店经理决策的是五种尺码的衬衣的销售量最多的，即这组数据的众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
3．（3分）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线垂直相等的四边形是菱形
D．四边都相等的四边形是正方形
【分析】利用正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题；
C、对角线垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，
D、四边都相等的四边形是菱形，故错误，是假命题，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理，属于基础题，难度不大．
4．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b的取值范围确定一次函数y＝bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
【解答】解：一次函数y＝kx+b过一、二、四象限，
则函数值y随x的增大而减小，因而k＜0；
图象与y轴的正半轴相交则b＞0，
因而一次函数y＝bx﹣k的一次项系数b＞0，
y随x的增大而增大，经过一三象限，
常数项k＜0，则函数与y轴负半轴相交，
因而一定经过一三四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；
一次函数y＝kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y＝kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y＝kx+b图象过原点⇔b＝0．
5．（3分）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小，x＞h时，y随x的增大而增大；a＜0时，x＜h时，y随x的增大而增大，x＞h时，y随x的增大而减小是解题的关键．
6．（3分）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+4k＝0的两个实数根，且a2+b2＝12，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1
【分析】利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，已知等式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出k的值．
【解答】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+4k＝0的两个实数根，
∴Δ＝4k2﹣16k≥0，即k≥4或k≤0，a+b＝2k，ab＝4k，
∵a2+b2＝12，
∴（a+b）2﹣2ab＝12，即4k2﹣8k＝12，
整理得：k2﹣2k﹣3＝0，即（k﹣3）（k+1）＝0，
解得：k＝3（不合题意，舍去）或k＝﹣1，
则k＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
7．（3分）某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过200元的部分可以享受的优惠是（　　）

A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折
【分析】设超过200元的部分可以享受的优惠是打n折，根据：实际付款金额＝200+（商品原价﹣200）×，列出y关于x的函数关系式，由图象将x＝500、y＝410代入求解可得．
【解答】解：设超过200元的部分可以享受的优惠是打n折，
根据题意，得：y＝200+（x﹣200）•，
由图象可知，当x＝500时，y＝410，即：410＝200+（500﹣200）×，
解得：n＝7，
∴超过200元的部分可以享受的优惠是打7折，
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用，理解题意根据相等关系列出实际付款金额y与商品原价x间的函数关系式是解题的关键．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，则∠ANM＝（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】结合本题，作NF⊥BC于F，易知：△NMF是直角三角形，△ECB是直角三角形，BC＝MF，CE＝MN，即△NMF≌△CEB；接下来根据全等三角形对应角相等即可解答本题．
【解答】解：作NF⊥BC于F，

又四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠NFM＝90°，AB＝CD，
∴四边形ABFN是矩形，
∴FN＝BC＝AB．
在Rt△BEC和Rt△FMN中，
CE＝MN，BC＝FN，
∴Rt△BEC≌Rt△FMN（HL），
∴∠MNF＝∠MCE＝40°，
∴∠ANM＝90°﹣∠MNF＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质与三角形全等的判定是解答关键．
9．（3分）若直线y＝x+2k+1与直线的交点在第一象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由直线y＝﹣x+2可知，直线经过第一、二、四象限，且与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），由直线y＝x+2k+1可知直线经过第一、三象限，根据交点在第一象限即可得出k的取值．
【解答】解：由直线y＝﹣x+2可知，直线经过第一、二、四象限，且与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），
∵直线y＝x+2k+1与直线的交点在第一象限，
∴直线y＝x+2k+1可知直线经过第一、三象限，
把点（4，0）代入y＝x+2k+1得，0＝4+2k+1，解得k＝﹣，
把点（0，2）代入y＝x+2k+1得，2＝2k+1，解得k＝，
∴﹣＜k＜，
故选：A．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，明确直线y＝x+2k+1与x、y轴的交点在（4，0）的右测，在（0，2）的下方是解题的关键．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x＝＝2，
∴﹣＝2，
∴b+4a＝0，故②正确；
由图象可得，当y＞0时，x＜﹣2或x＞6，故③错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（　　）

A．6 B．8 C． D．
【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∵∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP＝AC•sin45°＝8×＝4，
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m＞0或m＜0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，
∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），
∵点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，
∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，
此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，
解得m≥1；
②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，
当0≤x≤4时，y随x增大而减小，
则当0≤xp≤4时，yp≤﹣3恒成立；
综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）小玲家的鱼塘里养了2500条鲢鱼，按经验，鲢鱼的成活率约为80%．现准备打捞出售，为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次进行统计，得到的数据如下表．那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约是　3600　千克．

鱼的条数
平均每条鱼的质量
第一次捕捞
20
1.6千克
第二次捕捞
10
2.2千克
第三次捕捞
10
1.8千克
【分析】首先计算样本平均数，然后计算成活的鱼的数量，最后两个值相乘即可．
【解答】解：每条鱼的平均重量为：＝1.8千克，
成活的鱼的总数为：2500×0.8＝2000条，
则总质量约是2000×1.8＝3600千克．
故答案为3600．
【点评】注意样本平均数的计算方法：总质量÷总条数，能够根据样本估算总体．
14．（3分）已知（y2+1）2+（y2+1）﹣6＝0，那么y2+1＝　2　．
【分析】先设y2+1＝t，则方程可变形为t2+t﹣6＝0，解方程即可求得t即y2+1的值．
【解答】解：设y2+1＝t，则
t2+t﹣6＝0，
整理，得
（t+3）（t﹣2）＝0，
解得 t＝﹣3（舍去）或t＝2．即（y2+1）的值是2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
15．（3分）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是　10%　．
【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么11月份的房价为7000（1﹣x），12月份的房价为7000（1﹣x）2，然后根据12月份的5670元/m2即可列出方程解决问题．
【解答】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000﹣7000x＝7000（1﹣x），12月份的成交价是7000（1﹣x）（1﹣x）＝7000（1﹣x）2，由题意，得
∴7000（1﹣x）2＝5670，
∴（1﹣x）2＝0.81，
∴x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【点评】本题是一道一元二次方程的运用题，是一道降低率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由向C运动B，则 　2　秒后四边形ABQP成为一个平行四边形．

【分析】由运动时间为x秒，则AP＝x，QC＝2x，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP＝BQ，则得方程x＝6﹣2x求解．
【解答】解：∵运动时间为x秒，
∴AP＝xcm，QC＝2xcm．
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ．
∴x＝6﹣2x．
∴x＝2．
答：2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．此题根据路程＝速度×时间，得出AP、QC的长，然后根据已知条件列方程求解．
17．（3分）若一次函数y＝（1﹣k）x+2k﹣4的图象不过第一象限，则k的取值范围是 　1＜k≤2　．
【分析】根据一次函数的图象即可得关于k的不等式组，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（1﹣k）x+2k﹣4的图象不过第一象限，
∴1﹣k＜0，且2k﹣4≤0，
∴1＜k≤2，
故答案为：1＜k≤2．
【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象系数的关系是解题的关键．
18．（3分）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　＜t＜1　．

【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故答案为：＜t＜1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．
三、解答题（共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解一元二次方程：
（1）x2＝x；
（2）x2+10x+9＝0．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法把方程化为x+9＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2＝x，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1；
（2）x2+10x+9＝0，
（x+9）（x+1）＝0，
x+9＝0或x+1＝0，
所以x1＝﹣9，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．（10分）某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如条形图所示．
下面是根据5名选手的决赛成绩的条形图绘制的关于平均数、中位数、众数方差的统计表．

平均数/分
中位数/分
众数/分
方差/分2
初中代表队
a
85
b
s2
高中代表队
85
80
100
160
（1）根据条形图计算出a，b的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s2，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．

【分析】（1）根据平均数的计算公式和众数的定义分别进行解答即可；
（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的哪个队的决赛成绩较好；
（3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）初中5名选手的平均分a＝＝85，
众数b＝85；
（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
（3）S2初中＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
∵S2初中＜S2高中，
∴初中代表队选手的成绩较为稳定．
【点评】本题考查方差、中位数、众数、条形图等知识，记住这些概念是解决问题的关键，理解方差越小成绩越稳定，属于中考常考题型．
21．（8分）如图，直线l1：y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（0.5，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E．
（1）求直线l2的函数表达式．
（2）试说明CD＝CE．
（3）若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．

【分析】（1）将C（0.5，0）．D（0，2）代入y＝kx+b即可得出k和b的值；
（2）首先求出点E的坐标，过点E作EF⊥x轴于F，利用AAS证明△DOC≌△EFC即可；
（3）当点P在点B上方时，则OP∥DE，得直线OP的函数解析式为y＝﹣4x，可求出交点P的坐标，当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'，同理求出直线OQ的函数解析式，从而解决问题．
【解答】解：（1）将C（0.5，0）．D（0，2）代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴直线l2的函数解析式为y＝﹣4x+2；
（2）当﹣4x+2＝x﹣3时，
∴x＝1，
∴E（1，﹣2），
过点E作EF⊥x轴于F，

∴EF＝OD＝2，
∵∠ODC＝∠CEF，∠DCO＝∠ECF，
∴△DOC≌△EFC（AAS），
∴CD＝CE；
（3）∵∠POB＝∠BDE，
∴点P在l1上有两个位置，
当点P在点B上方时，如图，

∴OP∥DE，
∴直线OP的函数解析式为y＝﹣4x，
∴﹣4x＝x﹣3，
∴x＝，
当x＝时，y＝﹣，
∴P（，﹣），
当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'，

∴Q（﹣），
则直线OQ的函数解析式为y＝4x，
∴直线OQ与l1的交点为P'（﹣1，﹣4），
综上所述：P（，﹣）或（﹣1，﹣4）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象交点问题，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识，明确两直线平行则k值相等是解题的关键．
22．（8分）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若BC＝4，∠CAB＝45°，AC＝2，求AB的长．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．

在△ACG中，∠AGC＝90°，BC＝4，∠CAB＝45°，AC＝2，
∴由勾股定理得CG＝AG＝2．
∴∠B＝30°，
在△BCG中，∠BGC＝90°，CG＝2，BC＝4，
∴BG＝，
∴AB＝AG+BG＝2+2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
23．（10分）阅读与理解：
阅读材料：像x+＝3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．
解法如下：移项：＝3﹣x；两边平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．
解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5．
检验所得到的两个根，只有 　x＝2　是原无理方程的根．
理解应用：解无理方程x﹣＝2．
【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解为x＝2；
理解应用：先移项得到x﹣2＝；再两边平方：x2﹣4x+4＝（x+1），然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根．
【解答】解：阅读材料：
经检验x＝2是原方程的解；
故答案为x＝2；
理解应用：移项：x﹣2＝；
两边平方：x2﹣4x+4＝（x+1），
解这个一元二次方程：x1＝，x2＝3，
经检验原无理方程的根为x＝3．
【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
24．（10分）情境阅读：小敏同学期中复习时，再读九年级上册一本辅导书“一元二次方程”的“数学活动”时，重新思考了“活动围长方形”．下面呈现的是“活动内容”及“小敏反思”的部分：
请根据“小敏发现”，应用二次函数解决“能围出面积大于900cm2的长方形吗？”

【分析】设矩形的长为xcm，围成的面积为ycm2，根据矩形的面积公式写出函数解析式，在根据函数的性质求出函数的最大值．
【解答】解：不能围出．理由如下：
设矩形的长为xcm，围成的面积为ycm2，
则y＝x（60﹣x），
整理为y＝﹣（x﹣30）2+900，
∵﹣1＜0，
∴当x＝30时，ymax＝900，
∴用长度为120cm长的细绳围成的矩形面积最大值为900cm，不能围出面积大于900cm2的矩形．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
25．（12分）某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，若该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）的每件生产成本为y元，y与x的对应关系如表（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：
x（天）
1
2
3
…
y（元）
96
100
104
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）统计发现该厂每天生产的件数m＝50x+100，设该厂每天的利润为W元；
①该厂第几天的利润为15600元？
②若该厂每生产一件产品就捐n元给“红十字基金组织”（n＞0），工厂若想在第6天获得最大利润．求n的取值范围．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）①根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；
②根据题意列出不等式，根据函数性质求n的取值范围．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c，
由（1，96），（2，100），（3，104）得，，
解得：，
∴y＝4x+92；
（2）①w＝[160﹣（4x+92）]（50x+100）＝﹣200x2+3000x+6800＝﹣200（x﹣）2+18050，
令w＝15600，
即﹣200（x﹣）2+18050＝15600，
解得x＝4或x＝11（舍），
∴第4天的利润为15600元；
②由题意得：
w＝（160﹣y﹣n）m
＝[160﹣（4x+92）﹣n]（50x+100）
＝﹣200x2+（3000﹣50n）x+6800﹣100n，
对称轴x＝﹣＝，
∵工厂若想在第6天获得最大利润，
∴≤≤，解得：8≤n≤16，
∴n的取值范围为8≤n≤16．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确得出关系式是关键．
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