第三章 函数的概念与性质（知识通关详解）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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第三章 函数的概念与性质专题详解
一、 函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：。其中：叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)
考点一：定义域的求法
一．已知函数解析式型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。
( 6 )中x
例1：求下列函数的定义域
（1）；（2）；（3）().

解析：（1） 解得：或
所以函数的定义域为；故答案为：.
（2） 解得：或
所以函数的定义域为；故答案为： .
（3）(). 解得：
所以函数()的定义域为；故答案为：.
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。
（一）已知的定义域，求的定义域。
其解法是：已知的定义域是求的定义域是解，即为所求的定义域。
例2：已知的定义域为，求的定义域。
解：，，解得
即函数的定义域为
举一反三
已知函数f(x)的定义域是[-1，4]，求函数f(2x+1)的定义域.
【答案】.
【详解】
已知f(x)的定义域是[-1，4]，即-1≤x≤4.故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4，
∴-2≤2x≤3，∴-1≤x≤.∴函数f(2x+1)的定义域是.
（二）已知的定义域，求的定义域。
其解法是：已知的定义域是求的定义域的方法是：，求的值域，即所求的定义域。
例3：已知的定义域为，求的定义域。
解：，，。
即函数的定义域是。
举一反三
已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【详解】因为的定义域为，
所以，所以．令，则．
即中，．故的定义域为．
（三） 复合函数定义域综合求解
例4：已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数的定义域为，所以，则，
所以，解得，所以的定义域为，故选：B
举一反三
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
【答案】
【详解】函数的定义域为，即，所以，
所以，即，所以函数的定义域为.故答案为：.
三、逆向思维型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5：已知函数的定义域为求实数的取值范围。
解：讨论：
①当时，函数的定义域为；
②当时，是二次不等式，其对一切实数都成立的充要条件是
综上可知：。
举一反三
已知函数的定义域是，求实数的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须恒成立，
因为的定义域为，即无实数解
讨论：①当时，恒成立，解得；
②当时，方程左边恒成立。
综上得：的取值范围是。
考点二：求函数值域
例1　已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，得到在上单调递减，
因此只需，解得.故选：C.
二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法 （4）配方法
（5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法 （8）判别式法
（9）复合函数法 （10）不等式法
（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
1.利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
二次函数的定义域为R，
当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.
例2 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1x1) ②
③ （记住图像）
解：①∵-1x1，∴-33x3，
∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]
②略
③ 当x>0，∴=，
当x<0时，=－
∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）
函数的图像为：
2.二次函数在区间上的值域(最值)：
例3 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①； ②；
③； ④；
解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.
②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].
3. 单调性法
例4 求函数y=4x－(x≤1/3)的值域。
设f(x)=4x,g(x)= －,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
4. 换元法
例5 1.求函数 的值域
解：设，则

2.求函数y＝2x－的值域．
答案[，＋∞)．
【分析】
利用换元法设t＝，将函数化为y＝2(t2＋1)－t，再利用二次函数的图像与性质即可求求解.
【详解】
设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[，＋∞)．

5． 平方法
例7 （选）求函数 的值域
解：函数定义域为：

6． 分离常数法
例8 求函数 的值域
由 ，可得值域
小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。
7，数型结合法
例9 已知函数.

（1）用分段函数的形式表示该函数;
（2）在所给的坐标系中画出该函数的图像,并根据图像直接写出该函数的定义域、值域(不要求写作图及解答过程)
答案1）（2）图见解析，定义域，值域
【分析】
（1）因为,分别讨论和,即可求得答案;
（2）由（1）得:,画出函数图像,即可求得答案.
【详解】
（1）
当,;
当,

（2）由（1）得:画出函数的图像,如图:

根据函数图像可知:定义域,值域.
10，反解法
例10 函数 的值域
解法一：（逆求法）

2
解法二：（换元法）设 ，则

解法三：（判别式法）原函数可化为
1） 时 不成立
2） 时，

综合1）、2）值域
11、判别式法
例11 求函数的值域
解法一：（判别式法）原式可化为

解法二：（不等式法）原函数可化为
当且仅当时取等号，故值域为
12.复合函数法
1


0
7 求函数的值域
解法一：（复合函数法）令，则

所以，值域
5
解法二：（判别式法）化为
1）时，不成立
2）时，得


综合1）、2）值域
二、函数的三种表示法是：解析法；图象法；列表法。
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； 解析法：必须注明函数的定义域； 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
一：分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集
例1：已知若函数的值域为，则的最小值为______．
【答案】
【详解】由题意，函数，可得，
要使得函数的值域为，则满足，解得，
所以实数的最小值为．
故答案为：．
举一反三
1.已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．定义域为
C． D．的图象经过点
【答案】BC
【详解】对于A, 的值域为，故A错误；对于B, 定义域为，故B正确；
对于C，当是有理数时，也为有理数，当是无理数时，也为无理数，
故成立，故C正确；
对于D，因为，所以的图象经过点，故D错误.
故选：BC.
2.已知函数f(x)=则不等式f(x)的解集是____.
【答案】[，2]
【详解】由题意得或
解得x0或0 题型二：图像法
例2：1．已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）

A． B． C． D．
答案．C.
【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数的图象在轴右侧的部分，
然后将轴左侧图象翻折到轴右侧，轴左侧图象不变得来的，
∴图②中的图象对应的函数可能是.故选：C.
举一反三
1．（多选）下列选项中所给图象是函数图象的为（ ）
A．B．C． D．
答案．CD
解：根据函数的定义，在定义域内作一条直线，将直线在定义域内左右移动，如果直线与图象的交点始终只有一个，则图象是函数图象，据此可判断C，D选项所给图象是函数图象，故选：CD.
2（多选）．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（ ）

A．在t1时刻，甲车的速度大于乙车的速度B．t0时刻后，甲车的速度小于乙车的速度
C．在t0时刻，两车的位置相同 D．在t0时刻，甲车在乙车前面
答案：BD
【详解】由图可知，当时间为t1时，甲车的速度小于乙车的速度，所以选项B正确，选项A错误；t0时刻之前，甲车的速度一直大于乙车，时间相同的情况下，甲车行驶路程大于乙车行驶路程，故t0时刻甲车在乙车前面.所以选项D正确，选项C错误.故选：BD
题型三：列表法
例3：1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（ ）
x



y
1
0
1
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，该函数的值域是.故选：D.
举一反三
已知下列表格表示的是函数,写出.


0



0
1
【答案】
【详解】，， ，，
四：求解析式
1. 凑配法
例4：已知f=x2+，求f(x)；
【详解】(配凑法)∵，∴.
2.换元法
例5：1.已知数，则的解析式为（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【详解】设，则，则，即.故选：B
3.待定系数法
例6：已知一次函数满足，则＝________.
【答案】
【详解】设，则由，
得，即，故解得，所以.故答案为：.
4. 方程组法
例7：已知2f ＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x).
【详解】由f(x)＋2f ＝x，将x换为，得f＋2f(x)＝，
于是得关于f(x)与 f 的方程组，
消去得f(x)＝－ (x≠0).
5.赋值法
例8：若函数满足，则（ ）
A．4 B．12 C．16 D．36
【答案】C解：令，得．故选：C．
四．函数的单调性
1、定义：
（1）设函数的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值,当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是增函数，如图（1）当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是减函数，如图（2）
注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．

2、巩固概念：
1、 定义的另一种表示方法
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数y=f(x)是增函数，若即，则函数y=f(x)为减函数。
强调几点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。
④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性．
1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．
2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f（x）的单调性相反．
3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等
3．判断函数单调性的方法
（1）定义法．
（2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单
调性均可直接说出．
（3） 图象法．
4.函数的单调性 （1）设那么
上是增函数；
上是减函数.
5.单调性性质：
①增函数+增函数=增函数； ②减函数+减函数=减函数；
③增函数-减函数=增函数； ④减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

6. 复合函数单调性的判断方法：
⑴如果函数和都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,
和函数也是减函数（增函数）;



























增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
小结：同增异减。
研究函数的单调性，定义域优先考虑。
且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。



⑵











题型一：定义法证明或判断函数的单调性
例1：（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.故选：C
题型二：求函数的单调区间
例2：设函数,则（       ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在(0,+∞）上单调递增，在(-∞,0）上单调递增，
而在(0,+∞）上单调递减，在(-∞,0）上单调递减，
所以函数在(0,+∞）上单调递增，在(-∞,0）上单调递增．
故选：A．
题型三：根据函数的单调性求参数
例3：（2021·江西·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【详解】，
在上单调递减，则，所以．故选：C．

题型四：根据图像判断函数的单调性
例2：（2021·贵州·高二学业考试）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，
所以的单调递减区间为.
故选：B
题型五：复合函数的单调性
例5：（2021·上海浦东新·三模）函数的单调递减区间为___________.
【答案】(或都对)
【解析】
利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；
【详解】
令，则，
在单调递减，在单调递增，
根据复合函数的单调性可得：在单调递减，
故答案为：
题型六：根据函数的单调性解不等式
例6：（2022·河北邢台·高考模拟）函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：∵在上为增函数，且，∴，解得，
故选：A．
题型七：根据函数的单调性比较大小
例7：（2021·全国·模拟预测（文））已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，
所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，
对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2） 对于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；
对于C､D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1） 故选：D.
题型8：根据解析式判断函数的单调性
例8：（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）函数的单调递减区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为定义域为，函数在和上单调递减，
故函数的单调递减区间为和；故选：A
题型九：单调性综合应用
例9：1．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
五. 奇函数、偶函数的定义
（1）奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，则这个函数叫奇函数.
（2）偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，则这个函数叫做偶函数.
（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性.
（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.
注意：（1）奇函数若在时有定义，则．
（2）若且的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数．
2．奇(偶)函数的基本性质
(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称．
(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．
3. 判断函数奇偶性的方法
（1）图像法
（2）定义法
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
题型一 判断函数的奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】(1)的定义域为，它关于原点对称.
，故为偶函数.
(2)的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
(3)的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
(4)，
故，故为非奇非偶函数.
题型二 利用函数的奇偶性求函数值
例2：1．已知在上是偶函数，且满足，当时，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：在R上是偶函数，且满足，当时，，
则．故选：A．
举一反三
已知函数是奇函数，当时，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，则，
因为函数是奇函数，则.故选：D.
题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式
例3：若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是定义在上的奇函数，且是偶函数，
所以，即，
当时，，所以．故选：C
举一反三
1.若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.
解：因为为偶函数，为奇函数
所以，
因为 ①
所以
所以 ②
由①②式消去，得.
类型四：根据奇偶性求参数
例4：若函数是偶函数，则（       ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【详解】由已知，，所以，
函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.故选：C.
举一反三
1.已知为奇函数，则______．
【答案】
【详解】由题意是奇函数，则，即，
故，由于，故 ，故答案为：
类型五：利用奇偶性求范围问题
例4：定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为为偶函数，，在单调递减，若，则，不等式可转化为，所以，解得：，所以且，即.故选:B.
六、函数的周期性
周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得
恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，
则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,
① ，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；
③，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数；
⑤，则是以为周期的周期函数.
⑥，则是以为周期的周期函数.
⑦，则是以为周期的周期函数.
类型一：判断周期函数
例7：定义在上的函数满足，则下列函数中是周期函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，定义在上的函数满足，
所以，
所以是周期为的周期函数.故选：B.
类型二：周期性求值求值
例8：已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0 A．－8 B．－4 C．12 D．20
【答案】B
【详解】根据题意可得：
，可得故选：B．
类型三：周期性求函数解析式
例9：设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由于函数为上的奇函数，满足对任意的都有，
则，
，
因此，.故选：C.
类型三：周期+奇偶性
例6：已知函数为奇函数，为偶函数，且，则___________.
【答案】
【详解】因为函数为奇函数，为偶函数，
所以 ，
即 ，
故，即 ，
故，即，
令 ，则由可得，
结合得， ，
所以，
故答案为：
七．函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于点对称，则
①
②
③
（3）点对称：若函数关于点对称，则
①
②
③
题型一：对称性的判定
例11：定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为函数满足，
所以，所以，
又的图象关于直线对称，
所以，且，
则，
所以，
所以，
无法求出.
故选：A.
题型二：由函数对称性求函数值
例12：函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则（       ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，
又因为函数为偶函数，所以，，
而函数的图象关于直线对称，所以.
故选：B
题型三：由周期性与对称性求函数解析式
例13：函数的图象与曲线关于轴对称，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】任取函数上的一点，
由函数的图象与曲线关于轴对称，
则点关于轴对称的点坐标为，又点在曲线上，
可得，则.
故选：D.
题型四：由周期性与对称性比较大小
例14：已知函数是奇函数，且，若在上是增函数，的大小关系是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵f（x+2）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，∴f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），
∴函数f（x）关于x=1对称，且f（x+4）=f（x），∴函数是周期为4的周期数列．
∵f（x）在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（x）在[1，2]上是减函数，f（）=f（4+）=f（）=f（），
∵f（x）在[1，2]上是减函数，且1＜＜，∴f（1）＞f（）＞f（），
即f（）＜f（）＜f（1），故选D．
题型五 函数性质的综合应用
例15：　（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（       ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以函数关于点对称，
因为，即，所以函数关于直线对称，
因为当时，，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：   

由图可知，函数为周期函数，周期为，
由于函数一个周期内，与有2个交点，
在上，与有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.
所以关于x的方程在上的解的个数是个.
故选：B

奇偶性周期性及对称性综合应用
1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（       ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
八．幂函数
1.概念：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图像及性质




y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减
3. 幂值的大小比较
（1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.
（2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.
（3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时,可选取适当的中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的.
4.幂函数性质的应用
利用幂函数的性质解不等式,实际上就是利用幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用。
题型一：幂函数的定义
例1：（2021·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（       ）
A．0 B．2 C．4 D．5
【答案】C
解：因为为幂函数所以
又的图象过点即解得所以故选：C.
题型二：幂函数的定义域
例2：（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对选项，则有：对选项，则有：
对选项，定义域为：对选项，则有：故答案选：
题型三：幂函数的值域

例3：（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
题型四：幂函数的单调性
例4：（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
题型五：幂函数的奇偶性
例5：（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设，使函数的定义域是R，且为偶函数的所有的值是（       ）
A．2 B．1，2
C．，2 D．，1，2
【答案】A
【详解】当时，，定义域为，故；
当时，，定义域为，但是为奇函数，故；
当时，，定义域为，为偶函数，故.故选：A
题型六：幂函数的图像判断与应用
例6：（2021·河北石家庄·模拟预测）已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（       ）

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】由得，即，所以，故选：B．
题型七：幂函数过定点问题
例7：（2021·浙江浙江·高一期末）以下结论正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过、两点
C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
【答案】D
【解析】对于A选项，当时，函数的定义域为，所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确.故选：D.
题型八：幂函数中的参数问题
例8：（2021·福建·漳州三中高一期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A．2 B． C．4 D．2或
【答案】B
【解析】因函数是幂函数，则，即，解得或，
当时，函数在上递增，则，当时，函数在上递减，不符合要求，实数.故选：B。