第三章 函数的概念与性质（B卷•能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第三章  函数的概念与性质能力提升测试

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不

能答在试卷上，

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2022·广东·江门市广雅中学高一期中）下列函数为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据奇偶函数的定义判断即可；

【详解】

解：对于A：定义域为，且，

所以为偶函数，故A错误；

对于B：定义域为，且，

所以为奇函数，故B正确；

对于C：定义域为，且，

所以为偶函数，故C错误；

对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，

故为非奇非偶函数，故D错误；

故选：B

2．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

【答案】C

【解析】

【分析】

利用函数单调性定义即可得到答案.

【详解】

对于任意两个不相等的实数，，总有成立，

等价于对于任意两个不相等的实数，总有.

所以函数一定是增函数.

故选：C

3．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（       ）

A．3 B．8 C．9 D．16

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意设，则，然后由列方程组求出的值，从而可得的解析式，进而可求出

【详解】

根据题意设，则，

因为，

所以，解得，

所以，

所以，

故选：C

4．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知，则（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用换元法求解函数解析式.

【详解】

令，则，；

所以.

故选：D.

5．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.

【详解】

由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.

6．（2022·河南安阳·模拟预测（文））设函数，若函数的图象关于点对称，则（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据的图象关于点对称可得为奇函数，进而求得即可

【详解】

因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，

即为奇函数，故，

所以.

故选：B.

7．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（       ）

A． B． C．0 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．

【详解】

因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．

因为，，，，，所以

一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．

故选：A．

8．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

分析可知函数的图象关于直线对称，可得出函数的单调性，分析的符号变化，由可得或，解之即可.

【详解】

因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，

因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，

因为，则，

所以，由可得，由可得或，

解不等式，可得或，解得或，

故不等式的解集为.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（2022·安徽·高一期中）下列各图中，可能是函数图象的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用函数的概念选出正确答案.

【详解】

B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．

故选：ACD．

10．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）下列各组函数是同一函数的是（       ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】

对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；

对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；

对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；

对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.

故选：CD

11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（       ）

A． B． C．D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

对各选项中的函数逐个检验后可得正确的选项.

【详解】

对于A选项，x＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；

对于B选项，，满足“倒负”变换；

对于C选项，，，不满足“倒负”变换；

对于D选项，当时，，此时；

当x＝1时，，此时；

当时，，此时，满足“倒负”变换．

故选：BD.

12．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（       ）

A．为周期函数 B．为上的偶函数

C．为上的单调函数 D．的图象关于点对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由周期性的定义可判断A，由奇偶性的定义可判断B，由偶函数的单调性的特点可判断C，由奇函数的对称性结合图像平移可判断D

【详解】

对于：函数，

是周期为的函数，故正确；

对于B：，

即

又的周期为，

又是奇函数，

,令，则

是偶函数，即是偶函数，故B正确；

对于C：由B知是偶函数，

在和上的单调性相反，

在上不单调，故C错误；

对于D：函数为奇函数，

的图象关于点对称，

的函数图象是由的图象向右平移个单位得到的，

的函数图象关于点对称，故D正确．

故选：ABD

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若幂函数为偶函数，则 ________ .

【答案】

【解析】

【分析】

利用幂函数和偶函数的定义即可求解.

【详解】

∵函数为幂函数，

∴，解得或，

又∵为偶函数，

∴，

故答案为：.

14．（2014·全国·高考真题（理））已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【详解】

因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.

考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.

15．（2022·江西景德镇·三模（理））周期为4的函数满足，且当时，则不等式在上的解集为______；

【答案】

【解析】

【分析】

由周期性及已知确定函数是偶函数，再说明函数在是增函数，然后利用奇偶性与单调性解不等式．

【详解】

周期是4，则，所以是偶函数，

时，是增函数，且，

不等式化为，

所以，．

故答案为：．

16．（2022·重庆长寿·高二期末）已知定义在上的函数和函数满足，且对任意都成立，则__________.

【答案】3033

【解析】

【分析】

由题可得为奇函数，进而得到，结合条件即得.

【详解】

由题意知定义域为，，

可得，

所以为奇函数，又

∴，则，

又，即，

所以.

故答案为：3033．

四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（2022·湖北荆州·高一期中）已知函数，且.

(1)求实数的值并判断该函数的奇偶性；

(2)判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明.

【答案】(1)，函数为奇函数

(2)在上是增函数，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据，代入函数解析即可求解；

（2）利用函数单调性的定义证明即可.

(1)

∵，且，

∴；

所以，定义域为关于原点对称，

∵，

∴函数为奇函数.

(2)

函数在上是增函数，

证明：任取，设，则

∵，且，

∴，

∴，即，

∴在上是增函数.

18．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中）已知定义在的函数在单调递减，且.

(1)若是奇函数，求m的取值范围；

(2)若是偶函数，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据奇函数，得到单调性，进而解不等式，求出答案；（2）根据偶函数，对不等式进行变形，进而得到不等式组，求出答案.

(1)

若是奇函数，则在上单调递减，故，解得：，故m的取值范围为；

(2)

若是偶函数，因为在上单调递减，故在上单调递增，由得：，故，解得：，

故m的取值范围为.

19．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知幂函数为偶函数，

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值．

【答案】(1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）根据幂函数的定义及性质求出参数，即可得解；

（2）首先得到的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值；

(1)

解：因为为幂函数，

所以，解得或

因为为偶函数，

所以，故的解析式；

(2)

解：由（1）知，对称轴为，开口向上，

当即时，，即；

当即时，，即；

综上所述：或．

20．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数.

(1)若函数在是增函数，求的取值范围；

(2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由函数可知对称轴为，由单调性可知，即可求解；

（2）整理问题为在时恒成立，设，则可转化问题为在时恒成立，讨论对称轴与的位置关系，进而求解.

(1)

因为函数，所以对称轴为，

因为在是增函数，所以，解得

(2)

因为对于任意的，恒成立，

即在时恒成立，所以在时恒成立，

设，则对称轴为，即在时恒成立，

当，即时，，解得；

当，即时，，解得（舍去），

故.

21．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.

(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；

(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)单调递增，证明见解析

(2){m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}

【解析】

【分析】

（1）任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，再根据题意分析f(x1)－f(x2) 的正负即可；

（2）由（1）有f(x)≤1，再将题意转化为m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立，进而构造函数g(a)＝－2ma＋m2，分类讨论分析即可

(1)

f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：

任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，

则－x2∈[－1，1].

∵f(x)为奇函数，

∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝.

由已知条件得.

又x1－x2＜0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).

∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.

(2)

∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，

∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.

∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，

∴m2－2am＋1≥1，

即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.

设g(a)＝－2ma＋m2.

①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.

②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，

若g(a)≥0，

对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，

∴m≤－2或m≥2.

综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.

22．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知函数是奇函数，且.

(1)求实数的值；

(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；

(3)当时，解关于的不等式：.

【答案】(1)，，

(2)证明见解析，

(3)

【解析】

【分析】

（1）由题意可得，求出，再由可求出，

（2）任取，且，然后求，化简变形可得结论，

（3）由（2）可知在上单调递增，所以原不等式可化为，解不等式可得结果

(1)

因为函数是奇函数，

所以，即，

，

所以，解得，

所以，

因为，

所以，解得，

(2)

证明：由（1）可知

任取，且，则

，

因为，且，

所以，，

所以，即，

所以在上单调递增；

(3)

当时，，

由（2）可知在上单调递增，

因为，

所以，即，解得（舍去），或，

所以不等式的解集为