湖南省长沙市北雅中学2023-2024学年九年级上学期入学考试数学试题+

2023 年秋季（九年级）入学练习试卷

数学科目

一、选择题（本题共 12 小题，每题 3 分）

1．2021 年 5 月 15 日 07 时 18 分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星

之旅．地球与火星的最近距离约为 54600000 公里，“54600000”用科学记数法表示为（ ）

A． 5.46 102                  B． 5.46 103                          C． 5.46 106                       D． 5.46 107

2．在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是 85 分，甲的成绩方差是 16，乙的成绩方差是 5．下列说法正确的是（   ）

A．甲的成绩比乙的成绩稳定  B．乙的成绩比甲的成绩稳定

C．甲、乙两人的成绩一样稳定   D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定

3．已知 a，b 是方程 x2 － 3x － 4  0 的两根，则代数式 a  b 的值为（  ）

A．3             B． －3                 C．4            D． －4

4．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）

A．9，40，41 B．5，12，13 C． 0.3 ， 0.4 ， 0.5  D．8，24，25

5．在平面直角坐标系中，一次函数 y  x  1 的图象是（ ）

6．我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步， 问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，它的宽比长少 12 步，如果设宽为 x 步，则可列出方程（              ）

A． x  x － 6  864       B． x  x － 12  864              C． x  x  6  864              D． x  x  12  864

7．我市 6 月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：26，32，33，26，32，27，32，则这组数据

的中位数与众数分别是（ ）

A．26，26 B．32，26 C．26，32 D．32，32

8．已知一次函数 y   2m － 1 x  3 的图象上两点 A x1 , y1  ，B  x2 , y2  ，当 x1  x2 时，有 y1  y2 ，那么 m 的取值范围是（              ）

A． m B． m C． m  2D． m  0

9．下列给出的条件中，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）

A．AB//CD， AD  BC

B． A  C ， B  D

C．AB//CD，AD//BC D． AB  CD ， AD  BC

10．将抛物线 y  3x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为（ ）

A． y  3 x  22  － 1         B． y  3 x － 22   1        C． y  3 x － 22  － 1             D． y  3 x  22   1              

11．如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿

化，要使绿化面积为 7644 平方米，则道路的宽应为（ ）

A．1 米 B．2 米 C．3 米 D．4 米

12．如图，抛物线 y  x2 － 2x － 3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴的负半轴交于点 B，点 M  是对称轴上的一个动点．连接 AM，BM．当最大时，点 M 的坐标是（              ）

A． 1, 4B． 1, 2C． 1, －2         D． 1, －6

二、填空题（本题共 4 小题，每题 3 分）

13．分式有意义，则 x 的取值范围为      ．

14．已知方程 x2  bx  a  0 有一个根是 －1 ，则代数式 a － b 的值是

         ． 

15．如图，△ABC 中，D、F 分别是 AC、BC 的中点，E 在 DF 上，

且 BE⊥CE，若 AB  8 ， BC  6 ，则 DE         ．

16．如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相

交于点 F，则∠BFC 为        ． 

三、解答题（本题共 9 小题）

17．（6 分）解下列方程：

（1） 3x2  － 2x － 1  0 ； （2）  x － 12  － 16  0 ．

18．（6 分）先化简，再求值：，其中 a 

19．（6 分）已知二次函数 y  －2x2  4x  3 ．

（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；

（2）当 x 为何值时，y 随 x 增大而减小，当 x 为何值时，y 随 x 增大而增大．

20．（8 分）直线 AB 与 x 轴交于点 A2, 0 ，与 y 轴交于点 B 0, －4 ．

（1）求直线 AB 的解析式；

（2）着 x 轴负半轴上存在点 C，使△ABC 的面积等于 10，求点 C 的坐标．

21．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 － 3x  m － 3  0 ．

（1）若此方程有两个不相等的实数根 x1，x2，求 m 的取值范围；

（2）若此方程的两根互为倒数，求 的值．

22．（9 分）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的 延长线于点 F，连接 CF．

（1）求证： AF  DC ；

（2）若 AB⊥AC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．

23．（9 分）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为 30 元，投

放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于 54 元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量 y

（件）与销售单价 x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

（1）直接写出 y 与 x 的函数关系式；

（2）若每天销售所得利润为 1200 元，那么销售单价应定为多少元？

（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

24．（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的顶点 A，C 分别落在 x 轴，y 轴上，点 B 的

坐标为 8, 8 ，点 D 在线段 BC 上（不与 B，C 重合），将△OCD 沿 OD 翻折，使得点 C 落在同一平面内的 点 E 处．

（1）如图 1，当 OD  10 时，

①求点 D 的坐标．

②延长 DE 交 AB 于点 F，求点 F 的坐标．

（2）连结 BE 并延长，交正方形 OABC 的边于点 G，若 BD  OG ，求点 D 的坐标．

25．（10 分）如图，直线 y  － x  3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y  ax2  x  c 经过 B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当四边形 OBEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标和四 边形 OBEC 面积的最大值；

（3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动 点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写 出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．